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entr'elles comme les ordonnées au cercle par les mêmes points.

PROBLEME II. 385. MENE R une tangente SC par un point donné C de Pellipse done F10, XX. Aa (d) est le premier diametre, Dd (d) le second diametre, BC ly)

l'ordonnée au point donné C, & KB (x) la coupée ; & l'équation

eft eyy dd + XX= 0. +371. Il faut trouver la soutangente BS=s, & supposer*

= +e, & y=y-*; parceque les K B(x) croissant, les BC (y ) diminuent ; & mettre dans l'équation ces valeurs de x & de y, & faisant comme dans la parabole, on trouvera de my уу

Bide eyy + ceyy = 0; - dd +

dd

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L

* XX

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X

لا

dd

dd

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=

2 ex

ee

XX

dd

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XX

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d'où l'on déduira e do vy=x, & (en mettant pour ti yy sa

dd ny
valeur 1 dd - **) Idd — xx=s*, & BS(s):

dd

= Ce qu'il falloit trouver. 386. D'où l'on déduit Ks=s+x=dd.

=

Ce qui donne cette proportion KB (*). KA(d) :: KA(id). KS

¿dd (s+x)=

qu'il faut remarquer. 387 Si on vouloit se servir de l'équation par raport au second diametre Dd qui est ** and+yy=o, l'on trouve.

- уу roit la soutangente ef(o)=

end

& Kf=

hold

у
qui donneroit Ke ou BC(y). KD/Id ) :: KD(S). Ef

(I)
48
(o+y)=- =

Corollaire du Problème précedent. 388. Si l'on tire le diametre CKC, & qu'on prenne ce diametre Fig. XX. pour Aka (fig. 17), & la ligne FCS (fig. 20 ) pour la ligne & XVII. PGAG (fig. 17), & qu'on prenne aussi pour parametre APC)

fig. 17), la 3' proportionelle au diametre CKc(fig. 20), &

à son diametre conjugué GKg qui est la parallele à la tan*361. gente SCf par le centre K, & qu’on forme l’ellipse * comme

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:

Cc

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Px

.

dy

px

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2

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$365dans la figure 17*, l'on tracera la même ellipse de la figure 20;
dont l'équation sera, en tirant Al parallele à CS,“ * A

AI
=CI ~ Ic ; d'où l'on voit que tous les diametres de l’ellipse
passent par le centre K, & qu'ils sont partagés à ce centre K
en deux parties égales KC, Kc; ce que l'on vient de dire du
diametre CKc convenant à tous les autres.

POUR L'HYPERBOLE.
389. Soit le parametre AP=P, chaque coupée AB= x, Fig.XVIII.

chaque ordonnée BC=y, le diametre Aa=d, PF =f.
A cause des triangles semblables APF, ABC, comme aussi
APf, Abc, l'on a, AP(P). PF(f):: BC (). AB (x), d'où
l'on déduit f= Len; les triangles semblables AG, BaC,
donnent aussi, Aa (d). AG=PF(f)::aB (d+*). BC(y),
d'où l'on tiref=m=, ce qui donne l'équation à l'hy-
perbolery dx + xx = d + x x x=aB x AB ; ainsi
dans l'hyperbole AP(P). Aa(d) :: BC (99).aB x AB

(dx + xx).
390.

Si au lieu de AB=x, on suppose K B=*(K est le
milieu du diametre Aa, & fe nomme le centre), alors a B
įd + x, & AB= KB - KA=x-

:
-

<d, & l'on aura
certe seconde expression de la même équation vy=x*

- dd. 391.

Pour avoir d'autres expressions de l'équation à l'hyperbole, , on remarquera que chaque diametre comme Aa (dja fon

parametre déterminé AP(1);& que son second diametre Dd() P

s
qui passe par le centre K, est parallele aux ordonnées BC
du premier diametre , & qu'il est la ligne moyenne propor-
tionelle entre le premier diametre Aa(d) & son parametre
AP (P); ainsi Aa (d). Dd(d) :: Dd(d). AP (P); par
consequent p=, &d=Vdp: le second diametre a ausi
son parametre , qui est la ligne troisiéme proportionelle au

70
second diametred & au premier d; ainsi = =d&d=Vad,

Autre expression de l'équation à l'hyperbole.
392.

I
1 suit de là que = en mettant dans au lieu de psa

p
valeur ; ainsi on peut mettre dans les équations préce.
dentes à l'hyperbole , au lieu de , & elles seront changées

à
en =dx + xx ; & Yg =
my

XX - _dd.

=

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dd

dd

dd

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dd

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dd

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dd

dd 7=

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2

394. Les

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393.

On peut aussi rapporter l'hyperbole immédiatement à fon fecond diametre Dd(d), en se servant de la seconde équation ; car puisque

әә уу = xx

de yy= Add, en multipliant le tout par , & transposant l'on auraxx=yy + dd; & mer

= tant encore, si l'on veut, au lieu de la valeur, puisque q=44, l'on aura xx=yy + ind, c'est à dire le parame. tre du second diametre 7. Dd (d) :: 60? =KB'(xx). Kb + KD' (vy+).

COROLLAIR E S. Es cinq premiers Corollaires de la parabole conviennent aussi à l'hyperbole.

