II. Quand d=1h, c'est à dire quand la force du jer H A(d) est égale à la moitié de l'étendue AK (b), les valeurs de BA(*) sont la seule grandeur ( d, c'est à dire HA, ce qui convient à l'inclinaison de 45 degrés.

III. Il est évident que le Problême est possible dans tous les cas où h est moindre que { d , ou est égale à įd; ou, ce qui est la même chose, quand best moindre que d ou égale à d; & qu'il est impossible dans tous les cas où į b surpasse d, c'est

à dire, quand le point K est hors de la plus grande portée * 327. ou de la plus grande étendue du jer qui est égale à 2d.*

SECOND CAS DU CINQUIEME PROBLEME.
Quand l'endroit sur lequel on veut jetter la bombe est plus élevé

ou plus bas que l'horizontale qui passe par le mortier, comme
quand on veut la jetter fur le flanc d'un bastion, sur une tour,
sur quelqu'endroit d'un fort qui est sur une montagne ; ou quand

le mortier est lui - même sur une montagne. Fig.18. La question se réduit, comme au premier cas, à trouver

le côté vertical AB du triangle rectangle ABC, qui fera connoître la direction de la corde AC qu'il faut donner au mortier pour faire tomber la bombe , avec la force de poudre HÀ qu’on fuppose connue, sur l'endroit 2, qu'on suppose élevé sur l’horizontale ARK qui passe par le mortier A, ou sur l'endroit q plus bas que le mortier.

Pour trouver BĂ, il faut mesurer l'angle QAR ou qAR, & trouver par la Geometrie pratique l'oblique AQ, la verticale QR ou qR, & l'horizontale AR; & supposant

HA= =d, A2 ou Aq=a, AR=r, QR ou qR =9, * 288. & l'inconnue A B qu'on cherche =x; l'on aura BC= Vdx

- xx ; l'étendue du jer AK ou Ak, qui est quadruple * 325. *de BC=4Vdx xx ; la verticale K$ou ks =4BA=4x;

& à cause des triangles semblables KAS, PAR, on aura AK (4Vdx xx). KS (4*) :: AR(Y). PR

= d'où l'on déduira PQ=PR - QR =

qdx

& rix & qv dx Pq=

Vdx

- **

lution du Problême par raport à PQ; le Le&eur pouvant facilement l'appliquer à Pq.

Resolution. La bombe qu’on suppose jettée suivant la direc. tion ACPs, rencontre la hauteur Q dans le temps que par le mouvement horizontal uniforme, elle auroit parcouru AR; & s'il n'y avoit pas eu de hauteur &, elle seroit tombée au point K sur l'horizontale AK, dans le temps que par le mouvement uniforme, elle auroit parcouru l'horizontale AK; ainsi la vitesse étant uniforme, c'est à dire la même

par l'horizontale ARK, les temps par AR & par AR*, peuvent * 303. s'exprimer par ces longueurs. Mais dans le temps du mouvement uniforme par AR, la vitesse verticale que la pesanteur a fait perdre à la bombe, la empêchée de parcourir P23 & dans le temps du mouvement uniforme par AK, la vitesse verticale que la pesanteur lui auroit fait perdre, l'auroit

. empêchée de parcourir SK; par consequent * AR' (ro). * 309.

1* —qVdx AK(16 dx - xx) :: **) :: P26 :). KS(4x); ce qui

-qV dx ; donne cette équation 4rrx=16xdx ---- ***

dry — 2d99

2d9q- irra qui se réduit à xx Cette équation a deux racines positives *, ainsi il y a deux * 29. valeurs de BA (*) qui donnent deux angles d'inclinaison Cor, 8. pour le mortier, par chacune desquelles on lui fera jetter la bombe sur l'endroit Q; ces deux valeurs sont A B (*) dry + 2099 + irra drr + 2d99+ org I + dq

2 x ry +99 Mais à cause du triangle rectangle AQR, AQ” (aa) = Ax*(rr) - QR* (99); ainsi mettant aux dénominateurs aa à la place

& aux numérateurs aa 99 à la place de rr, les deux valeurs de AB seront AB(x)=1d+*9+d- 1qx 99 + Vid+ 49+qxan - 44

Par exemple, suppofé que la force de la poudre HAld) foit de 300 toises; l'éloignement AQ(a) de 320 toises; la hauteur QR(q) de 83 toises; en substituant ces valeurs de dg.

Xxx

Väx

2

* * - 4

+ dq go to 99

4

2

rr +99

de 17+99,

2

2

9+48 x 1

.

9,

à leur place dans les valeurs de AB(x), on trouvera que la plus petite est de 8s toiles, & la plus grande de 273 coises. Ainsi partageant le diametre HĀ du demi cercle en 300 parties égales , prenant, 1°, AB de 85 parties , & tirant la perpendiculaire BC, la corde AC sera la premiere direction qu'il faut donner au mortier pour faire tomber la bombe en Q 2o. Prenant AF de 273 parties, & tirant la perpendiculaire FG, la corde AG sera la seconde direction qu'il faut donner au mortier pour le même effet.

REMARQUE S.

