point S où elle est rencontrée par la tangente prolongée, Fig.XIX. s'appelle la foutangente : une droite CD perpendiculaire à la

à tangente au point touchant, s'appelle une perpendiculuire à la courbe, & la partie BD de la ligne des coupées entre l'ordonnée BC au point touchant, & le point D où cette perpendiculaire

coupe la ligne des coupées, se nomme la souperpendiculaire.

Une ligne droite sur le même plan de la courbe , dont la

courbe s'approche de plus en plus à l'infini sans jamais la F16.XXI. toucher, comme KE, s'appelle une asymptote de la courbe. 357, Les mêmes définitions conviennent aux courbes des

genres plus élevés, neanmoins comine la même courbe dans ces genres plus élevés, a d'ordinaire plusieurs branches de chacun des côtés du diametre, quand elle a un diametre: lorsque la ligne des coupées coupe chaque ordonnée de maniere

que la somme des parties de l'ordonnée terminées aux points de chaque branche de la courbe d'un côté, est égale à la somme des parties de la même ordonnée terminées aux branches de la courbe qui sont de l'autre côté ; alors la ligne des coupées est un diametre de la courbe, & ce dia. metre est l'axe, quand les ordonnées lui sont perpendiculaires. De la formation ou description des courbes , surtout du premier genre.

. 358. On peut tracer les courbes sur un plan de deux manieres,

1", par le mouvement continu d'un point, ce qui se peut faire de differentes manieres : par exemple, on peut faire mouvoir deux longues regles sur deux points fixes qu'on appelle les Poles, de façon qu'elles se croisent pendant leur mouvement en des points dont la suite est la courbe que

l'on veut décrire : l'une des deux regles peut se mouvoir parallelement le long d'une ligne donnée de position, pendant que l'autre tournera sur fon pole, & la suite des points où elles se croisent pendant leur mouvenient sera aussi une courbe ; l'on peut faire nouvoir une figure rectiligne ou courbe le long d'une regle immobile, pendant qu'une autre regle se mouvant sur son pole , coupera la courbe en des points dont la suite sera une ligne courbe. On peut imaginer une infinité d'autres manieres de décrire les courbes par le

а

mouvement continu ; 2°, en trouvant plusieurs points de la
courbe tres proches les uns des autres, & les joignant en-
semble

par de petites lignes, l'on a à peu près la courbe que
l'on veut décrire.

De toutes les manieres que l'on a trouvées de décrire les courbes du premier genre par un mouvement continu, la plus commode est la suivante, dont M. le Marquis de l'Hofpital est l'autheur, parcequ'elle sert non seulement à les tracer avec les axes, mais aussi avec tel diametre de la courbe qu'on voudra ; & de plus elle donne d'abord l'équation de la

courbe la plus simple par raport à ses axes ou à ses diametres. 359. Il faut remarquer que les courbes du premier genre se

nomment ordinairement les sečtions coniques , parcequ'en
concevant deux cones égaux qui ont le même sommer, &
qu'un plan coupe l'un des deux ou tous les deux la section
est une parabole, quand le plan coupant est parallele à un
côté de la surface du cone ; une ellipse , quand le plan
coupe les côtés opposés de la surface du cone,

& ne fait

pas les angles avec ces côtés, égaux à ceux qui font ces côtés sur la base du cone ; un cercle, quand le plan coupe les côtés opposés , & fait avec eux les angles égaux à ceux que font ces côtés sur la base ; une hyperbole, quand le plan coupe les deux cones opposés au sommet : c'est ce qui a fait appeller

par les Anciens, feftions coniques , les courbes du premier genre; mais cette maniere de concevoir ces courbes comme formées par la section du cone, étant plus embarassante que la maniere de les décrire simplement sur un plan, celle-ci étant la seule qui est d'usage; on ne parlera point ici de la premiere. On se contentera d'expliquer la seconde, d'en déduire les équations des sections coniques, & les principales proprietés necessaires pour entendre ce huitiéme Livre.

La formation de la parabole. 360. 1°. I faut tirer une droite HAB indéterminée , & prenant Fig.XVI.

le point A pour l'origine, mener une autre droite gAGP
par A faisant l'angle BAG avec AB égal à celui que

l'on
veut que fallent les ordonnées avec ABb; & ayant pris AP
de la grandeur que doit être le parametre du diametre AB
ou d'une grandeur déterminée telle qu'on voudra, qui sera
le parametre du diametre ABb de la parabole qu'on décrira,

Zzz iij.

ܪ

L

de AGP,

il faut mener par P la ligne indéterminée FPF parallele å
ABb.
2°. Il faut prendre une longue regle ACF, l'attacher

par
un clou au point A autour duquel elle puisse se mouvoir sur
le pole A, & la mettre d'abord sur la ligne gAGP; il faut
ensuite prendre une longue regle GC, & la faire glisser tou-
jours parallele à AB le long de la ligne AGP, & la mettre
d'abord le long de ABó.
3°. Pour décrire la partie de la parabole qui est à la droite

à
de AB , il faut faire mouvoir en bas la regle ACF sur le
pole A , & faire en même temps glisser la regle GC le long
faisant en

forte
que

AG soit toujours égale à PF,
& marquer avec un stile c la ligne courbe AC qui passe par
tous les points C, où les regles se croisent dans leur mouve-
ment, & ce sera la partie de la parabole qui est vers la droite:
du diametre Abb.

4°. Pour décrire l'autre partie Ac de la parabole, il faut
faire mouvoir la regle Af en haut au deslus de P, & faire
glisser la regle ge le long de Ag, faisant en sorte que Ag soit
toujours égale à Pf, & marquer avec un stile c la courbe qui
passe par tous les points c où les regles Ac&gc se croisent
dans leur mouvement continu ,, & ce sera la seconde partie
de la parabole.

