point S où elle est rencontrée par la tangente prolongée, FIG.XIX. s'appelle la foutangente: une droite CD perpendiculaire à la tangente au point touchant, s'appelle une perpendiculaire à la courbe,& la partie BD de la ligne des coupées entre l'ordonnée BC au point touchant, & le point D'où cette perpendiculaire coupe la ligne des coupées, fe nomme la fouperpendi culaire. Une ligne droite fur le même plan de la courbe, dont la courbe s'approche de plus en plus à l'infini fans jamais la FIG.XXI. toucher, comme KE, s'appelle une afymptote de la courbe. 357. Les mêmes définitions conviennent aux courbes des genres plus élevés, neanmoins comme la même courbe dans ces genres plus élevés, a d'ordinaire plufieurs branches de chacun des côtés du diametre, quand elle a un diametre: lorfque la ligne des coupées coupe chaque ordonnée de maniere que la fomme des parties de l'ordonnée terminées aux points de chaque branche de la courbe d'un côté, est égale à la fomme des parties de la même ordonnée terminées aux branches de la courbe qui font de l'autre côté, alors la ligne des coupées est un diametre de la courbe, & ce dia. metre eft l'axe, quand les ordonnées lui font perpendiculaires, De la formation ou defcription des courbes, furtout 358. On peut tracer les courbes fur un plan de deux manieres, 1o, par le mouvement continu d'un point, ce qui fe peut faire de differentes manieres: par exemple, on peut faire mouvoir deux longues regles fur deux points fixes qu'on appelle les Poles, de façon qu'elles fe croifent pendant leur mouvement en des points dont la fuite eft la courbe que l'on veut décrire: l'une des deux regles peut fe mouvoir parallelement le long d'une ligne donnée de pofition, pendant que l'autre tournera fur fon pole, & la fuite des points où elles fe croifent pendant leur mouvement fera auffi une courbe; l'on peut faire mouvoir une figure rectiligne ou courbe le long d'une regle immobile, pendant qu'une autre regle se mouvant fur fon pole, coupera la courbe en des points dont la fuite fera une ligne courbe. On peut imaginer une infinité d'autres manieres de décrire les courbes par le mouvement continu; 2°, en trouvant plufieurs points de la De toutes les manieres que l'on a trouvées de décrire les courbes du premier genre par un mouvement continu, la plus commode eft la fuivante, dont M. le Marquis de l'Hofpital eft l'autheur, parcequ'elle fert non feulement à les tracer avec les axes, mais auffi avec tel diametre de la courbe qu'on voudra; & de plus elle donne d'abord l'équation de la courbe la plus fimple par raport à fes axes ou à fes diametres. 359. Il faut remarquer que les courbes du premier genre fe nomment ordinairement les fections coniques, parcequ'en concevant deux cones égaux qui ont le même fommet, & qu'un plan coupe l'un des deux ou tous les deux la fection eft une parabole, quand le plan coupant eft parallele à un côté de la furface du cone; une ellipfe, quand le plan coupe les côtés oppofés de la furface du cone, & ne fait pas les angles avec ces côtés, égaux à ceux qui font ces côtés fur la bafe du cone; un cercle, quand le plan coupe les côtés oppofés, & fait avec eux les angles égaux à ceux que font ces côtés fur la bafe, une hyperbole, quand le plan coupe les deux cones oppofés au fommet : c'eft ce qui a fait appeller par les Anciens, fections coniques, les courbes du premier genre; mais cette maniere de concevoir ces courbes comme formées par la fection du cone, étant plus embarassante que la manière de les décrire fimplement fur un plan, celle-ci étant la feule qui eft d'ufage, on ne parlera point ici de la premiere. On fe contentera d'expliquer la feconde, d'en déduire les équations des fections coniques, & les principales proprietés neceffaires pour entendre ce huitiéme Livre. La formation de la parabole. 360. 1°.Il faut tirer une droite HAB indéterminée, & prenant F16.XVI. le point A pour l'origine, mener une autre droite gAGP par A faisant l'angle BAG avec AB égal à celui que l'on veut que faffent les ordonnées avec ABb; & ayant pris AP de la grandeur que doit être le parametre du diametre AB ou d'une grandeur déterminée telle qu'on voudra, qui fera le parametre du diametre ABb de la parabole qu'on décrira, Zzz iij. il faut mener par P la ligne indéterminée FPF parallele à ABb. 2°. Il faut prendre une longue regle ACF, l'attacher par un clou au point A autour duquel elle puiffe fe mouvoir fur le pole A, & la mettre d'abord fur la ligne gAGP; il faut enfuite prendre une longue regle GC, & la faire gliffer toujours parallele à AB le long de la ligne AGP, & la mettre d'abord le long de ABb. 3°. Pour décrire la partie de la parabole qui eft à la droite de AB, il faut faire mouvoir en bas la regle