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A

VI I.
369. Le parametre p est à la somme de deux ordonnées bc. FrG. XIX,

+ BC (2+y), comme la difference des mêmes ordonnées
bc - BC = (2-y) est à la difference des coupées Ab.
- AB=Bb ou celu— *); car px =, & pu=*:
donc pu - px=28-yy; d'où l'on déduit p.2+y::
Kg. - *.

VIII.
370. L'équation yy = px fait voir que les x augmentans, les y

augmentent aussi ; ainsi la parabole s'écarte de plus en plus
à l'infini de son diametre.

PROBLEME 1.
l'on donne une methode generale pour mener les tangentes

des courbes geometriques.
371. UNE parabole ACc étant décrite sur un plan avec son diametre Fig. XIX:

ABb & son parametre AP, mener la tangente SC par un point
donné C, dont l'ordonnée est BC.
Il est évident qu'il suffit de trouver la soutangente BS; car
il n'y aura plus qu'à tirer la droite SC, & elle sera la tan-
gente. Entre toutes les methodes pour trouver les tangentes
des courbes, on a choisi la suivante qui convient à toutes les
courbes geometriques, comme ayant le plus de raport à la
methode de les trouver par le calcul differentiel.

Résolution. 1o. Il faut concevoir une secante SCc qui passe par
le point donné C, & coupe la parabole en un autre point c;
& mener l'ordonnée cb; & nommant AP (P), AB (x),
BC (y), BS (s), Bb ou Cele); l'équation pour le point C
est gy — px=0. 2°. Il faur trouver la valeur de ce, par le
moyen des triangles semblables SBC, Cec, qui donneront
SB (s). BC(y) :: Ce(e).ce=;. 3o. Pour avoir l'équation
par raport au point « , il faut mettre dans l'équation à la
courbe, Ab(x+e) à la place de AB (x), & bclý + v) à la
place de BC (y), & ordonner la nouvelle équation de ma-
niere

que tous les termes de la premiere foient le premier
terme de la seconde ; le second terme contienne toutes les
grandeurs où e est lineaire ; le troisiéme terme contienne
toutes celles où se trouve ee , & ainsi de suite; & l'on aura

yy + 2499 +" = 0.4o. Il faut ôter le premier terms
рх ер

A A a a,

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par conse.

sant, que

sera yy —

l'on aura

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de cette équation qui est égal à zero par la supposition, puis-
que c'est l'équation de la courbe; & le reste doit
quent être ausfi égal à zero. 5. Il faut diviser cette équation
restante par e, ce qui laissera le premier terme sans e. 6o. Il
faut fupposer la distance Bb ou Ce (e) des deux ordonnées
BC, bc égale à zero, ce qui détruira tous les termes excepté
le premier, qui est égal à zero. 7°. Enfin il faut trouver dans
ce terme la valeur de l'inconnue s, & mettre au lieu de y fa
valeur en x prise de l'équation de la courbe , & ce sera la
foutangente qu’on cherchoit ; car il est évident que la diffe-
rence Bb entre les ordonnées devenant zero ou s'anéantis.

les deux points C, c deviennent le seul point C, & que

la secante Scc devient la tangente au point C, & par consequent BS (s) devient la soutangente.

Dans notre exemple, ayant ôté le premier terme, divisé l'équation par e, & supposé ensuite e =o, l'équation restante

= 0; ou mettant px à la place de yy, 1px-p=0, d'où l'on déduit BS (s) = 2x.

Ce qui fait voir qu'en prenant AS = AB, le point S sera celui où la tangente CS rencontre le diametre.

