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A

entr'elles comme les ordonnées au cercle par les mêmes
points.

PROBLEME II.
385. Mene R une tangente SC par un point donné C de Pellipse dont
F10, XX. Aa (d) eft le premier diametre, Dd (d) le second diametre, BC (y)

l'ordonnée au point donné C, & KB (x) la coupée ; & l'équation

eft oyy — dd + XX=0.
+371. Il faut trouver la soutangente BS=s, & supposer* *=*

+e, &y=y; parceque les K B(x) croissant, les
BC(y) diminuent ; & mettre dans l'équation ces valeurs
de x & dey, & faisant comme dans la parabole, on trou-
vera do tyy do eyy + de la ceyy = 0;

- dd +

2 e x

ee

X X

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XX

X

dd

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d'où l'on déduira ledovy = x, & (en mettant pour syy sa

dd
valeur Idd — *x) Idd — *x = Sx, & BS(s) =

Ce qu'il falloit trouver.
386.
D'où l'on déduit RS=s+x=dd.

Ce qui donne
cette proportion KB (*). KAD) :: KA(id). KS

(s+x)= qu'il faut remarquer. 387

Si on vouloit se servir de l'équation par raport au second diametre Dd qui est xx Add + yy=0,

l'on trouve

4— Yy roit la soutangente ef(5)=

& Kf=

1/2 dl
у

y
qui donneroit Ke ou BC(y). KD(ID) :: KD(). Kf
10+y)=

ind

Corollaire du Problème précedent.
388. Si l'on tire le diametre CKC, & qu'on prenne ce diametre
Fig. XX. pour AKa (fig. 17), & la ligne FCS ( fig. 20 ) pour la ligne
& XVII. PGAG (fig. 17),& qu'on prenne aussi pour parametre AP (D)

(fig. 17), la 3proportionelle au diametre cKc(fig. 20), &

à son diametre conjugué GKg qui est la parallele à la tan*361. gente SCf par le centre K, & qu’on forme l’ellipse * comme

>

ј се

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6361. dans la figure 17*, l'on tracera la même ellipse de la figure 20;

dont l'équation sera, en tirant A1 parallele à CS, X AI
=CI Ic; d'où l'on voit que tous les diametres de l’ellipse
passent par le centre K, & qu'ils sont partagés à ce centre K
en deux parties égales KC, Kc; ce que l'on vient de dire du
diametre ckc convenant à tous les autres.

POUR L'HYPERBOLE. 389. Soit le parametre AP=p, chaque coupée AB=x, Fig.XVIII.

chaque ordonnée BC=y, le diametre A=d, PF=f.
A cause des triangles semblables APF, ABC, comme aussi
APf, Abc, l'on a, AP (p).PF (f) :: BC(9). AB (x), d'où
l'on déduit f= Let ; les triangles semblables AG, BaC,
donnent aussi, Aa (d). AG=PF(f):: AB (d+ x). BC(y),
d'où l'on tiref=m= , ce qui donne l'équation à l'hy-
perboles y dx + xx=d + x x x = aB AB ; ainsi
dans l'hyperbole AP (P). Aa(d) :: BC (yy). aB x AB

(dx + xx).
390. Si au lieu de AB=x, on suppose KB=x(K est le

milieu du diametre Aa, & se nomme le centre), alors a B

=id + x, & AB= KB - KA=x- -{d, & l'on aura

cette seconde expression de la même équation s vy=x* 391.

Pour avoir d'autres expressions de l'équation à l'hyperbole, on remarquera que chaque diametre comme Aa (dja son

parametre déterminé AP(P); & que son second diametre Dd(") qui passe par le centre K, est parallele aux ordonnées BC du premier diametre , & qu'il est la ligne moyenne proportionelle entre le premier diametre Aa(d) & son parametre AP (P); ainsi Åa (d). Dd(d) :: Dd(d). (P); par consequent p=&d=Vdp: le second diametre a aussi son parametre 7, qui est la ligne troisiéme proportionelle au second diametre d& au premier d; ainsiy add &d=vad.

Autre expression de l'équation à l'hyperbole.
392. Il suit de là que en mettant dans au lieu de psa

valeur ; ainsi on peut mettre dans les équations préce.
dentes à l'hyperbole do au lieu de , & elles seront changées
en ry=dx + xx ; & Hyy=x*--4dd.

C

-dd.

dd

si l'on veut,

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394. Les

39 3.

On peut aussi rapporter l'hyperbole immédiatement à fon second diametre Dd("), en se servant de la seconde équation ; car puisque dyy=xx - $dd, en multipliant le tout par , & transposant l'on aura ** =yy + ^d'; & mettant encore, veut, au lieu des de la valeur, puisque

e , l'on aura xx=yy + dd, c'est à dire le parametre du second diametre 7. Dd (d) :: 60o = KB? (xx). Kb? + KD' (vy+ N).

COROLLAIR E S. Es cinq premiers Corollaires de la parabole conviennent aussi à l'hyperbole.

