Imágenes de páginas
PDF
EPUB

SUPPOSITION.

1

TROIS I E'M E SUPPOSITION. 336. QUAND

Uand les directions AD, BE des forces ou des poids fic. X.
qui tirent les points A & B du levier, ne sont pas perpendi- & XI.
culaires au levier AB, il faut tirer de l'appui c des perpen-
diculaires CD, CE aux directions AD, BE des forces, &
prendre ces perpendiculaires ou ces distances des directions
des forces ou des poids, pour les distances où sont les forces
ou les poids de l'appui C, & mettre ces distances des direc-
tions pour les distances des forces dans la seconde supposi-
tion qui précede.

Cependant dans le cas où les directions des forces sont Fig. X.
paralleles entr'elles, on peut prendre AC & C B pour les
éloignements où sont les forces ou les poids de l'appui C,
parcequ'elles ont le même raport AC.CB :: CD.CE.

QUATR I E'M E
337. Il y a dans tous les corps pesants, c'est à dire dans toutes

les figures pesantes, un point qu'on appelle le centre de pesan-
teur de la figure, par la ligne de dire&tion duquel la figure
érant suspendue ou soutenue, toutes les parties de la figure
demeurent en équilibre ou en repos.

Ainsi on peut concevoir un corps pesant comme composé
d'une infinité de petits poids , qui deux à deux se tiennent
en équilibre par un levier qui passe par le centre commun
de pesanteur de tout le corps pesant.

Proposition fondamentale pour trouver le centre de pesanteur.
CONCE
CEVANT un plan proche un corps pesant P, &

partageant par l'esprit le corps pesant en autant de petits poids qu'on voudra, qu'on nommera a, b, d, e, f, &c. pour rendre la chose plus claire ; si des centres de pesanteur de chacun de ces petits poids, on conçoit des lignes droites menées perpendiculairement à ce plan, nommant a celle qui est tirée du centre de pesanteur du petit poids a; ß, celle qui est tirée de b, &c. si l'on conçoit aussi la perpendiculaire x menée du centre commun de pesanteur Cà ce même plan, la somme des produits a c +63 + dd+€8,+ &c. de chacun des petits poids par sa perpendiculaire, est égale au seul produit x x P de la perpendiculaire x du centre de pesanteur multipliée

Xxx iij

338.

1

[ocr errors]
[ocr errors]

bc la

[ocr errors]

par

le

corps pesant entier; ou, ce qui est la même chose, par la somme des petits poids a, b, d, &c. c'est à dire aa +68 + dd + es + &c.

be d test &c. = x x P. Fig. XII. Pour découvrir la verité de cette propofition par

l'Analyse, il suffit de considerer deux des petis poids dans lesquels on conçoit le corps pesant partagé. Ces deux petits poids soient a & b; le levier par le moyen duquel on les conçoit en équilibre soit a Cb, qui passe par le centre de pesanteur

commun C, lequel point c est comme l'appui de ce levier; 332. le poids a soit nommé a, le poids b foit =na; ainsi* a.na

::bc.aC,&a.a+ na :: bc. ba; ainsi for the

La ligne Bra represente le plan qui est proche du corps pesant ; & bß, qu'on nommera B, est la ligne perpendicufaire tirée du centre de pesanteur du petit poids b au plan. Bra; Cdx, qu'on nommera x, est la perpendiculaire tirée du centre commun de pesanteur C au même plan ; & aed est la perpendiculaire menée du centre de pesanteur du petit poids a au même plan. On menera bde parallele å ce plan Bxa ; & les trois lignes , dx, ex, sont égales entr'elles, & chacune est=63(B); Cd=Cx - dx=x— B. Il faut démontrer que bxbB+ a xau= Cxx6+a.

A cause des triangles semblables abe, Cbd, on aura bc . ba(1.1+n):: Cd (x—B.ae=x- -B 8 + 2m

Bn; ainsi Bn. Or le produit de bx bB = aßn; (à cause de b=an, & de bB = B); celui de a par aa=ax. + axn-- aßn; ainsi b xbB+ a x aa = ax + axn. Le produit de la somme des deux petits poids a & b par Cx, est aussi a + an x x = ax + axn. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLA IR E. 339. Il est évident que ce qu'on vient de démontrer pour deux

des petits poids dans lesquels on conçoit qu'un corps pesant est partagé, convient à tous ; & qu’ainfi pour trouver la distance du centre de pesanteur d'un corps à un plan, il faut trouver la somme des produits de tous les petits poids dans lesquels on peut concevoir le corps partagé par les lignes perpendiculaires tirées de chacun à ce plan, c'est à dire, la somme des produits de chacune de ces perpendiculaires multipliée par son petit poids; & diviser cette somme par la somme de tous les petits poids, c'est à dire, par le

ae + ea — x xn

[ocr errors]

corps entier, & le quotient sera la perpendiculaire tirée du centre de pesanteur du corps à ce plan, c'est à dire la distance de ce plan.

A v ERTISSEMENT. N pourroit ici trouver par analyse, en se servant du calcul ordinaire, le centre de pesanteur des differentes figures ; mais la methode étant bien plus aisée en se servant du calcul differențiel & du calcul integral, on n'en parlera que dans les parties suivantes ; il suffit ici d'avoir démontré le principe de la methode par le calcul ordinaire.

ܪ

Usage de l'Analyse pour trouver le centre d'oscillation des pendules composés ; ce qui sert à donner

la regularité aux horloges.

