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à

Où l'on fait voir l'usage de l'Analyfe dans la Geometrie
compofée, c'est à dire, l'usage de l'Analyse par raport
soutes les lignes courbes, pour en découvrir les proprietés
& les ufages:

AVERTISSEMENT.

C'EST dans la Geometrie composée, c'est à dire, dans la
fcience des lignes courbes, que paroît furtout l'ufage, &
même la neceflité de l'Analyfe, depuis qu'on l'a appliquée à
cette science, on y a fait des progrés furprenants; & fi elle
n'étoit pas infinie, on auroit dans l'Analyse, en employant
le calcul differentiel & integral (inventé de notre temps) le
moyen de l'épuiser. Comme la fcience des lignes courbes
fert à la Phyfique & à toutes les fciences Phyfico - Mathe-
matiques, d'où dépend la perfection des arts; c'eft dans
cette fcience que paroît évidemment l'utilité de l'Analyse.

On applique l'Analyfe aux lignes courbes, en réduifant
chaque courbe à une équation qui en exprime une des prin
cipales proprietés; & enfuite on découvre par le feul calcul
de l'Analyfe, en fe fervant de cette équation, tout ce que
l'on peut
defirer de fçavoir de cette courbe. L'Analyse mê-
me fournit le moyen d'exprimer une infinité de courbes par
une même équation par le moyen des lettres indéterminées,
& de découvrir par le même calcul les proprietés de toutes
ces courbes. C'est ce que l'on va expliquer dans cette fection.

$49. QUAND

PREMIERE DEFINITION.

pre

XVIII.

UAND deux lignes données AB, BC, font un angle Fre.XVI. quelconque ABC, & que la premiere AB ou une de les XVII. & puiffances, comme AB, AB', &c. ou le produit de la miere AB, ou de quelqu'une, ou de plufieurs de fes puis fances par d'autres lignes données; quand, dis-je, cette premiere ligne AB, où ce produit eft égal à la feconde BC ou à quelques unes de fes puiffances, ou au produit de BC, ou des puiffances de BC par des lignes connues; on dira que cette égalité ou équation exprime le raport des lignes A B· ·

350.

=

& BC. Ainfi fuppofé AB=a, BC=b, & une autre ligne
donnéep; fuppofé auffi que ap=bb, ou aap
b3 + pbbi
on dira
que cette équation exprime le raport de AB à BC.
Explication de la maniere dont l'Analyse réduit les courbes
à des équations qui en expriment la nature, c'est à dire,
les principales proprietés.

CAc eft une ligne foit droite foit courbe fur un plan; ABb FIG.XVI. eft une ligne droite donnée de pofition, dont le point fixe XVII. & ou l'origine A eft déterminée, mais la ligne eft indétermiXVIII. née de côté & d'autre, foit gAG une ligne droite qui coupe

AB au point A en faisant avec elle un angle quelconque
BAG, foient auffi de tous les points de CAc des lignes droites
CB, cb, &c. tirées fur AB, paralleles entr'elles & à gAG;
fuppofé que l'équation qui exprime le raport de la pre-

miere parallele BC avec la premiere AB, foit la même que
celle qui exprime le raport de la feconde be avec la feconde
ligne Ab correfpondante, de la troifiéme be avec la troi-
fiéme Ab qui lui répond, & ainfi de toutes les autres, de-
maniere qu'en mettant chaque bc dans la premiere équation
à la place de la premiere BC, & la correfpondante AB de
chaque nouvelle BC à la place de la premiere AB, ce foit
la même équation; on peut faire une équation qui con.
vienne à tous les points de la ligne droite ou courbe cAC,
en nommant la changeante AB, x; la changeante BC, y;
& mettant dans la premiere équation x à la place de AB,
& y à la place de BC, & l'on a l'équation de la ligne droite

ou courbe CAC.

EXEMPLES.

