VII.
369.
Le parametre p est à la somme de deux ordonnées bc Fig. XIX.

p
it BC (x+y), comme la difference des mêmes ordonnées
bc - BC = e(ky) est à la difference des coupées Ab
AB=Bb ou Cel 1 — x); car px =y, & pu=2

- :
donc pu -- px = 28-yy; d'où l'on déduit p.2+y::
Kg. *.

VIII.
370. L'équation yy = px fait voir que les x augmentans, les y

augmentent aussi ; ainsi la parabole s'écarte de plus en plus
à l'infini de fon diametre.

PROBLÊ ME 1.
Où l'on donne une methode generale pour mener les tangentes

des courbes geometriques.
371. UNE parabole ACc étant décrite sur un plan avec son diametre Fig. XIX:

ABb & fon parametre AP, mener la tangente SC par un point
donné C, dont l'ordonnée eft BC.
Il est évident qu'il suffit de trouver la sourangente BS; car
il n'y aura plus qu'à tirer la droite SC, & elle sera la tan-
gente. Entre toutes les methodes pour trouver les tangentes
des courbes, on a choisi la suivante qui convient à toutes les
courbes geometriques, comme ayant le plus de raport

à la
methode de les trouver par le calcul differentiel.

Résolution, 1°. Il faut concevoir une secante SCc qui passe par le point donné C, & coupe la parabole en un autre point c; & mener l'ordonnée cb; & nommant AP (P), AB (+), BC (v), BS (s), Bb ou Ce (e); l'équation pour le point Ć est gy — px =

- px=0. 2°. Il faut trouver la valeur de ce, par le moyen des triangles semblables SBC, Cec, qui donneront SB (s). BC(y) :: Ce(e).ce=”. 3°. Pour avoir l'équation par raport au point c, il faut mettre dans l'équation à la courbe, Ab(x+e) à la place de AB(x), & bo (v +) à la place de BC (y), & ordonner la nouvelle équation de maniere que tous les termes de la premiere foient le premier terme de la seconde ; le second terme contienne toutes les grandeurs où e est lineaire'; le troisieme terme contienne toutes celles où se trouve ee , & ainsi de suite; & l'on aura

+

= 0.4'. Il faut ócer le premier terms px ep

A A a a

1

i

cey

.

e

= .

de cette équation qui est égal à zero par la supposition, puis

à
que
c'est l'équation de la courbe; & le reste doit

par

conse. quent

être auffi égal à zero. 5°. Il faut diviser cette équation restante par e, ce qui laissera le premier terme sans é. 6o. Il faut fupposer la distance Bb ou Ce (e) des deux ordonnées BC, bc égale à zero, ce qui détruira tous les termes excepté le premier, qui est égal à zero. 7°. Enfin il faut trouver dans ce terme la valeur de l'inconnue s, & mettre au lieu de y sa valeur en x prise de l'équation de la courbe , & ce sera la soutangente qu’on cherchoit; car il est évident que la difference Bb entre les ordonnées devenant zero ou s'anéantis. sant, que les deux points C,c deviennent le seul point C, & que

la secante Soc devient la tangente au point C, & par consequent BS (s) devient la soutangente.

Dans notre exemple, ayant ôté le premier terme, divisé l'équation par e, & suppose ensuite e=0, l'équation restante sera yy — p

•P = 0; ou mettant px à la place de yy, l'on aura 1px - p=0, d'où l'on déduit BS(s)=2x.

Ce qui fait voir qu'en prenant AS = AB, le point S sera celui où la tangente CS rencontre le diametre.