I. Le Problême est toujours possible quand la quantité négative qui est dans les deux valeurs de x sous le signe v, est moindre

que la positive qui est sous le même signe V, ou * 78. quand elle lui est égale ; & il est impossible * quand elle est plus grande,

11. Si l'angle d'inclinaison du mortier CAK étoit donnée, & qu'on voulût trouver la charge de poudre, c'est à dire , la

force du jet propre à faire tomber la bombe à l'endroit Q; Fig. IX. dans cette supposition l'angle PAR est connu, & l'on trou

vera par la Geometrie pratique les lignes AQ(a), AR (r), QR(9), PR, qu'on nommera p; nommant aussi l'étendue inconnue du jet AK (2), on trouvera par le second cas du quatrieme Problême l'étendue AK (2), BC ( AK = z); ensuite on trouvera la force du jet HA(d) que l'on cherchoit, comme dans le quatriéme Problême.

PREMIERE

DEFINITION.

Vsage de l'Analyse pour trouver le centre de pesanteur

des corps pesants. Principes que l'on suppose pris des traités de Méchanique.

. 331. UN levier est une ligne droite comme AB, qu'on suppose Fig. IV. inflexible,& que l'on considere, pour l'exactitude des démon

strations, comme n'ayant aucune pesanteur. On y distingue trois choses, 1', un de ses points, soit à l’une ou l'autre de fes extremités A ou B; ou entre les extremites comme C,

par ce

sur lequel il est appuyé, ou par lequel il est suspendu; & on
appelle ce point l'appui ; 2°. un poids atcaché à un point de
ce levier comme en A ou B, ou C, &c. ou quelqu'autre
force qui tire ce levier par ce point ; 3o. une autre force à
un autre point du même levier, qui tire aussi le levier
point.

PREMIERE SUPPOSITION. 332. Le levier AB étant supposé horizontal, appuyé ou suspen- Fig. IV.

du au point C, & deux poids A & B aux extremités ; si le
poids A est au poids B, reciproquement comme la distance
BC où est B de l'appui C, à la distance AC où est A du
même appui C, ces deux poids A & B seront en équilibre :
Er reciproquement si A & B sont en équilibre, l'on aura A
B:: BC.AC.

Ainsi supposant le plus petit poids A=P, le plus grand
B=np, le raport SC m=: Supposant la distance BC
=d, & par consequent la distance AC = nd; l'on aura
Ax AC (ndp) =B BC (ndp).

COROLL AIRE I.
333. Si au lieu des poids A & B attachés aux extremités du

levier, l'on conçoit deux corps A & B qui choquent ou qui
tirent les extremités du levier , sçavoir A avec la vitesse v,
& B avec la vitesse u ; Axv sera la force avec laquelle A
agit au point A, & B x u sera la force avec laquelle B agit
au point B ; par consequent si Axv. Bxu :: BC. AC, il
y aura équilibre entre ces deux forces ; & s'il y a équilibre;
'Axv. Bxu:: BC.AC; d'où l'on déduit' Axvx AĆ
= B xux BC.

SECONDE DEFINITION. 334. LE

E point c d'un levier, dont les distances CA, C B des poids A & B qui sont aux points A & B. du levier , sont: entr'elles reciproquement comme ces poids, s'appelle le centre de pesanteur de ces poids ; la ligne tirée de ce.centre C perpendiculairement à l'horison , s'appelle la ligne de direction de ce centre, ou simplement la ligne de direction. La pesanteur de chacun des poids considerés separés du levier, s'appelle leur pesanteur ou leur force absolue ; comme aussi

Xxxij.

le produit Ax v ou B x u de la masse de chacun des deux corps A & B en mouvement (qui choqueroient ou tireroient le levier aux points A & B) par leur vitesse v ou u, en les considerant sans raport au levier , s'appelle aussi la force absolue de chacun de ces corps. Mais le produit de la pesanteur absolue de chacun des poids A & B, ou de leur force absolue, par la distance où est ce poids ou ce corps du centre de pesanteur ou de l'appui C, s'appelle l'effort de ce poids ou de cette force sur le levier; on le nomme en latin momentum. Ainsi A AC, B x BC, Axv * AC, B x v x BC, sont les efforts des poids A&B, & des forces Axv& B x H, agissant l’une sur l'autre par le moyen du levier.

SECONDE SUPPOSITION. 335. Si le levier est appuyé ou soutenu à ses deux extremités A Fig. IV. &B, & qu'il y ait un poids c à un point quelconque Centre

les points A & B, les appuis en A & en B loutiennent chacun une partie du poids C, & la partie que le poids c communique à l'appui A, est à la partie qu'il communique à l'appui B, reciproquement comme la distance BC est à la distance AC.

Ainsi nommant a la partie de sa pesanteur que le poids c communique à l'appui A, & b celle qu'il communique à l'appui B; l'on aura a ..:: BC. AC ; d'où il suit que a + b ou le poids entier Cib:: AB. AC; & l'on aura aussi a + b

a :: AB.BC; c'est à dire, le poids entier C est à la partie de sa pesanteur qu'il communique, par exemple, à l'appui B, comme la distance AB entre les deux appuis, est à la distance CA du poids c de l'autre appui Ā.

S'il n'y avoit qu'un appui en A,& qu'en B ce fût seulement quelque force qui resistât à l'effort que le poids c communique au point B, il est clair que ce seroit la même chose que s'il y avoir un appui au point B, & que le poids C communiqueroit au point B la même partie de la pesanteur.

Si au lieu du poids C, c'étoit un corps en mouvement qui poussât ou cirât le point C, & que la vitesse de ce

fût

corps il est évident qu'il faudroit prendre la force C x v pour

le poids C, & que certe force ou quantité de mouvement se distribueroit aux points A & B en raison reciproque des distances AC, BC.