VI. 395. L'e'quation de l'hyperbole ACC convient aussi à l'hyFic. XVIII. perbole opposée ax, & on peut la déduire de la même ma

niere de la formation de l'hyperbole ; car nommant a® (x), Br (y), Polf), Aa(d), AP (F), les triangles semblables APO & ABx donneront APW).P0f) :: Bx (8). Ap (d+ x); d'où l'on aura f=PX+1: Les triangles senıblables Aay &

a3x donneront aussi Aa(d). Ay=PQ(f) (par la supposi361. tion*) :: aß(x). Bx(9); d'où l'on aura f= = ?****,

qui se réduit à yy=dx + xx, qui est la même équation qu'on avoit trouvée pour l'hyperbole ACC; par laquelle on voit que quand aß(x)= AB(x), Bx (y) se trouve necefsairement = BC(y); ce qui fait voir que ces deux hyperboles sont égales de maniere qu'on peut les ajuster l'une sur l'autre.

VII. Il est évident par cette équation que plus les x augmentent, plus les y augmentent aussi, ce qui fait voir que l'hyperbole s'écarte à l'infini de son diametre.

PROBLEME III.

ENER une tangente SC par un point donné C de Phyperbole FIG. XXI. dont le premier diametre eft Aa (d); le second Dd (d); le para

metre du premier diametre Aa (p); la coupée K B(x); Pordonnée BC(y); la soutangente BS(s), e l'équation yy + Add XX = O

396.

A

397. M

MENER

Il faue* mettre dans l'équation xte à la place de x, & * 371. y + à la place de y, parceque AB (*) augmentant de + e, y augmente aussi de + *; & l'on aura myy + 2.99 + yy=0,

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XX

Add

ر۔

X

+ dd d'où l'on tire * yy=x, & (en mettant au lieu de $yy sa * 371. valeur xx - dd) BS (5) =

qui est la valeur de la soutangente BS (s) que l'on cherchoir, puisque BK(x).

est supposée connue. 398. D'où l'on déduit KS =KB— BS (x--s)=dd

i par consequent KB(x). KA(d) :: KA(Id). KS (x-). Ce qu'il faut remarquer.

COROLLAIRE I.
399. L'on peut déduire de ce Problême le même Corollaire

que l'on a tiré du Problème de l’ellipse, pour décrire la
même hyperbole par le moyen du nouveau premier diame-
tre CKc, de la tangente SC & du parametre de ce nouveau
diametre CKc, lequel parametre se trouve en menant par le
sommet A l'ordonnée Al au nouveau diametre parallele à la
tangente SC, & faisant ensuite cette proportion. Le produit
des segments cpar Ci du diametre cKc prolongé, est au
quarre de l'ordonnée Al à ce diametre CKč, comme ce dia-
metre CKc est au parametre de ce diametre CKc. Cette pro.
portion est déduite de l'équation à l'hyperbole; & les trois

.
premiers termes étant connus, parametre du diametre
CKc devient aussi connu ; le nommant p, l'équation sera copex
?
A = C1 x Ic.

COROLLAIRE II.
l'on trouve la maniere de tirer les asymptotes de l'hyperbole

. 400. AYANT trouvé que KS (x5)=

dd

si l'on suppose. Fr6,XXI.
KS=0, l'on aura, 1°, x-s=0, & par consequent la fou-
tangente s=x, quand RS=0; & AS qui est la distance
du sommet A au point s de la soutangente devient K Al d);

Add
2°, =o dans ce cas: or quand une fraction est égale à

B B bb

le

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X

zero, il faut que le dénominateur foit infiniment grand par raport au numerateur ; ainsi quand KS=0, &s=x, il faut que la coupée AB(x) foit infinie par raport à Idd. Mais les x croissant ,ʻles y croissent aussi ; c'est pourquoi quand x est infinie, y l'est aussi: d'où l'on voit que quand KS =0, c'est à dire, quand la soutangente commence au centre K, la tangente SC ne touche l'hyperbole qu'à une distance infinie; & c'est ce qu'on appelle l'asymptote de l'hyperbole : & la seconde branche Acc de l'hyperbole ayant une semblable tangente, étant entierement égale à la premiere, elle a aussi son asymptote, & ces deux asymptotes le sont aussi des deux branches de l'hyperbole opposée acc.

L'on a déja un point des asymptotes au centre K; voici la maniere de trouver le second point. L'équation & yy ----xx + dd=o par raport à KB (x) infinie, & à BC(y) auffi infinie, c'est à dire, par raport au point C infiniment éloigné de K où l'afymptote touche l'hyperbole, devient yy - xx = 0; car dd s'évanouic de l'équation, étant zero par raport aux deux autres termes où sont y & x; l'on a donc dyy=pxx &yvd=xVp, ce qui donne x.y::Vd. Vp. Or en menant *AT par le sommet A parallele aux ordonnées BC, l'on a deux triangles semblables KAT, KBC, dont le dernier est infiniment grand, & cependant l'esprit peut l'appercevoir & le supposer ; l'on a donc, KB(x). BC(y):: KA. AT : mais x.y::Vd. Vp, donc Vd. Vp:: RA (id). At = {dVp

Vd =įvdp; par consequent si l'on fait AT = Vdp, c'est à dire, égale à la moitié de la moyenne proportionelle entre

le premier diametre Aa & son parametre pllaquelle moyen391. ne proportionelle est aufli le second demi-diametre *), &

qu'on tire la droite KT, elle sera l'asymptote de la branche ACC; & tirant de même At, ce sera l'asymptote de la seconde branche Acc; & les prolongeant du côté de l'hyperbole opposée acc, elles en seront aussi les asymptotes.

On trouve par une semblable methode les asymptotes des courbes des autres genres plus élevés qui en ont,

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