VI. 395. L'e'quation de l'hyperbole ACC convient aussi à l'hyFic. XVIII perbole opposée ax, & on peut la déduire de la même ma

niere de la formation de l'hyperbole; car nommant a® (x), Bx (y), Polf), Aa(d), AP(f), les triangles semblables APO & Aßx donneront AP(P). POf) :: Bx(y). Ald+ x); d'où l'on aura f= ?X Fr: Les triangles semblables Aay &

a3x donneront aussi Aa(d). Ay Po(f) (par la supposi361. tion*) :: aß(x). Bx(y); d'où l'on aura f= = ?X***, qui se réduit à yy=dx + xx, qui est la même équation

+ qu’on avoit trouvée pour l'hyperbole ACC; par laquelle on voit que quand aß(x)= AB(x), Bx (y) le trouve neceffairement = BC(y); ce qui fait voir que ces deux hyperboles sont égales de maniere qu'on peut les ajuster l'une sur l'autre.

VII. Il est évident par cette équation que plus les x augmentent, plus les y augmentent aussi, ce qui fait voir que l'hyperbole s'écarte à l'infini de son diametre.

P R O B L E ME III. 397 MENER une tangente SC par un point donné C de Phyperbole Fig. XXI. dont le premier diametre eft Aa (d); le second Dd (d); le para

metre du premier diametre Aa (p); la coupée K B(x); l'ordonnée BC(y); la foutangente BS(s), e l'équation syy + dd

dy

r

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396.

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A

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2de
ps.
2ex

dee
pus.
ee

XX

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* d
Ps

XX

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Il faut * mettre dans l'équation xte à la place de x, & * 371.

*
y + à la place de y, parceque AB (*) augmentant de + e,
y augmente aussi de + *; & l'on aura syy + 2y9+yY=0,

+ idd
d'où l'on tire *yy=x, & (en mettant au lieu de gy fa * 371.

dd
valeur xx
Idd) BS (s) =
=

qui est la valeur
de la soutangente BS (s) que l'on cherchoit, puisque BK(x)

est supposée connue. 398. D'où l'on déduit KS=KB - BS(x-3)=

1/3 dd

i par consequent KB(x).KA(d) :: KA(įd). K S (x - 5). Ce qu'il faut remarquer.

COROLLAIRE I.
399. L'on peut déduire de ce Problême le même Corollaire

que l'on a tiré du Problême de l’ellipse, pour décrire la
même hyperbole par le moyen du nouveau premier diame-
tre CKc, de la tangence SC & du parametre de ce nouveau
diametre CKc, lequel parametre se trouve en menant par le
sommet A l'ordonnée Al au nouveau diametre parallele à la
tangente SC, & faisant ensuite cette proportion. Le produit
des segments cI par CI du diametre cKC prolongé, est au
quarre de l'ordonnée Al à ce diametre CKF, comme ce dia-
metre CKc est au parametre de ce diametre CKc. Cette

pro.
portion est déduite de l'équation à l'hyperbole; & les trois.
premiers termes étant connus, le

parametre du diametre
CKc devient aussi connu ; le nommant p, l'équation sera apex
A'=C1 * IC.
-CI

COROLLAIRE II.
l'on trouve la maniere de tirer les asymptotes de l'hyperbole.
400. A vant trouvé

dd YANT

KS (x - 5) = = si l'on suppose. Fro.XXI.
KS=0, l'on aura, 1°, x—s=o, & par consequent la sou-

*
tangente s=x, quand KS=0; & AS qui est la distance
du sommet A au point S de la soutangente devient K Ald);
2°, o dans ce cas: or quand une fraction est égale à

B B bb

CK

Р

AT2

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que KS

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X

hdd

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a

· XX

XX

zero,
il faut

que

le dénominateur foit infiniment grand par
raport au numerateur; ainsi quand KS=0, &s=x, il faut
que la coupée AB(x) foit infinie par raport à dd. Mais les x
croissant, les y croissent aussi ; c'est pourquoi quand x est
infinie, y l'est aussi: d'où l'on voit que quand KS=0, c'est à
dire, quand la soutangente commence au centre K, la tan-
gente SC ne touche l'hyperbole qu'à une distance infinie;
& c'est ce qu'on appelle l'asymptote de l'hyperbole : & lá
seconde branche Acc de l'hyperbole ayant une semblable
tangente, étant ertierement égale à la premiere, elle a aussi
son asymptore, & ces deux asymptotes le sont aussi des deux
branches de l'hyperbole opposée acc.

L'on a déja un point des asymptotes au centre K; voici
la maniere de trouver le second point. L'équation yy –
+ dd=o par raport à KB (x) infinie, & à BC(y) auffi
infinie, c'est à dire, par raport au point C infiniment éloigné
de K où l'asymptote touche l'hyperbole, devientyy
= 0; car dd s'évanouir de l'équation, étant zero par raporc
aux deux autres termes où sont y&x; l'on a donc dyy=pxx
& yvd=xVp, ce qui donne x.y:: Vd. Vp. Or en menant
*AT par le sommet A parallele aux ordonnées BC, l'on a
deux triangles semblables KAT, KBC, dont le dernier est
infiniment grand, & cependant l'esprit peut l'appercevoir &
le supposer ; l'on a donc, KB(x). BC(y) :: KA. AT : mais
*.y:: Vd. Vp, donc Vd. Vp:: KA (Id). AT = idyp

//

Vd
= { Vd p; par consequent si l'on fait AT = vdp, c'est à
dire, égale à la moitié de la moyenne proportionelle entre

le premier diametre Aa & son parametre pllaquelle moyen391. ne proportionelle est aussi le second demi-diametre *), &

qu'on tire la droite KT, elle sera l'asymptote de la branche ACC; & tirant de même At, ce sera l'asymptote de la seconde branche Acc; & les prolongeant du côté de l'hyperbole opposée acc, elles en seront aussi les asymptotes.

On trouve par une semblable methode les asymptotes des courbes des autres genres plus élevés qui en ont,

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