REMARQU E. 3 72. S'1 L arrivoit , lorsqu'on cherche Ta tangente des differents

points de la courbe, qu'en mettant dans le terme où e est fineaire, des valeurs déterminées de x & de y, cela rendît le numerateur & le dénominateur de la fraction qu'on trouve ordinairement pour la valeur de s, chacun égal à zero, il faudroit prendre le troisiéme terme où se trouve ee, le diviser par ee; fupposer ensuite ee = 0, ce qui rendroit tous les termes suivants égaux à zero, & l'on trouveroit par le feul terme restant où étoit ee qui feroit lui seul l'équation, la valeur de s qui donneroit la soutangente qu’on cherche ; ainsi de suite, c'est à dire, si le terme où est ee donnoit une valeur de

S, dans laquelle le numerateur & le dénominateur se trouvassent égaux chacun à zero par la fupposition de quelques valeurs déterminées de x & de y mises à leur place dans cette fraction ou valeur de s, il faudroit passer au terme où se trouve el, & ainsi de suite; & l'on remarquera que quand il faut passer au terme ee, l'on trouve d'ordinaire deux valeurs de si quand il faut passer au termee, on trouve trois valeurs

&

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yy 2*

CI * 360.

'des; ce qui fait voir dans le premier cas que la courbe a deux
soutangentes au point déterminé dont on cherche les fou-
tangentes ; qu'elle en a trois dans le second cas, & ainsi de
suite ; c'est à dire, cela arrive ordinairement.
Corollaires de ce Problème pour la parabole.

I.
373. Si l'on mene par le point touchant C une perpendiculaire Fig. XIX.

CD à la tangente, supposant que ABD est l'axe, la souper-
pendiculaire BD est toujours égale à la moitié du parametre
de l'axe įp: Car SB (2x). BC (y):: BC (y) · BD =
= =, en mettant au lieu de yy sa valeur px.

I I.
374. Si aprés avoir trouvé la tangente SC au point C, on tiroit Fig. XIX.

ci parallele à l'axe ABb, A1 parallele a la tangente, qui
seroit égale à SC, & qu'en nommant la coupée CI (*),
l'ordonnée AI (y), on prît une ligne p telle que CI (*).
IA ou CS (y) :: CS (y). p; cette ligne p seroit le parametre
du diametre Ci, car px=yy: ainsi l'on pourroit décrire la
même parabole par la formation (fig. 16.)* en prenant CĮ *
(fig. 19) pour A Bb (fig. 16), CS pour GАg; la grandeur p
qu'on vient de trouver = * pour le parametre AP.

III.
375. D'où l'on voit que tous les diametres de la parabole sont

paralleles à l'axe & entr'eux: Ce que l'on vient de dire du
diametre CI pouvant être appliqué à tous les autres : Et que

AS=* AB=C1=Ct, à cause des paralleles.
376. D'où l'on peut trouver en toute parabole tracée l'axe & son

parametre, lorsqu'on n'a qu'un diametre & le parametre de
ce diametre, en menant deux perpendiculaires CBC, cbc à ce
diametre, qui se terminent des deux côtés à la parabole, les
partageant chacune

par la moitié en B, b; & tirant bBA
par les points B, 6, ĀBb sera l'axe, BC, bc ses ordonnées;
enfin faisant AB (x). BC(y) :: BC (y). Po la ligne p sera
le parametre de l'axe.

POUR L' ELLIPS E.
377. Soit le parametre donné AP=p, chaque coupée AB FIG. XVII.

=x, l'ordonnée BC=Y., le diametre Aà qui est donné
=d, & PF=f= AG; les triangles APF, ABC sont

A Aa a ij

371.

IV.

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semblables, comme aussi APf, Abc ; c'est pourquoi AP (P). PF(f) :: BC(y). AB(*); d'où l'on tire f= Lex : Mais les deux triangles AG, BaC étant ausli semblables, l'on à Aa(d). AG(F)::aB (d — *). BC(y); d'où l'on déduit f=m=, qui se réduit à yy=dx - xx=d — ** *, qui est l'équation de l’ellipse, où l'on voit que AP(p). Aa(d):: BC*(yy): AB® Ba (dx - xx), ce qui convient aux ordonnées y de tous les points de l’ellipse.

