2

2

*

II.
Quand d=ih, c'est à dire quand la force du jer HA(d)
est égale à la moitié de l'étendue AK (b), les valeurs de
BA(*) sont la seule grandeur (d, c'est à dire {HA, ce qui
convient à l'inclinaison de 45 degrés.

III.
Il est évident

que le Problême est possible dans tous les cas où ih est moindre que įd, ou est égale à įd; ou, ce qui est la même chose, quand , h est moindre que d ou égale à d; & qu'il est impossible dans tous les cas où įh surpasse d, c'est

à dire, quand le point K est hors de la plus grande portée * 327. ou de la plus grande étendue du jet qui elt égale à 2d.*

Second CAS DU CINQUIE'ME PROBLEME. Quand l'endroit sur lequel on veut jetter la bombe est plus élevé ou plus bas que l'horizontale qui passe par le mortier, comme

ľ quand on veut la jetter sur le flanc d'un bastion, sur une tour, sur quelqu'endroit d'un fort qui est sur une montagne ; ou quand

le mortier eft lui - même sur une montagne. Fig. ix. La question se réduit, comme au premier cas, à trouver

à le côté vertical AB du triangle rectangle ABC, qui fera connoître la direction de la corde AC qu'il faut donner au mortier pour faire tomber la bombe, avec la force de

poudre HÀ qu'on fuppose connue, sur l'endroit 2, qu’on suppose élevé sur l’horizontale ARK qui passe par le mortier A, ou sur l'endroit g plus bas que le mortier.

Pour trouver BĂ, il faut mesurer l'angle Q AR ou qAR, & trouver par la Geometrie pratique l'oblique AQ, la verticale QR ou qR, & l’horizontale AR; & supposant HA=d, AQ ou Aq=a, AR=r, QR ou qR = 9,

= * 288. & l'inconnue A B qu'on cherche = x; l'on aura BC =

Vdx xx; l'étendue du jer AK ou Ak, qui est quadruple * 325. *de BC=4Vdx - xx ; la verticale K$ ou ks=4BA=4%;

& à cause des triangles femblables KAS, PAR, on aura AK (4Vdx — *x). KS (4*) :: AR(r). PR=

Y d'où l'on déduira P Q=PR – QR =

rxqVdx

& rx + qvax P= On fe contentera de donner la refo

lution

*

ز

Vdx

Vdx

1

*

C

x

lution du Problême par raport à PQ; le Le&eur pouvant facilement l'appliquer à Pq.

Resolution. La bombe qu'on suppose jettée suivant la direca tion ACPS, rencontre la hauteur Q dans le temps que par le mouvement horizontal uniforme, elle auroit parcouru AR; & s'il n'y avoit pas eu de hauteur &, elle seroit tombée au point K sur l'horizontale AK, dans le temps que par le mouvement uniforme, elle auroit parcouru l’horizontale AK; ainsi la vitesse étant uniforme, c'est à dire la même par l'horizontale ARK, les temps par AR & par AK *, peuvent * 3034

* s'exprimer par ces longueurs

. Mais dans le temps du mouvement uniforme par AR, la vitesse verticale

que la pesanteur a fait perdre à la bombe, la empêchée de parcourir P 2; & dans le temps du mouvement uniforme par AK, la vitesse verticale que la pesanteur lui auroit fait perdre, l'auroit empêchée de parcourir SK ; par consequent * AR(rr). *309.

rx — qvdx AK” (16 x dx - xx):: PQI

:). KS(4x); ce qui

x — qv dx donne certe équation 4rrx =16xdx ---- XX X

dry — 2d99 - mra qui se réduit à xx — Cette équation a deux racines positives *, ainsi il

У

a deux valeurs de BA ( x ) qui donnent deux angles d'inclinaison Cor, 8. pour le mortier, par chacune desquelles on lui fera jetter la bombe sur l'endroit Q; ces deux valeurs sont AB (*) dry + 2dq9+ įra Vdrr + zdq9+ irra W + dq

Ir +99 Mais å cause du triangle rectangle AQR, 1Q* (aa)= Ax*(87) + QR* (99); ainsi mettant aux dénominateurs aa à la place de 17+99, & aux numerateurs aa -99 à la place de rr, les deux valeurs de AB seront AB (x) :id +49+d 99 + Vid + $9+ de 19x

x Par exemple, fuppofé que la force de la poudre HAld) foit de 300 toises ; l'éloignement AQ(a) de

320 toises;

la hauteur QR(q) de 83 toises; en substituant ces valeurs de de.

XXX

Vdx

2

XX

rr +99

29.

Irrg

4

2 x ry +99

2

ز

2

iqx

2

9 Х

42

!

E

2,q, à leur place dans les valeurs de AB(x), on trouvera
que la plus petite est de 8s toiles, & la plus grande de 273
toises. Ainsi partageant le diametre HA du demi cercle en
300 parties égales , prenant, 1', AB de 85 parties , & tirane
la perpendiculaire BC, la corde AC sera la premiere direc-
tion qu'il faut donner au mortier pour faire tomber la bombe
en e 20. Prenant AF de 273 parties, & tirant la perpen-
diculaire FG, la corde AG sera la seconde direction qu'il
faut donner au mortier pour le même effet.