La description de Pellipse e de l'hyperbole:
361. La longueur Aa du diametre ou de l'axe doit être déter-
Fig.XVII. minée, comme aufli la longueur AP du parametre qui con-
& XVIII. vient à ce diametre ou à l'axe; & l'on doit d'abord faire ce

qui est marqué dans les deux premiers articles de la parabole,
excepté que la seconde regle ac doit être mobile autour du
pole a, qui est la seconde extremité du diametre Aa.

Pour décrire la partie de l’ellipse ou de l'hyperbole qui
est à la droite de À Bb, on fera mouvoir en bas au defTous
de P la premiere regle ACF sur le pole A, & en même
temps la seconde regle ac sur le pole a, faisant en sorte que
AG soit toujours égale à PF; & l'on marquera avec un stile
en C la courbe qui passe par tous les points Coù se croisent
les deux regles; & ce sera la premiere moitié de l’ellipse ou
de l'hyperbole AC.

36:

36

Pour décrire l'autre moitié, on fera mouvoir en haut la
premiere regle Af au dessus de P toujours sur le pole A , &
s'autre regle ac du côté gauche de ABb, faisant en forte
que Az soit toujours égale à Pf, & l'on marquera avec un
stile en c la courbe Acc, qui passe par tous les points c où ces
regles se croisent ; & ce sera la seconde partie de l’ellipse ou
de l'hyperbole.

L'hyperbole ayant en particulier une autre hyperbole ax
à l'extremité a du diametre Aa entierement égale & sem-
blable à la premiere ACi on décrira certe seconde hyper-
bole ax en faisant mouvoir la premiere regle AC en Ar sur
le même pole A , & en même temps la seconde en a x sur le
pole a, faisant en sorte que Ay soit toujours égale à PP; &
traçant avec un stile en la courbe qui passe par tous les
points x où se croisent les deux regles, elle sera la seconde
hyperbole ax semblable & égale à la premiere AC.
La maniere dont on déduit des formations précedentes les équations

de la parabole , de Pellipse e de Phyperbole.

POUR LA
362. Soit le parametre AP=p, chaque PF ou Pf=f, Fig.XVI.

chaque coupée AB, Ab=x, chaque.ordonnée BC, bc=y. .
Les triangles APF, ABC sont semblables, comme aussi APF,
Abc , à cause des paralleles AGI, BC, & ABb,fPF: par
consequent ÅP (P). PF (f):: BC (v). AB (x); d'où l'on
déduit px=fy: Mais à cause des paralleles , BC ( )
= AG=PF (f) par la construction : ainsi mettant y à la

:
place de f, l'on a l'équation à la parabole px=yy, c’ent à
dire, chaque ordonnée BC (y) est moyenne proportionelle
entre la coupée AB (x) & le parametre AP (P); ou bien
le produit px du parametre par la coupée est toujours égal
au quarré de l'ordonnée yy.

Il est évident que la même équation convient à la seconde
moitié de la parabole Ac.
COROLLA I RE S.

I.
363. Si l'on prolonge chaque BC vers la gauche jusqu'à ce

qu'elle rencontre la parabole en c, l'on aura Bc = BC; car
mettant la regle fAc dans la situation où elle false fP=FP,

PARA BO LE.

, pour donner

l'on aura Ag=f? ; par consequent Ag sera égale à PF

= AG, & gc sera égale à AB=GC ; mais Bc est toujours égale à Ag à cause des paralleles : ainsi quand fP

FP, Ag est égale à AG, & gc = AB-=GC: ainsi dans l'équation px=yy, qui convient à BC & à Bc, y=),&x= x, & p est la même grandeur. :

D'où l'on voit que si l'on plioit la parabole de façon que le pli fût dans la ligne ABC, la partie ACC de la parabole s'ajusteroit sur l'autre partie Acc.

II.
36 4. La ligne PG Ag touche la parabole au seul point A qui

est le sommer du diametre ABb; car il faut que la regle AC
ou Ac fasse un angle avec G A3 au point A
chaque autre point C, c de la parabole, & G Ag est seule
tangente au point A; car toute autre ligne AC ou Ac pallant
par A, & faisant un angle avec G Ag au point A , donne un
point de la parabole, & par consequent elle passe par deux
points de la parabole; d'où l'on voit

que

la

tangente par le sommet A, elt parallele aux ordonnées du diametre ÅBb.

III. 365.

La parabole ACC est concave à l'égard du diametre A Bb, car chaque corde AC, Ac, est entre l'arc qu'elle soutient, & le diametre ABb.

IV. Quand l'angle BAG est droit, les ordonnées CB font perpendiculaires au diametre AB; ainsi dans ce cas ABb est s'axe dont AP est le parametre: dans tout autre cas AB est simplement un diametre dont AP est le parametre, qui n'est pas alors le même que celui de l'axe ou d'un autre diametre.

V. 367. L'angle GAB que fait la tangente GAB au sommet A A

avec le diamerre AB, est celui que fait en ce point A la courbe même avec son diametre AB.

VI. Dans la parabole, les coupées AB, Ab, (fig. 19) sont entr'elles comme les quarrés des ordonnées; car nommant AB(x), Ab(u), BC (y), bc (2), l'on aura 全立三; & & par consequent les ordonnées BC (y), bc (2) sont en

be tr'elles comme les racines des coupées AB (*), Ah (u): puisque yy. K.:: *.*;&y.3:: Vxivu.

Le

366.

368.