SU P POSITI O N.

a

TROISI E'ME SUPPOSITION.
336. Quand les directions AD, Be des forces ou des poids Fic. X.

qui tirent les points A & B du levier, ne sont pas perpendi- & XI.
culaires au levier AB, il faut tirer de l'appui c des perpen-
diculaires CD, CE aux directions AD, BE des forces, &
prendre ces perpendiculaires ou ces distances des directions
des forces ou des poids, pour les distances où sont les forces
ou les poids de l'appui C, & mettre ces distances des direc-
tions pour les distances des forces dans la seconde supposi-
tion qui précede.

Cependant dans le cas où les directions des forces sont Fig. X.
paralleles entr'elles, on peut prendre AC & C B pour

les éloignements où sont les forces ou les poids de l'appui C, parcequ'elles ont le même raport AC.CB :: CD.CE.

QUATR I E'M E
337. Il y a dans tous les corps pesants, c'est à dire dans toutes

les figures pesantes, un point qu'on appelle le centre de pesan-
teur de la figure, par la ligne de direction duquel la figure
érant suspendue ou soutenue, toutes les parties de la figure
demeurent en équilibre ou en repos.

Ainsi on peut concevoir un corps pesant comme composé
d'une infinité de petits poids , qui deux à deux se tiennent
en équilibre par un levier qui passe par le centre commun
de pesanteur de tout le corps pesant.

Proposition fondamentale pour trouver le centre de pesanteur. 338. Concevant un plan proche un corps pesant P, & partaCONCE

CEVANT
geant par l'esprit le corps pesant en autant de petits poids
qu'on voudra, qu'on nommera a, b, d, e, f, &c. pour

rendre
la chose plus claire; si des centres de pesanteur de chacun
de ces petits poids, on conçoit des lignes droites menées
perpendiculairement à ce plan, nommant a celle qui est tirée
du centre de pesanteur du petit poids a; ß, celle qui est tirée
de b, &c. si l'on conçoit aussi la perpendiculaire x menée du
centre commun de pesanteur C à ce même plan, la somme
des produits a a + b3 + df+68+ &c. de chacun des petits
poids par sa perpendiculaire, est égale au seul produit xx P
de la perpendiculaire x du centre de pesanteur multipliée

Xxx iij

a,

bc Ta

I+

par

le corps pesant entier ; ou, ce qui est la même chose, par

la somme des petits poids a, b, d, &c. c'est à dire ax +

+ dd teet &c. =rxa +6+ dret &c. =** P. Fid. XII. Pour découvrir la verité de cette propofition par l'Ana

lyse, il suffit de considerer deux des petis poids dans lesquels on conçoit le corps pesant partage. Ces deux pecits poids soient a & b; le levier par le moyen duquel on les conçoit en équilibre soit a Cb, qui passe par le centre de pesanteur

commun C, lequel point c'est comme l'appui de ce levier ; 332. le poids a soit nommé le poids b foit =na; ainsi* a.na

::bc.aC, &a.a+ na :: bc.ba; ainsi am ma=itr=ud.

La ligne B xa represente le plan qui est proche du corps. pesant; & bß, qu'on nommera 6, est la ligne perpendicu. faire tirée du centre de pesanteur du petit poids 6 au plan. Bxc; Cdx, qu'on nommera x, est la perpendiculaire tirée du centre commun de pesanteur C au même plan ; & aea est la perpendiculaire menée du centre de pesanteur du petit poids a au même plan. On menera bde parallele à ce plan Bxa ; & les trois lignes bß, dx, ea, font égales entr'elles, & chacune est=63(B); Cd=Cx — dx=x— B. Il faut

— Сх
démontrer que b'xbB+ a xdu= Cxx6+a.

=b
A cause des triangles semblables abe, Cbd, on aura bc.
ba(1.1+n):: Cd (x-B).ae=x – B + un - Bn; ainsi

B
ae + ea=x + xn — Bn. Or le produit de bx bB :

= aßn; (à cause de b=an, & de bB=B); celui de a par aa=ax

bß - aßn; ainsi b xbB+ a x aa = ax + axn. Le produit de la somme des deux petits poids a & b par Cx, est aussi a + an x x = ax + axn. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE. 339.

IL

L est évident que ce qu'on vient de démontrer pour deux des petits poids dans lesquels on conçoit qu'un corps pesant est partagé, convient à tous ; & qu'ainsi pour trouver la distance du centre de pesanteur d'un corps à un plan, il faut trouver la somme des produits de tous les petits poids dans lesquels on peut concevoir le corps partagé par les lignes perpendiculaires tirées de chacun à ce plan, c'est à dire, la somme des produits de chacune de ces perpendiculaires multipliée par

son petit poids; & diviser cette somme par la somme de tous les petits poids, c'est à dire, par le

х

corps entier, & le quotient sera la perpendiculaire tirée du
centre de pesanteur du corps à ce plan, c'est à dire sa distance
de ce plan.

AVERTISSEMEN T.
ON

n pourroit ici trouver par analyse, en se servant du calcul ordinaire, le centre de pesanteur des differentes figures ; mais la methode étant bien plus aisée en se servant du calcul differentiel & du calcul integral, on n'en parlera que

dans les parties suivantes ; il suffit ici d'avoir démontré le principe de la methode par le calcul ordinaire.

Vsage de l'Analyse pour trouver le centre d'oscillation des pendules composés ; ce qui sert à donner

la regularité aux horloges.