REMARQUES,

I.
Le Problême est toujours possible quand la quantité néga-
tive qui est dans les deux valeurs de x sous le signe v, est
moindre

que la positive qui est sous le même signe v, ou
78. quand elle lui est égale; & il est impossible * quand elle est
plus grande,

11.
Si l'angle d'inclinaison du mortier CAK étoit donnée, &
qu'on voulût trouver la charge de poudre, c'est à dire ,

force du jet propre à faire tomber la bombe à l'endroit Q;
Fig. IX. dans cette supposition l'angle P AR est connu, & l'on trou-

vera par la Geometrie pratique les lignes Agla), AR (r),
QR(9), PR, qu'on nommera p; nommant aussi l'érendue
inconnue du jet AK(2), on trouvera par le second cas du
quatriéme Problême l'étendue AK (2), BC ( AK = z);
ensuite on trouvera la force du jet HA (d) que l'on cher- .
choit, comme dans le quatrième Problème.

la

3:

Usage de l'Analyse pour trouver le centre de pesanteur

des corps pesants.
Principes que l'on suppose pris des traités de Méchanique.

PREMIERE DE'FINITION.
331. UN levier est une ligne droite comme AB, qu’on suppose
Fig. IV. inflexible, & que l'on considere, pour l'exactitude des démon-

strations, comme n'ayant aucune pesanteur. On y distingue
trois choses, 1°, un de ses points, soit à l'une ou l'autre de
les extremités A ou B; ou entre les extremités comme C,

!

SUPPOSITION.

E

B= np,

le

BC

raport ac

AC

sur lequel il est appuyé, ou par lequel il est suspendu ; & on
appelle ce point l'appui ; 2°. un poids attaché à un point de
ce levier comme en A ou B, ou C, &c. ou quelqu'autre
force qui tire ce levier par ce point ; 3°. une autre force à
un autre point du même levier, qui tire aussi le levier par ce
point.

PREMIERE 332. Le levier AB étant supposé horizontal, appuyé ou suspen- Fig. IV.

du au point C, & deux poids A & B aux extremités; si le
poids A est au poids B, reciproquement comme la distance
BC où est B de l'appui C, à la distance AC où est A du
même appui C, ces deux poids A & B seront en équilibre :
Et reciproquement si A & B sont en équilibre, l'on aura A
.B :: BC .AC.
Ainsi supposant le plus petit poids A=P, le plus grand

= = 5 : Supposant la distance BC
=d, & par consequent la distance AC nd; l'on aura
Ax AC (ndp) =B x BC (ndp).

COROLLAIRE I.
333. Si au lieu des poids A & B attachés aux extremités du

levier, l'on conçoit deux corps A & B qui choquent ou qui
tirent les extremités du levier , sçavoir A avec la vitesse v,
& B avec la vitesse u ; A*v sera la force avec laquelle A
agir au point A, & B x u sera la force avec laquelle B agit
au point B ; par consequent si Axv. B xu :: BC. AC, il
y aura équilibre entre ces deux forces ; & s'il y a équilibre,

&

y
Axv. Bxu:: BC.AC; d'où l'on déduit AxVX AC
Bu x BC.

SECONDE DE'FINITI O N.
334. Le point C d'un levier, dont les distances CA, C B des

poids A & B qui sont aux points A & B du levier , sont:
entr'elles reciproquement comme ces poids, s'appelle le
centre de pesanteur de ces poids ; la ligne cirée de ce centre C
perpendiculairement à l'horison , s'appelle la ligne de direca.
tion de ce centre, ou simplement la ligne de direction. La:
pesanteur de chacun des poids considerés separés du levier,
s'appelle leur pesanteur ou leur force absolue ; comme aussi

X xxij.

1

le produit A xv ou B x y de la masse de chacun des deux
corps A & B en mouvement (qui choqueroient ou tireroient
le levier aux points A & B) par leur vitesse v ou u, en les
considerant sans raport au levier, s'appelle aussi la force
absolue de chacun de ces corps. Mais le produit de la pesan-
teur absolue de chacun des poids A & B, ou de leur force
absolue, par la distance où est ce poids ou ce corps du cen-
tre de pesanteur ou de l'appui C, s'appelle l'effort de ce poids
ou de cette force sur le levier; on le nomme en latin momen-
tum. Ainsi AX AC, BR BC, A x V X AC, B * v * BC,
sont les efforts des poids A&B, & des forces Axv& B x H,
agissant l'une sur l'autre par le moyen du levier,

SECONDE SUPPOSITION.
335. Si le levier est appuyé ou soutenu à ses deux extremités A
Fig. IV. & B, & qu'il y ait un poids c à un point quelconque Centre

y
les points A & B, les appuis en A & en B loutiennent cha-
cun une partie du poids C, & la partie que le poids C com-
munique à l'appui A, est à la partie qu'il communique à
l'appui B, reciproquement comme la distance BC eft'à la
distance AC.

Ainsi nommant a la partie de sa pesanteur que le poids C
communique à l'appui A, & b celle qu'il communique à
l'appui B; l'on aura a ..:: BC. AC ; d'où il fuit que a + b
ou le poids entier C.b:: AB. AC; & l'on aura aussi a + b
a :: AB.BC ; c'est à dire, le poids entier C est à la partie
de sa pesanteur qu'il communique, par exemple, à l'appui B,

fa
comme la distance AB entre les deux appuis, est à la dis-
tance CA du poids c de l'autre appui A.

S'il n'y avoit qu'un appui en A, & qu'en B ce fût seulement
quelque force qui refiftât à l'effort que le poids c commu-

C
nique au point B, il est clair que ce seroit la même chose
que s'il y avoir un appui au point B, & que le poids C com-

,
muniqueroit au point B la même partie de la pesanteur.

Si au lieu du poids C, c'étoit un corps en mouvement qui
poufsât ou rirât le point C, & que la vitesse de ce corps

fût

༧, il est évident qu'il faudroit prendre la force C x v pour le poids C, & que cette force ou quantité de mouvement se distribueroit aux points A & B en raison reciproque des distances AC, BC.

33