ACF fur le pole A, & faire en même temps gliffer la regle GC le long de AGP, faifant en forte que AG foit toujours égale à PF & marquer avec un ftile C la ligne courbe AC qui pafse par tous les points C, où les regles fe croisent dans leur mouvement, & ce fera la partie de la parabole qui eft vers la droite du diametre ABb. 4. Pour décrire l'autre partie Ac de la parabole, il faut faire mouvoir la regle Afen haut au deflus de P, & faire gliffer la regle ge le long de Ag, faisant en forte que Ag foit toujours égale à Pf, & marquer avec un ftile e la courbe qui paffe par tous les points c où les regles Ac & gc fe croifent dans leur mouvement continu, & ce fera la feconde partie de la parabole. LA C La defcription de l'ellipfe& de l'hyperbole. 361. La longueur Aa du diametre ou de l'axe doit être déterFIG.XVII. minée, comme auffi la longueur AP du parametre qui con& XVIII. vient à ce diametre ou à l'axe; & l'on doit d'abord faire ce qui eft marqué dans les deux premiers articles de la parabole,. excepté que la feconde regle aC doit être mobile autour du pole a, qui eft la feconde extremité du diametre Aa. Pour décrire la partie de l'ellipfe ou de l'hyperbole qui est à la droite de ABb, on fera mouvoir en bas au deffous de P la premiere regle ACF fur le pole A, & en même temps la feconde regle ac fur le pole a, faifant en forte que AG foit toujours égale à PF ; & l'on marquera avec un stile en C la courbe qui paffe par tous les points C où fe croisent les deux regles; & ce fera la premiere moitié de l'ellipse ou de l'hyperbole AC. & Pour décrire l'autre moitié, on fera mouvoir en haut la premiere regle Af au deffus de P toujours fur le pole A, l'autre regle ac du côté gauche de ABb, faifant en forte que Ag foit toujours égale à Pf, & l'on marquera avec un ftile en c la courbe Acc, qui paffe par tous les points coù ces regles fe croifent; & ce fera la feconde partie de l'ellipse ou de l'hyperbole. L'hyperbole ayant en particulier une autre hyperbole ax à l'extremité a du diametre a entierement égale & femblable à la premiere AC; on décrira cette feconde hyperbole ax en faisant mouvoir la premiere regle AC en Ax fur le même pole A, & en même temps la feconde en ax fur le pole a, faisant en forte que Ay foit toujours égale à Po; & traçant avec un ftile en la courbe qui paffe par tous les points x où fe croifent les deux regles, elle fera la feconde hyperbole ax semblable & égale à la premiere AC. La maniere dont on déduit des formations précedentes les équations POUR LA PARABOLE. 362. SOIT le parametre APp, chaque PF ou Pf=f, FIG.XVI. Il est évident que la même équation convient à la feconde I COROLLAIRE S. I. 363. Si l'on prolonge chaque BC vers la gauche jusqu'à ce qu'elle rencontre la parabole en c, l'on aura Bc BC; car mettant la regle fAc dans la fituation où elle faffe ƒPFP, 1 364. 365. 366. 367. 368. l'on aura Ag=ƒP; par confequent Ag fera égale à PF =AG, & ge fera égale à ABGC; mais Bc eft toujours égale à Ag à caufe des paralleles: ainsi quand ƒP FP, Ag est égale à AG, &gc = AB=GC : ainfi dans l'équation px=yy, qui convient à BC & à Bc, y=y, & x=x, & peft la même grandeur. D'où l'on voit que fi l'on plioit la parabole de façon que le pli fût dans la ligne ABb, la partie ACC de la parabole s'ajusteroit fur l'autre partie Acc. I I. La ligne PG Ag touche la parabole au feul point A qui eft le fommet du diametre ABb; car il faut que la regle AC ou Ac faffe un angle avec GAg au point A, pour donner chaque autre point C, c de la parabole, & GAg est seule tangente au point A; car toute autre ligne AC ou Ac passant par A, & faifant un angle avec GAg au point A, donne un point de la parabole, & par confequent elle paffe par deux points de la parabole, d'où l'on voit que la tangente par le fommet A, est parallele aux ordonnées du diametre ABb. III. La parabole ACC eft concave à l'égard du diametre ABb, car chaque corde AC, Ac, est entre l'arc qu'elle foutient, & le diametre ABb. IV. Quand l'angle BAG eft droit, les ordonnées CB font perpendiculaires au diametre AB; ainfi dans ce cas ABb est l'axe dont AP eft le parametre: dans tout autre cas AB est fimplement un diametre dont AP eft le parametre, qui n'eft pas alors le même que celui de l'axe ou d'un autre diamètre. V. L'angle GAB que fait la tangente GAB au fommet A avec le diametre AB, eft celui que fait en ce point A la courbe même avec fon diametre AB. V I. Pr pu น Dans la parabole, les coupées AB, Ab, (fig. 19) font entr'elles comme les quarrés des ordonnées; car nommant AB ( x ), Ab(u), BC (y), bc (z), l'on aura = 22; & par confequent les ordonnées BC (y), bc (z) font entr'elles comme les racines des coupées AB (x), Ah (u): puifque yy.zz :: x ‚ u ; & y . z :: √x.vu. Le |