351. Si l'on a les deux lignes droites données p & d, & que l'équation qui exprime le raport de chaque BC (y) à chaque * 282. AB (x), foit px = px=dy; la ligne ACC eft droite *.

Si l'équation qui exprime le raport de chaque BC (y) à chaque AB (x),,eft px=yy; la ligne ACC eft courbe, & fe nomme la parabole ; & px= yy, est l'équation à la parabole. Si l'équation eft & yy = dx la courbe ACC fe nomme l'ellipfe.

d

=

XX 2

Si l'équation eft yy dxxx, la courbe ACC eft la *289. circonference du cercle*..

Si l'équation eft a vy = dxxx; la courbe ACC fe nomme l'hyperbole.

Si

Si l'équation eft ppx =y', la courbe ACC fe nomme la
premiere parabole cubique.

Si l'équation eft pxxy', la courbe ACC fe nomme la
feconde parabole cubique.
Si l'équation eft x3
me la ciffoïde.

=

dyyxyy, la courbe ACC fe nom

Comme il y a une infinité de courbes differentes, il y a auffi une infinité d'équations differentes qui les expriment & il eft inutile d'en faire ici une longue énumeration; ce que l'on vient de dire fuffit pour faire concevoir comment l'Analyse reduit chaque courbe à une équation qui exprime fa principale proprieté, d'où l'on déduit les autres.

Si l'on tire des points CCcc de la ligne CC Acc des paral- FIG.XVI. leles CG, cg, &c. à la ligne AB qui fe terminent à la ligne gAG qui eft fuppofee parallele aux lignes BC, Bc, bc, &c. il eft évident qu'à caufe des paralleles, les lignes AG, Ag, &c. font égales aux lignes BC, bc, &c. chacune à fa correfpondante; ainfi chaque AG=y; & que de même les lignes GC, gc, &c. font égales aux lignes AB, Ab, &c. chacune à celle qui lui répond, ainfi chaque GC x. D'où il eft clair qu'en rapportant les points de la ligne ACC à la ligne droite gAG, par le moyen des paralleles CG, cg, &c. l'on aura la même équation que l'on avoit de la même ligne CC Acc, en rapportant tous les points à la droite ABb par le moyen des paralleles BC, bc, &c.

SECONDE DEFINITION.

353. DANS toutes les courbes qu'on peut réduire à une équa- FIG.XVI. tion qui en exprime la proprieté, la ligne droite AB à laquelle on rapporte tous les points de la courbe, s'appelle la ligne des coupées ou des abfciffes, & la changeante AB, Ab, &c. s'appelle la coupée ou l'abfciffe; le point fixe A s'appelle l'origine. Les paralleles BC, bc, &c. s'appellent les ordonnées ou les appliquées : & comme l'on a vu qu'on pouvoit prendre auffi les coupées fur AG parallele aux ordonnées, & les ordonnées fur ABB, chaque AB & fa correspondante BC s'appellent les coordonnées ; & les deux lignes ABB, AG qui fe coupent à l'origine A, les lignes des coordonnées ; & l'angle GAB qu'elles font enfemble, l'angle des coordonnées ; & les quatre angles GAB, GAH, gAH, BAg, qu'elles

Zzz

font ensemble à l'origine A, font les quatre angles des deux lignes des coordonnées.

Divifion des courbes en differens genres. 354. Les lignes comme CC Acc dont on peut exprimer la nature, c'eft à dire, la principale proprieté par une équation algebri

ES

que qui contienne le raport des coordonnées changeantes x 350. &y, lefquelles coordonnées ne font que de fimples lignes droites, s'appellent Geometriques ou Algebriques, & on les diftingue en differens genres, dont chacun prend fon nom du nombre qui eft l'expofant de la plus haute puiffance de celle des deux coordonnées x ou y, qui eft élevée au plus haut degré fans mêlange de l'autre dans l'équation, où du nombre des dimensions du produit de l'une par l'autre dans l'équation, quand ce produit a plus de dimenfions que la plus haute puiflance feparée de l'une & de l'autre.