REMARQUE. 3 72. S'1 L arrivoit , lorsqu'on cherche la tangente des differents

points de la courbe , qu'en mettant dans le terme où e est lineaire, des valeurs déterminées de x& de y, cela rendît le numerateur & le dénominateur de la fraction qu'on trouve ordinairement pour la valeur de s, chacun égal à zero, il faudroit prendre le troisiéme terme où se trouve ee, diviser par ee; supposer ensuite ee = 0, ce qui rendroit tous les termes suivants égaux à zero, & l'on trouveroit

par

le feul terme restant où étoit ee qui feroit lui seul l'équation, la valeur de s qui donneroit la soutangente qu’on cherche ; &

; ainsi de suite, c'est à dire, si le terme où est ee donnoit une valeur de s, dans laquelle le numerateur & le dénominateur se trouvassent égaux chacun à zero par la supposition de quelques valeurs déterminées de x & de y mises à leur place

à dans cette fraction ou valeur de s, il faudroit passer au terme

s où se trouve e?, & ainsi de suite; & l'on remarquera que quand il faut passer au terme ee, l'on trouve d'ordinaire deux valeurs de si quand il faut passer au termee, on trouve trois valeurs

IL

e

X

و لا

le

زک

рх

2

27

2

des; ce qui fait voir dans le premier cas que la courbe a deux
soutangentes au point déterminé dont on cherche les fou-
tangentes; qu'elle en a trois dans le second cas, & ainsi de
suite ; c'est à dire, cela arrive ordinairement.
Corollaires de ce Problème pour la parabole.

I. 373. Si l'on mene par le point touchant C une perpendiculaire Fig. XIX.

CD à la tangente, supposant que ABD est l'axe, la souper-
pendiculaire BD est toujours égale à la moitié du parametre
de l'axep: Car SB (2x). BC (y):: BC (y). BD=%.
= =, en mettant au lieu de yy sa valeur px.
Ź

.

Ι Ι. 374. Si aprés avoir trouvé la tangente SC au point C, on tiroit Fig. XIX. CI parallele à l'axe ABb, A1 parallele a la tangente, qui

Al seroit égale à SC, & qu'en nommant la coupée CI (*), l'ordonnée AI (y), on prît une ligne p telle que CI (x). I A ou CS (9) :: CS (y).p; cette ligne p seroit le parametre du diametre Ci, car px=yy: ainsi l'on pourroit décrire la même parabole par la formation (fig. 16.)* en prenant CĮ * 360. (fig. 19) pour À Bb (fig. 16), CS pour GАg; la grandeur p qu'on vient de trouver = * pour le parametre AP.

I II.
375. D'où l'on voit que tous les diametres de la parabole sont

paralleles à l'axe & entr'eux : Ce que l'on vient de dire du
diametre Ci pouvant être appliqué à tous les autres : Et que
AS=* AB=C1=Ct, à cause des paralleles.

IV.
376. D'où l'on peut trouver en toute parabole tracée l'axe & son

parametre, lorsqu'on n'a qu'un diametre & le parametre de
ce diametre, en menant deux perpendiculaires CBC, cbc à ce
diametre, qui se terminent des deux côtés à la parabole, les
partageant chacune par la moitié en B, b; & tirant bB A
par les points B, 6, ABb sera l'axe, BC, bc ses ordonnées;
enfin faisant AB (x). BC (y) :: BĆ (y): p, la ligne p sera
le
parametre de l'axe.

POUR L' ELLIPS E. 377. Soit le parametre donné AP=p, chaque coupée AB FIG. XVII.

cx
=x, l'ordonnée BC=ý, le diametre Aà qui est donné
=d, & PF=f= AG; les triangles APF, ABC sont

A Aa a ij

371,

Px

:

dy

Px
J.

X X

2

A

semblables, comme aussi APf, Abc ; c'est pourquoi AP (P); PF(f) :: BC(y). AB(*); d'où l'on cire f = fx: Mais les deux triangles AG, BaC étant aussi semblables, l'on à Aa(d). AG(f):: aB ( d - ). BC(y); d'où l'on déduit f=a=t, qui se réduit à yy=dx - xx=d - **

= d. x , qui est l'équation de l’ellipse, où l'on voit que AP(P). Aa(d):: BC*(y): AB Ba (dx - xx), ce qui convient aux ordonnées y de tous les points de l’ellipse,