A V E R T I S S E M E N T. 340. La regularité des horloges dépend de ce qui en modere

le mouvement ; l'on n'a rien trouvé qui le fît avec plus de
justesse que les pendules, parceque l'on a découvert l'art de
faire en sorte qu’un pendule fît toutes ses vibrations chacune
d'une égale durée, c'est à dire, que l'effort du poids de l'hor-
loge agissant par le moyen des roues & des pignons sur le
pendule quelquefois un peu plus fort, d'autres fois un peu
moins fort, on a trouvé le moyen de faire que les plus gran-
des & les moindres vibrations du pendule se fiflent en des
temps égaux, ou fussent chacune d'une même durée. Ainsi
donnant aux roues & aux pignons de l'horloge le nombre
de dents
propres
à faire

que l'effort du poids ne pousse le pendule que de secondes en secondes, ce qui est facile, il ne faut plus que trouver un pendule qui fasse chacune de ses vibrations en une seconde de temps ; & l'on aura un horloge qui sera la mesure exacte du temps. Pour cela il faut trouver deux choses ; la premiere est qu'en se servant d'un pendule composé, c'est à dire , qui a deux ou plusieurs poids ( ce qui sert à avancer ou à retarder facilement l'horloge,quand elle en a besoin ) il faut trouver l'endroit où doit être placé chacun des poids, afin que les vibrations se fassent chacune en un temps donné, comme en une seconde; la seconde, quelle est la courbe que doit décrire le point du pendule où l'on

conçoit que l'effort des poids est réuni , afin que les durées de chacune des vibrations soient égales, & le moyen de faire décrire cette courbe à ce point là dans les horloges. L’Analyse fait trouver l'une & Pautre de ces deux choses.. Voici la premiere.

DE'FINITION. 341. On pendule simple est une ligne inAlexible SC, qu’on consiFig.Xlil. dere comme n'ayant aucune pesanteur , qui est suspendue à

un point S, qu'on appellera le point de suspension, au bout de saquelle est un poids C, & l'on conçoit que le poids c est comme réuni au point C qui est l'extremité de la ligne. La distance SC du point de suspension jusqu'à ce point Č, est la longueur du pendule simple. Si l'on retire un peu le pendule de la situation verticale, il fera de petites vibrations qui seront

sensiblement d'une égale durée. Fig.XIV. Un pendule composé est celui où il y a plusieurs poids enfilés & XV. par la même ligne inflexible, & l'on considere ici chacun de

ces poids comme si ce n'étoit qu'un point. La distance depuis le point de suspension S d’un pendule composé jusqu'au point c(fig. 14), & jusqu'au point K(fig. 15), que l'on suppose égale à la longueur d'un pendule simple isochrone, c'est à dire, qui feroit ses vibrations dans le même temps que le pendule composé, s'appelle la distance du centre d'oscillation ; & le point cou K s'appelle le centre d'oscillation.

PREMIERE 342. Dans un même pendule composé, qu’on suppose inflexiFig.XIV. ble, les poids differents comme A, L, (fig. 14), & A, B, L,

(fig. 15), ne sçauroient se mouvoir qu'ils ne décrivent dans le même temps des arcs semblables A2, LP; par conse. quent

le

temps érant le même, les vitesses des poids sont necessairement entr'elles comme ces arcs; & ces arcs comme leurs rayons SA, SL: ainsi les vitesses des poids A & L font comme leurs distances AS, LS du point de suspension.

SECONDE L'EFFO 34 3. EF FOR T de la pesanteur fur les corps pesants leur im

prime au premier instant de leur chute à chacun un même petit degré de vitesse , qu'on nommera 1. Ainsi le produit

de

!

DE MANDE.

& XV.

DEMANDE.

CA S.

*

*

de chaque poids par 1, par exemple Axi, LXI, &c. ou A, L,
est *la quantité du mouvement de chaque poids au premier *.29,90
instant de la chute.
PROBLEME

1.
TROUVER la distance du centre d'oscillation d'un pendule,
c'est à dire , la longueur du pendule fimple qui feroit ses vibrations
dans le même temps que le pendule composé , qu'on appelle.
i sochrone.

PREMIER Lorsque le pendule composé a deux poids A & L. 344. Soit le poids A=xt, le poids L=1, la distance SA=,F16.XIV.

itl la distance Sl=fi la longueur inconnue SC du pendule simple isochrone, ou la distance du centre d’oscillation du pendule composé soit=z. Soit aussi le mouvement inconnu du poids A (a) dans le pendule composé au premier instant de la descente = y; le divisant par le poids* Ala), on aura * 299. la vitesse du poids Ala) dans le pendule composé = . Mais dans le premier instant la vitesse du poids A dans le

2

pendule composé, est à la vitesse du poids c dans le pendule simple isochrone, ou du point C dans le composé qui est à la même distance SC, laquelle vitesse eft i dans le même premier instant

par

la seconde demande, comme la distance
SA/e) est à la distance SC1z) par la premiere demande :
Donc SC(Z)=... Ainsi il ne s'agit plus que
2 =

de trouver la
valeur de y pour avoir celle de SC (z). Voici comment on
la trouve.

. La pesanteur au premier instant de la descente des poids Ala) & 1(1) du pendule composé, leur imprime à chacun la même vitesse 1 (par la seconde demande ) ainsi leur

qualltité de mouvement est a x !,,1.x1, ou a &l: mais le poids Ala) à cause du pendule inflexible, ne peut pas dans ce même instant parcourir une longueur qui soit egale à celle que parcourt le poids 1(1), mais il est necessité

par le pen-
dule à parcourir une longueur AQ moindre

que
celle

que
parcourt l qui est LP ; le poids a perd donc une partie dų

,
mouvement a x.i que lui donne la pesanteur ; & il recient
seulement la partie y de ce mouvement laquelle nous chera

.
chons ; & l'autre partie qui est a x1- ), oud-), est celle

Y yy

I

ST