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369.

370.

VII.

Le parametre p eft à la fomme de deux ordonnées be FIG. XIX. ∞ BC (z+y), comme la difference des mêmes ordonnées. bc BC= ec (z—y) est à la difference des coupées Ab — AB= Bb ou Ce (u-x); car pxyy, & pu=zz: · px = zz — yy ; d'où l'on déduit p.z+y::

donc pu
༢-༡.. - X.

VIII.

L'équation yy =
fait voir que
= px
les x augmentans, les y
augmentent auffi; ainfi la parabole s'écarte de plus en plus

à l'infini de fon diametre.

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Où l'on donne une methode generale pour mener les
des courbes geometriques.

tangentes

171. UNE parabole ACc étant décrite fur un plan avec fon diametre Fig. XIX.
ABb & fon parametre AP, mener la tangente SC par un point
donné C, dont l'ordonnée eft BC.

IL eft évident qu'il fuffit de trouver la foutangente BS; car
il n'y aura plus qu'à tirer la droite SC, & elle fera la tan-
gente. Entre toutes les methodes pour trouver les tangentes
des courbes, on a choisi la suivante qui convient à toutes les
courbes geometriques, comme ayant le plus de raport à la
methode de les trouver par le calcul differentiel.

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ey

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Refolution. 1°. Il faut concevoir une fecante SCe qui paffe par
le point donné C, & coupe la parabole en un autre point cs
& mener l'ordonnée cb; & nommant AP (p), AB(x),
BC (y), BS ( s ), Bb ou Ce (e) ; l'équation pour le point C
eft yy
- pxo. 2°. Il faut trouver la valeur de ce, par le
moyen des triangles femblables SBC, Cec, qui donneront
SB (s). BC (y) :: Ce (e). ce 3°. Pour avoir l'équation
par raport au point c, il faut mettre dans l'équation à la
courbe, Ab (x+e) à la place de AB ( x ), & bc ( y + ) à la
place de BC (y), & ordonner la nouvelle équation de ma-
niere que tous les termes de la premiere foient le premier
terme de la feconde, le fecond terme contienne toutes les
grandeurs où e eft lineaire; le troifiéme terme contienne
toutes celles où se trouve ee, & ainfi de fuite, & l'on aura
ry +
o. 4. Il faut ôter le premier terme
-px-ep

+

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A Aaa

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DE MONTRE' E. de cette équation qui eft égal à zero par la fuppofition, puifque c'eft l'équation de la courbe; & le refte doit par confequent être auffi égal à zero. 5°. Il faut divifer cette équation reftante par e, ce qui laiffera le premier terme fans e. 6o. Il faut fuppofer la diftance Bb ou Ce (e) des deux ordonnées BC, bc égale à zero, ce qui détruira tous les termes excepté le premier, qui eft égal à zero. 7°. Enfin il faut trouver dans ce terme la valeur de l'inconnues, & mettre au lieu de y fa valeur en x prise de l'équation de la courbe, & ce fera la foutangente qu'on cherchoit; car il eft évident que la difference Bb entre les ordonnées devenant zero ou s'anéantiffant, que les deux points C, c deviennent le feul point C, & que la fecante SCc devient la tangente au point C, & par confequent BS (s) devient la foutangente.

Dans notre exemple, ayant ôté le premier terme, divifé l'équation par e, & fuppofe enfuite e =o, l'équation reftante fera yy-po; =0; ou mettant px à la place de yy, l'on aura 7 px-p=0, d'où l'on déduit BS (s)

= 2x.

Ce qui fait voir qu'en prenant AS = AB, le point S sera celui où la tangente CS rencontre le diametre.

REMARQUE.