DEFINITION. 378. La ligne Aa (d) est le premier diametre ; le point du milieu K

du diametre est le centre'; la ligne Dd parallele aux ordonnées par le centre K, & terminée des deux côtés à l’ellipse, est le second diametre, ou le diametre conjugué du premier diametre Aa. Ces diametres s'appellent l’un le premier axe, & l'autre le second axe, quand les ordonnées leur sont

perpendiculaires. Le parametre p d'un diametre Aa(d), dont on suppose le diametre conjugué DKd=d, est toujours la 3°

' proportionelle au premier diametre d & au second d ; ainsi did::8.p,&p=do. Le parametre a du second diametre Dd (d), est de même la 3' proportionelle à d&d; ainfi dod ::d. 7, &n=

π& π= dd ; d'où l'on voit que d.pl) :: dd. ds; &8.7 ( de ) :: Sf.dd. Autre expression de l'équation à l'ellipse

. 379. En prenant le centre K pour l'origine des coupées, & nom.

mant chaque KB(x), BC(y), Aa(d), AP (P), il est évident que KA={d; ainsi AB =įd - *. Mettant d — * =

: xįd au lieu de x dans l'équation syy=dx xx, il vient cette autre équation à l’ellipse syy = idd — xx={d — xx

id + x, qui donne AP(P). Aa(d) :: BC (vy). AB X

Ba ( dd — xx). 380. Puisque = , on peut mettre dans chacune de ces

équations de l'ellipse , au lieu de , & la premiere Syy =
— xx, deviendra . yy=dx

= -xx; & la seconde yy=dd deviendra yy=idd — xx. Multipliant cette der.

dd niere para os elle deviendra yy=488 - xx ; & trans

; posant **= idm yy, ou bien *-488+yy=0 da xex.

**

d

de

dd

d PO

=dx

dd

;

ada

dd

& mettant - =l'on aura xx48Nyy=0, qui cst

ss
l'équation à l’ellipse par raport au diametre conjugué dD=c,
dont le parametre est 7, laquelle donne cette proportion,
Le parametre a du second diametre dD est au second dia-
metre dD (d), comme le quarré de l'ordonnée Ce=BK(x)
est au produit de xeD=488— yy={d+y xid-y.

: =

Corollaires de la formation de Pellipse.
381. Le premier, le second, le troisiéme, le quatriéme & le

cinquiéme Corollaire de la parabole, conviennent aussi à
l'ellipse.

VI.
382. On peut voir par l'équation syy=idd — xx, les endroits

-
où l’ellipse rencontre le diametre Aa, & le point qui en est
le plus écarté. Car, 1°, quand KB (x) est zero, ce qui arrive
au centre K, yy=4dd, ainsi y=id=KD, qui est le
point de l’ellipse le plus éloigné du diametre Aa. 2°. Quand
KB (x)=KA ou Ka(d), alors de syy=Add — 4dd=0;
ainsi y=0 au sommet A , & de même au point a; ce qui
fait voir que l’ellipse rencontre chaque diametre comme Aa
en deux points A & a également éloignés du centre K.
3o. KB(x) ne peut pas surpasser AK(d), parcequ'autre-
ment le second membre dd xx seroit négatif, & par
consequent la valeur de y seroit imaginaire, c'est à dire im-
possible.

VII.
38 3. Les quarrés de deux ordonnées BC,6C, sont entr'eux

comme les produits des segmens AB x ab, Abx ba, dans
lesquels ces ordonnées partagent le diametre.

VIII. 384.

Si l'on décrivoit un cercle sur le diametre Aa, & qu'on prolongeật les ordonnées BC jusqu'à la circonference, les quarrés des ordonnées du cercle étant égaux chacun au produit des segmens du diamettre dans lesquels ces ordonnées le partagent *, les quarrés des ordonnées BC, 6C à l’ellipse leroient entr'eux comme les quarrés des ordonnées au cercle par les mêmes points ; d'où il suit, en prenant les racines de ces quarrés, que les ordonnées à l’ellipse font

A A a a iij

* 2891