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TROISIEME SUPPOSITION.

336. QUAND les directions AD, BE des forces ou des poids Fre. X. qui tirent les points A & B du levier, ne font pas perpendi- & XI. culaires au levier AB, il faut tirer de l'appui C des perpendiculaires CD, CE aux directions AD, BE des forces, & prendre ces perpendiculaires ou ces diftances des directions des forces ou des poids, pour les distances où font les forces ou les poids de l'appui C, & mettre ces diftances des directions pour les distances des forces dans la feconde supposition qui précede.

Cependant dans le cas où les directions des forces font FIG. X. paralleles entr'elles, on peut prendre AC & C B pour les éloignements où font les forces ou les poids de l'appui C, parcequ'elles ont le même raport AC . ĈB :: CD . ĈE.

L

QUATRIEM E SUPPOSITION.

337. Il y a dans tous les corps pefants, c'est à dire dans toutes les figures pefantes, un point qu'on appelle le centre de pefanteur de la figure, par la ligne de direction duquel la figure étant fufpendue ou foutenue, toutes les parties de la figure demeurent en équilibre ou en repos.

Ainfi on peut concevoir un corps pefant comme compofé d'une infinité de petits poids, qui deux à deux fe tiennent en équilibre par un levier qui paffe par le centre commun de pefanteur de tout le corps pefant.

Propofition fondamentale pour trouver le centre de pefanteur. 338. CONCEVANT un plan proche un corps pesant P, & partageant par l'efprit le corps pefant en autant de petits poids qu'on voudra, qu'on nommera a, b, d, e, f, &c. pour rendre la chofe plus claire; fi des centres de pefanteur de chacun de ces petits poids, on conçoit des lignes droites menées perpendiculairement à ce plan, nommant a celle qui eft tirée du centre de pefanteur du petit poids a; ß, celle qui eft tirée de b, &c. fi l'on conçoit auffi la perpendiculaire x menée du centre commun de pefanteur c'à ce même plan, la fomme des produits a abß + d♪ + e ε+ &c. de chacun des petits poids par fa perpendiculaire, eft égale au feul produit × P de la perpendiculaire x du centre de pefanteur multipliće

Xxx iij

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Fre. XII.

par

le corps pefant entier ; ou, ce qui eft la même chose, par la fomme des petits poids a, b, d, &c. c'est à dire a a + bß + dd + eε + &c. = × ×a+b+d+e+ &c. — × × P.

α

a
a + na

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Pour découvrir la verité de cette propofition par l'Analyfe, il fuffit de confiderer deux des petis poids dans lesquels on conçoit le corps pefant partage. Ces deux petits poids foient a & b; le levier par le moyen duquel on les conçoit en équilibre foit a Cb, qui paffe par le centre de pefanteur commun C, lequel point C eft comme l'appui de ce levier, 2332. le poids a soit nommé a, le poids b foit =na ; aïnli*a . na :: bC. aC, & a. a + na :: bC . ba ; ainfi = 4. La ligne xa reprefente le plan qui eft proche du corps. pefant; & 63, qu'on nommera 6, est la ligne perpendicu laire tirée du centre de pefanteur du petit poids b au plan Bxa; Cdx, qu'on nommera x, eft la perpendiculaire tirée du centre commun de pefanteur C au même plan; & aea eft la perpendiculaire menée du centre de pefanteur du petit poids a au même plan. On menera bde parallele à ce plan Bxa; & les trois lignes bß, du, ex, font égales entr'elles, & chacune eft = b 3 (B); Cd bB (B); Cd=Cx — d x = x — B. Il faut démontrer que b x b b + a xa u = C x x b + a...

339.

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A caufe des triangles femblables abe, Cbd, on aura bc. ba (1.1+n) :: Cd(x-B). aex- B+xn Bn; ainfi ae + ea = x + xnn. Or le produit de bx bß =aßn; (à caufe de ban, & de bß = B); celui de a par aaax +ann aßn ; ainfi b x betaxaa=ax - axn. Le produit de la fomme des deux petits poids a & b par Cx, est aussi a + an × x = ax+axn. Ce qu'il falloit démontrer..

COROLLAIRE.

pour

deux

IL eft évident que ce qu'on vient de démontrer
des petits poids dans lefquels on conçoit qu'un corps pefant
eft partagé, convient à tous; & qu'ainfi pour trouver la
distance du centre de pefanteur d'un corps à un plan, il
faut trouver la fomme des produits de tous les petits poids
dans lefquels on peut concevoir le corps partagé par les
lignes perpendiculaires tirées de chacun à ce plan, c'est à
dire, la fomme des produits de chacune de ces perpendicu-
laires multipliée par fon petit poids; & divifer cette fomme
par la fomme de tous les petits poids, c'est à dire, par le

·

corps entier, & le quotient fera la perpendiculaire tirée du centre de pefanteur du corps à ce plân, c'est à dire fa distance de ce plan.

O

AVERTISSEMENT.

N pourroit ici trouver par analyse, en se servant du calcul ordinaire, le centre de pefanteur des differentes figures; mais la methode étant bien plus aifée en fe fervant du calcul differentiel & du calcul integral, on n'en parlera que dans les parties fuivantes; il fuffit ici d'avoir démontré le principe de la methode par le calcul ordinaire.

Ufage de l'Analyfe pour trouver le centre d'ofcillation
des pendules compofes; ce qui fert à donner
la regularité aux horloges.

A

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AVERTISSEMENT.