Les lignes dont l'équation ne contient que x & y lineaires fans être multipliées l'une par l'autre, comme px=dy, font les lignes du premier genre: & il n'y a dans ce premier genre que la ligne droite.

Les lignes dont l'équation contient le quarré de l'une des coordonnées x ou y, ou le quarré des deux xx & yy, ou le produit des deux xy, font les lignes du fecond genre: Mais comme elles font auffi les premieres courbes ou les courbes les plus fimples, on les appelle les courbes du premier genre.

Toutes les courbes dont l'équation contient la troifiéme puiffance de l'une ou de l'autre des coordonnées 3 ou y3, ou de toutes les deux x3 & y3, ou un produit des deux qui a trois dimenfions xxy ou xyy, font les lignes du troifiéme genre, & en même temps les courbes du fecond genre ; & ainfi de fuite à l'in

fini.

La maniere d'exprimer par une feule équation une infinité de courbes toutes de differens genres.

m4n

355. EN mettant dans l'équation à la parabole p'x1 — y` des expofants indéterminés m & n, on aura léquation "x"=y qui exprime les paraboles de tous les genres à l'infini, en concevant que m & n reprefentent tous les nombres entiers que l'on peut mettre à leur place dans cette équation. Par exemple fi m=1,n=1, l'équation p"x"="+" fera l'équation

m

m

m n

à la parabole du premier genre p'x'y': Sim2, n=1,
l'équation p"x"=y" fera ppx=y', qui est l'équation a
la premiere parabole cubique: Si m=1, n = 2, l'équation
px" =y"+" fera pxx =y', qui eft la feconde parabole
cubique: Si m=3, n=1, l'équation p"x"="+" fera
p'x == y*, qui eft la premiere parabole du troifiéme genre;
& ainfi à l'infini.

dm+n

#ym+

=X

m

x

m

De même en mettant dans l'équation à l'ellipfe #y1×'× x', & dans l'équation à l'hyperbole #yx'x dx' les expofants indéterminés m & n; l'on aura, 1°, l'équation =x" × d=x", qui exprime les ellipfes de tous les genres à l'infini, m & n reprefentant tous les nombres entiers qu'on peut mettre à leur place; & 2°, l'équation #"+"x"× d+x", qui exprime les hyperboles de tous les genres à l'infini par la même raison.

n

y

m

On peut de même rendre generales les équations de tou tes les courbes qu'on peut imaginer.

TROISIEME DEFINITION..

356. DANS les courbes du premier genre, quand la ligne des F1G.XVI, coupées ABB coupe par la moitié chacune des ordonnées CBC terminées de côté & d'autre à la courbe, elle s'appelle un diametre de la courbe, & le point A où ce diametre rencontre la courbe, eft nommé le fommet de ce diametre, il fuffit qu'il en coupe deux differentes par la moitié, pour les couper toutes. Quand le diametre eft coupé perpendiculairement par les ordonnées, on l'appelle l'axe de la courbe; la ligne droite donnée p dans les équations px-yyyyxx d — x, yy = x x dx, s'appelle le parametre du diametre qui eft la ligne des coupées x dans l'équation. Dans l'ellipse

d

& dans l'hyperbole les diametres fe croifent dans un point K FIG.XVII.
qu'on appelle le centre. Dans l'une & dans l'autre le diametre & XVIII,
dD qui eft parallele aux ordonnées, s'appelle le fecond ou le
diametre conjugué du premier diametre Aa qui les coupe cha-
cune par la moitié, & on les appelle conjugués l'un de l'autre.
Une ligne qui touche une courbe dans un feul point, comme FIG. XIX.
CS, s'appelle la tangente en ce point là qui s'appelle le point tou_ XX. XXI.
chant; & la partie de la ligne des coupées comme BS, qui est
interceptée entre l'ordonnée BC du point touchant C, & le

Z z zij

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