372. S'IL arrivoit, lorsqu'on cherche la tangente des differents points de la courbe, qu'en mettant dans le terme où e est lineaire, des valeurs déterminées de x & de y, cela rendît le numerateur & le dénominateur de la fraction qu'on trouve ordinairement pour la valeur de s, chacun égal à zero, il faudroit prendre le troifiéme terme où fe trouve ee, le divifer par ces fuppofer enfuite ee = o, ce qui rendroit tous les termes fuivants égaux à zero, & l'on trouveroit par le feul terme restant où étoit ee qui feroit lui feul l'équation, la valeur de s qui donneroit la foutangente qu'on cherche ; & ainfi de fuite, c'est à dire, fi le terme où eft ee donnoit une valeur de s, dans laquelle le numerateur & le dénominateur fe trouvaffent égaux chacun à zero par la fuppofition de quelques valeurs déterminées de x & de y mifes à leur place dans cette fraction ou valeur de s, il faudroit paffer au terme où se trouve e3, & ainfi de fuite; & l'on remarquera que quand il faut paffer au terme ee, l'on trouve d'ordinaire deux valeurs des; quand il faut paffer au terme e', on trouve trois valeurs

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'des; ce qui fait voir dans le premier cas que la courbe a deux
foutangentes au point déterminé dont on cherche les fou-
tangentes; qu'elle en a trois dans le second cas, & ainfi de
fuite; c'est à dire, cela arrive ordinairement.

I

Corollaires de ce Problème pour la parabole.

I.

373. Si l'on mene par le point touchant C une perpendiculaire F16. XIX. CD à la tangente, fuppofant que ABD eft l'axe, la fouperpendiculaire BD est toujours égale à la moitié du parametre

de l'axe p: Car SB (2x). BC (y) :: BC (y). BD=2/2
, en mettant au lieu de yy fa valeur px.

Px
2x

=

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I I.

374 Si après avoir trouvé la tangente SC au point C, on tiroit FIG. XIX. CI parallele à l'axe ABb, ÃI parallele à la tangente, qui feroit égale à SC, & qu'en nommant la coupée CI (x), l'ordonnée AI (y), on prît une ligne p telle que CI ( x ) . IA ou CS (y) :: CS (y).p; cette ligne p feroit le parametre du diametre C1, car px=yy: ainfi l'on pourroit décrire la même parabole par la formation (fig. 16.)* en prenant CI * (fig. 19) pour ABb (fig. 16), CS pour GAg; la grandeur p qu'on vient de trouver = 33 pour le parametre AP.

375.

x

I I I.

D'où l'on voit que tous les diametres de la parabole font paralleles à l'axe & entr'eux: Ce que l'on vient de dire du diametre CI pouvant être appliqué à tous les autres : Et que AS * AB = CI= Ct, à caufe des paralleles.

IV.

376. D'où l'on peut trouver en toute parabole tracée l'axe & fon parametre, lorfqu'on n'a qu'un diametre & le parametre de ce diametre, en menant deux perpendiculaires cBC, cbc à ce diametre, qui fe terminent des deux côtés à la parabole, les partageant chacune par la moitié en B, b; & tirant bВA par les points B,b, ABb fera l'axe, BC, be fes ordonnées; enfin faisant AB ( x ) . BC ( y ) :: BC (y). p, la ligne p sera· le parametre de l'axe.

POUR L'ELLIPSE.

360.

371.

377. SOIT le parametre donné AP=p, chaque coupée AB FIG. XVII. x, l'ordonnée BC=y, le diametre a qui eft donné =d, & PF=ƒ= AG; les triangles APF, ABC font

A Aa a ij

DEMONTRE' E. femblables, comme auffi APf, Abc; c'est pourquoi AP (p); PF (f) :: BC(y). AB(x); d'où l'on tire f: Mais les deux triangles AaG, BaC étant auffi femblables, l'on a Aa (d). AG (f) :: a B (d-x). BC (y); d'où l'on déduit f = 2x = 13, qui fe réduit à y = dx xx=d x x x, qui eft l'équation de l'ellipfe, où l'on voit que AP(p). Aa(d) :: BC2 (yy). ABx Ba (dxxx), ce qui convient aux ordonnées y de tous les points de l'ellipfe.

dy

-x

DEFINI Τ Ι Ο Ν.