340. La regularité des horloges dépend de ce qui en modere LA le mouvement; l'on n'a rien trouvé qui le fît avec plus de jufteffe que les pendules, parceque l'on a découvert l'art de faire en forte qu'un pendule fît toutes fes vibrations chacune d'une égale durée, c'est à dire, que l'effort du poids de l'horloge agiffant par le moyen des roues & des pignons fur le pendule quelquefois un peu plus fort, d'autres fois un peu moins fort, on a trouvé le moyen de faire que les plus grandes & les moindres vibrations du pendule fe fiffent en des temps égaux, ou fuffent chacune d'une même durée. Ainfi donnant aux roues & aux pignons de l'horloge le nombre de dents propres à faire que l'effort du poids ne pouffe le pendule que de fecondes en fecondes, ce qui eft facile, il ne faut plus que trouver un pendule qui fasse chacune de ses vibrations en une feconde de temps; & l'on aura un horloge qui fera la mesure exacte du temps. Pour cela il faut trouver deux choses; la premiere eft qu'en fe fervant d'un pendule compofé, c'est à dire, qui a deux ou plufieurs poids (ce qui fert à avancer ou à retarder facilement l'horloge,quand elle en a besoin) il faut trouver l'endroit où doit être placé chacun des poids, afin que les vibrations fe faffent chacune en un temps donné, comme en une feconde; la feconde, quelle eft la courbe que doit décrire le point du pendule où l'on

a

conçoit que l'effort des poids eft réuni, afin que les durées de chacune des vibrations foient égales, & le moyen de faire décrire cette courbe à ce point là dans les horloges. L'Analyse fait trouver l'une & l'autre de ces deux choses.. Voici la premiere.

DEFINITION.

341. UN pendule fimple est une ligne inflexible SC, qu'on confiFIG.XIII. dere comme n'ayant aucune pefanteur, qui eft fufpendue à

& XV.

un point S, qu'on appellera le point de fufpenfion, au bout de laquelle est un poids C, & l'on conçoit que le poids C est comme réuni au point C qui eft l'extremité de la ligne. La distance SC du point de fufpenfion jufqu'à ce point C, eft la longueur du pendule fimple. Si l'on retire un peu le pendule de la fituation verticale, il fera de petites vibrations qui feront fenfiblement d'une égale durée.

FIG.XIV. Un pendule compofe eft celui où il y a plufieurs poids enfiles par la même ligne inflexible, & l'on confidere ici chacun de ces poids comme fi ce n'étoit qu'un point. La distance depuis le point de fufpenfion S d'un pendule compofé jufqu'au point ¤(fig. 14), & jusqu'au point K (fig. 15), que l'on fuppofe égale à la longueur d'un pendule fimple ifochrone, c'est à dire, qui feroit fes vibrations dans le même temps que le pendule compofé, s'appelle la diftance du centre d'ofcillation; & le point C ou K s'appelle le centre d'ofcillation..

PREMIERE DEMANDE.

342. DANS un même pendule compofé, qu'on suppose inflexiFIG.XIV. ble, les poids differents comme A, L, (fig. 14), & A, B, L, & XV. (fig. 15), ne sçauroient se mouvoir qu'ils ne décrivent dans le même temps des arcs femblables A2, LP; par confequent le temps étant le même, les viteffes des poids font neceffairement entr'elles comme ces arcs ; & ces arcs comme leurs rayons SA, SL: ainfi les viteffes des poids A & L font comme leurs distances AS, LS du point de suspension.

SECONDE DEMANDE.

343. L'EFFORT de la pefanteur fur les corps pefants leur imprime au premier inftant de leur chute à chacun un même petit degré de viteffe, qu'on nommera 1. Ainfi le produit

de

de chaque poids par 1, par exemple A× 1, Z× 1,&c. ou A ̧L,
eft*la quantité du mouvement de chaque poids au premier * 299.
instant de la chute.

PROBLÊ ME I.

TROUVER la diftance du centre d'oscillation d'un pendule,
c'eft à dire, la longueur du pendule fimple qui feroit fes vibrations
dans le même temps que le pendule compofe, & qu'on appelle
ifochrane.

PREMIER CAS.

Lorfque le pendule compofe a deux poids A & L.

pen

344. Soir le poids A, le poids Z=1, la distance SA=C, F16.XIV.
la diftance SL =ƒ; la longueur inconnue SC du pendule
f;
fimple ifochrone, ou la distance du centre d'ofcillation du
pendule compofe foitz Soit auffi le mouvement inconnu
du poids A (a) dans le pendule compofé au premier instant'
de la defcente =y; le divifant par le poids *A(a), on aura * 299.
la vitesse du poids A(a) dans le pendule compofé. Mais
dans le premier inftant la viteffe 2 du poids A dans le
dule compofé, eft à la viteffe du poids C dans le pendule
fimple ifochrone, ou du point C dans le compofé qui est à
la même distance SC, laquelle viteffe eft 1 dans le même
premier instant par la feconde demande, comme la diftance
SA(e) eft à la diftance SC(z) par la premiere demande:
Donc SC (z). Ainfi il ne s'agit plus que de trouver la
valeur de y pour avoir celle de SC (z). Voici comment on
la trouve.

I

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La pefanteur au premier inftant de la defcente des poids
A (a) & L (l) du pendule compofé, leur imprime à chacun
la même viteffe 1 (par la feconde demande) ainfi leur quan
tité de mouvement eft a x 1, x1, ou a &: mais le poids
A(a) à cause du pendule inflexible, ne peut pas dans ce
même inftant parcourir une longueur qui foit egale à celle
que parcourt le poids Z (1), mais il eft neceffité par le pen-
dule à parcourir une longueur AQ moindre
que celle
que
parcourt / qui eft LP; le poids a perd donc une partie du
mouvement a × 1 que lui donne la pefanteur, & il retient
feulement la partie y de ce mouvement laquelle nous cher-
chons; & l'autre partie qui eft a x 1-y, ou ay, eft celle
YYY

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