A v ER I ISS E MEN T. 340. La regularité des horloges dépend de ce qui en modere

le mouvement ; l'on n'a rien trouvé qui le fît avec plus de justesse que les pendules, parceque l'on a découvert l'art de faire en sorte qu'un pendule fît toutes ses vibrations chacune d'une égale durée, c'est à dire, que l'effort du poids de l'horloge agissant par le moyen des roues & des pignons sur le pendule quelquefois un peu plus fort, d'autres fois un peu moins fort, on a trouvé le moyen de faire que les plus grandes & les moindres vibrations du pendule se fiflent en des temps égaux, ou fussent chacune d'une même durée. Ainsi donnant aux roues & aux pignons de l'horloge le nombre de dents propres à faire que l'effort du poids ne pousse le pendule que de secondes en secondes, ce qui est facile, il ne faut plus que trouver un pendule qui fasse chacune de ses vibrations en une seconde de temps; & l'on aura un horloge qui sera la mesure exacte du temps. Pour cela il faut trouver deux choses; la premiere est qu'en se servant d'un pendule composé, c'est à dire, qui a deux ou plusieurs poids (ce qui sert à avancer ou à retarder facilement l'horloge, quand elle en a besoin ) il faut trouver l'endroit où doit être placé chacun des poids, afin que les vibrations se fassent chacune en un temps donné, comme en une seconde; la seconde, quelle est la courbe que doit décrire le point du pendule où l'on

& XV.

conçoit que l'effort des poids est réuni , afin que

les durées de chacune des vibrations soient égales , & le moyen de faire décrire cette courbe à ce point là dans les horloges. L'Analyse fait trouver l'une & l'autre de ces deux choses.. Voici la premiere.

DEFINITION. 341. On pendule simple est une ligne inflexible SC, qu’on consiF.c.XIII. dere comme n'ayant aucune pesanteur , qui est suspendue à

un point S, qu'on appellera le point de suspension, au bout de saquelle est un poids C, & l'on conçoit que le poids c est comme réuni au point C qui est l'extremité de la ligne. La distance SC du point de suspension jusqu'à ce point Č, est la longueur du pendule simple. Si l'on retire un peu le pendule de la situation verticale, il fera de petites vibrations qui seront

sensiblement d'une égale durée. F1.XIV. Un pendule composé est celui où il y a plusieurs poids enfiles

par la même ligne inflexible, & l'on considere ici chacun de ces poids comme si ce n'étoit qu'un point. La distance depuis le point de suspension S d'un pendule composé jusqu'au point C(fig. 14), & jusqu'au point K(fig. 15), que l'on suppose égale à la longueur d'un pendule simple isochrone, c'est à dire, qui feroit ses vibrations dans le même temps que le pendule composé, s'appelle la distance du centre d'oscillation ; & le point C ou K s'appelle le centre d'oscillation.

PREMIERE 342. Dans un même pendule composé, qu'on suppose inflexiFIG.XIV. ble, les poids differents comme A, L, (fig. 14), & A, B, L, & XV. (fig. 15), ne sçauroient se mouvoir qu'ils ne décrivent dans

le même temps des arcs semblables A2, LP; par conse. quent

le temps étant le même, les vitesses des poids sont necessairement entr'elles comme ces arcs ; & ces arcs comme leurs rayons SA, SL: ainsi les vitesses des poids A & L sont comme leurs distances AS, ZS du point de suspension.

SECONDE 343. L'EFFORT de la pesanteur fur les corps pesants leur im

prime au premier instant de leur chute à chacun un même petit degré de vitesse, qu'on nommera 1. Ainsi le produit

de

DEMANDE.

DEMANDE.

CAS.

* 299

de chaque poids par 1, par exemple Axi, Lx 1,&c. ou AL,
est*la quantité du mouvement de chaque poids au premier *.1991
instant de la chute.

PROBLEME I.
TROUVER la distance du centre d'oscillation d'un pendule,
c'est à dire, la longueur du pendule fimple qui feroit ses vibrations
dans le même temps que le pendule composé ; & qu'on appelle.
ifochrone.

PREMIER
Lorsque le pendule composé a deux poids A & L.
3.4 4. Soit le poids A=:1, le poids L

Ex1, le poids L=l, la distance SA=4, F16.XIV, la distance Sl=f; la longueur inconnue SC du pendule simple isochrone, ou la distance du centre d'oscillation du pendule composé soit=2. Soit aussi le mouvement inconnu du poids A (a) dans le pendule composé au premier instant de la descente =y; le divisant par le poids* A(a), on aura la vitesse du poids A (a) dans le pendule composé = Mais dans le premier instant la vitesse du poids A dans le pendule composé, est à la vitesse du poids c dans le pendule fimple isochrone, ou du point C dans le composé qui est à la même distance SC, laquelle vitesse est dans le même premier instant par la seconde demande, comme la distance SA(e) est à la distance SC(z) par la premiere demande : Donc SC (2)=... Ainsi il ne s'agit plus que de trouver la valeur de y pour avoir celle de SC (Z). Voici comment on la trouve.

La pesanteur au premier instant de la descente des poids
A(a) & 1(2) du pendule composé , leur imprime à chacun
la même vitesse 1 (par la seconde demande ) ainsi leur quan,
tité de mouvement est a 1,1X1, ou a &l: mais le poids
Alalà cause du pendule inflexible, ne peut pas dans ce
même instant parcourir une longueur qui foit egale à celle
que parcourt le poids 11 l), mais il est neceslité

par
le

pen:
dule
à parcourir une longueur AQ moindre

que
celle

que
parcourt l qui est LP ; le poids a perd donc une partie du
mouvement a x1 que lui donne la pesanteur , & il retient
seulement la partie y. de ce mouvement laquelle nous cher-
chons ; & l'autre partie qui est a xiyou 4–, est celle

ST

[ocr errors]

Y yy

« AnteriorContinuar »