3 78. La ligne Aa (d) est le premier diametre ; le point du milieu K du diametre eft le centre; la ligne Dd parallele aux ordonnées par le centre K, & terminée des deux côtés à l'ellipfe, eft le fecond diametre, ou le diametre conjugué du premier diametre Aa. Ces diametres s'appellent l'un le premier axe, & l'autre le fecond axe, quand les ordonnées leur font perpendiculaires. Le parametre p d'un diametre Aa(d), dont on fuppofe le diametre conjugué DKd d', eft toujours la 3° proportionelle au premier diametre d & au fecond &; ainfi d. d::s. p, &p=. Le parametre du fecond diametre Dd (d), eft de même la 3° proportionelle à ♪ & d; ainfi ♪.d ::d.π, &π= dd; d'où l'on voit que d. p() :: dd. ♪♪;

& ♪.π ( 4 ) :: S♪. dd.

N

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Autre expression de l'équation à l'ellipfe. 379. En prenant le centre K pour l'origine des coupées, & nommant chaque KB (x), BC (y), Aa (d), AP (p), il est évident que KA=d; ainfi AB d― x. Mettant d — x au lieu de x dans l'équation #yy dx = - xx, il vient cette autre équation à l'ellipfe dyy = 4dd d = xx dx, qui donne AP(p). Aa (d) :: BC2 (yy). AB × Ba (4dd-xx).

380.

1 xx=

Puifque, on peut mettre dans chacune de ces équations de l'ellipfe ddau lieu de 4, & la premiere #yy=dx xx, deviendra ddyy dx = -xx; & la feconde #yydd xx, deviendra dd yy dd= 2 -xx. Multipliant cette deryy = 4 d♪ — 14 xx; & transniere par, elle deviendra

ᎴᎴ

ᎴᎴ

dd

pofant xx=♪♪yy, ou bien xx — 1♪♪+yy = 0

dd

dd

381.

& mettant, l'on aura xx-d+yyo, qui cft
l'équation à l'ellipse par raport au diametre conjugué dD=d,
dont le parametre est π, laquelle donne cette proportion,
Le parametre du fecond diametre dD eft au fecond dia-
metre dD (♪), comme le quarré de l'ordonnée Ce=BK(x)
est au produit de xeD=4dd— vy =d+yx 1/8—y.

7

=

Corollaires de la formation de l'ellipfe. I. LE premier, le fecond, le troifiéme, le quatrième & le cinquiéme Corollaire de la parabole, conviennent auffi à l'ellipfe.

=

V I.

382. On peut voir par l'équation dyy = dd — xx, les endroits
l'ellipfe rencontre le diametre Aa, & le point qui en est
le plus écarté. Car, 1°, quand KB (x) eft zero, ce qui arrive
au centre K, yy ♪♪, ainsi y = 1⁄2♪ = KD, qui est le
point de l'ellipfe le plus éloigné du diametre Aa. 2°. Quand
KB (x) = KA ou Ka (d), alors dyydd dd = 0;
4
ainfi y = o au fommet A, & de même au point a; ce qui
fait voir que l'ellipfe rencontre chaque diamètre comme Aa
en deux points A & a également éloignés du centre K.
3. KB) ne peut pas furpaffer AK(d), parcequ'autre-
ment le second membre dd -xx feroit négatif, & par
consequent la valeur de y feroit imaginaire, c'est à dire im-
poffible.

383.

384.

VII.

Les quarrés de deux ordonnées BC, bC, font entr'eux comme les produits des fegmens AB × aB, Abx ba, dans lefquels ces ordonnées partagent le diametre.

VIII.

Si l'on décrivoit un cercle fur le diametre Aa, & qu'on prolongeât les ordonnées BC jufqu'à la circonference, les quarrés des ordonnées du cercle étant égaux chacun au produit des fegmens du diamettre dans lefquels ces ordonnées le partagent*, les quarrés des ordonnées BC, bC à l'ellipfe feroient entr'eux comme les quarrés des ordonnées au cercle par les mêmes points, d'où il fuit, en prenant les racines de ces quarrés, que les ordonnées à l'ellipse font A Aa a iij

* 289:

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