DEFINITION. 378. La ligne Aa (d) est le premier diametre ; le point du milieu K

du diametre est le centre ; la ligne Dd parallele aux ordon-
nées
par

le centre K, & terminée des deux côtés à l’ellipse, est le second diametre, ou le diametre conjugué du premier diamerre Aa. Ces diametres s'appellent l'un le premier axe, & l'autre le second axe, quand les ordonnées leur sont

perpendiculaires. Le parametre p d'un diametre Aa(d), dont on suppose le diametre conjugué DKd=d, est toujours la 3° proportionelle au premier diametre d & au second d; ainsi d.:::8.p,&p=. Le parametre a du second diametre Dd (d), est de même la 3* proportionelle à d&d; ainsi dod :: d.7., &75 = dd; d'où l'on voit qued.pl.) :: dd. &8.7 ( dada :: . dd. Autre expression de l'équation à l'ellipse

. in prenant le centre K pour l'origine des coupées, & nommant chaque KB (*), BC(y), Aa(d), AP (P), il est évident que KA={d; ainsi AB=įd — x. Mettant į d— * au lieu de x dans l'équation yy=dx autre équation à l’ellipse syy = idd — xx=įd - ** idt + x, qui donne AP(P). Aa(d) :: BC* (wy). AB *

Ba (dd — xx). 380. Puisque = , on peut mettre dans chacune de ces

équations de l'ellipse des au lieu de , & la premiere yy=dx

xx, deviendra dd yy=dx --xx; & la seconde yy=dd - xx, deviendra de sol yy=Add xx. Multipliant cette der. niere para , elle deviendra yy=48 — *xx ; & transposant Xx=dd yy, ou bien ** ~ 48d+yy=

379. EN

xx,

il vient cette

381. Le

& mettant de l'on aura xx+ yy=0, qui est
l'équation à l’ellipse par raport au diametre conjugué dD=c;
dont le

parametre est 7, laquelle donne cette proportion,
Le parametre a du second diametre dD est au second dia-
metre dD (S), comme le quarré de l'ordonnée Ce=BK(*)
est au produit dexeD=10S — yy=+yxį dy.

Corollaires de la formation de Pellipse.
Le premier, le second, le troisiéme, le quatrième & le
cinquiéme Corollaire de la parabole, conviennent aussi à
l’ellipse.

VI.
382. On peut voir par l'équation syy=dd xx, les endroits

où l’ellipse rencontre le diametre Aa, & le point qui en est
le plus écarté. Car, 1°, quand KB (x) est zero, ce qui arrive
au centre K, yy=idid, ainsi y=id=KD, qui est le
point de l’ellipse le plus éloigné du diametre Aa. 2°. Quand
KB (x)=KA ou Kalid), alors dd yy= dd - dd=0;
ainsi y=0 au sommet A, & de même au point a; ce qui
fait voir que l’ellipse rencontre chaque diametre comme Aa
en deux points A & a également éloignés du centre K.
3o. KB(x) ne peut pas surpasser AKTĮd), parcequ'autre-
ment le second membre dd — xx seroit négatif, & par
consequent la valeur de y feroit imaginaire, c'est à dire im-
possible.

VII.
383. Les quarrés de deux ordonnées BC, 6C, sont entr'eux

comme les produits des segmens AB xaB, Abx ba, dans
lesquels ces ordonnées partagent le diametre.

VIII.
384. Si l'on décrivoit un cercle sur le diametre Aa, & qu'on

prolongeât les ordonnées BC jusqu'à la circonference, les
quarrés des ordonnées du cercle étant égaux chacun au
produit des segmens du diamettre dans lesquels ces ordon-
nées le partagent *, les quarrés des ordonnées BC, 6C à
l’ellipse leroient entr'eux comme les quarrés des ordonnées
au cercle par les mêmes points ; d'où il suit, en prenant les
racines de ces quarrés, que les ordonnées à l’ellipse sont

A A a a iij

* 2891

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