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entr'elles comme les ordonnées au cercle par les mêmes points.

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385. MENER une tangente SC par un point donné C de l'ellipfe dont FIG, XX. Aa (d) eft le premier diametre, Dd (d) le fecond diametre, BC (y) l'ordonnée au point donné C, & KB (x) la coupée ; & l'équation eft dd yy - dd + x x = o.

L

* 371. Il faut trouver la foutangente BS = s, & fuppofer * x=x →e, & y = y —; parceque les KB (x) croiffant, les BC (y) diminuent; & mettre dans l'équation ces valeurs de x & de y, & faifant comme dans la parabole, on trouvera ddyy 2dd eyy +

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- dd + 2ex

xx

dd

Ꮄ Ꮄ s s ceyy = 0;

ee

d'où l'on déduira dd, yy=x,
ddyy=x, & (en mettant pour ddyy fa

valeur dd-xx) dd — xx=sX, & BS(s) :

Ce qu'il falloit trouver.

=

-dd

xx

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D'où l'on déduit KS=s+x=dd. Ce qui donne

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cette proportion KB (x). KA(d) :: KA(žd). KS

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dd

x

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Si on vouloit fe fervir de l'équation par raport au second diametre Dd qui eft xx

Ꮄ Ꮄ dd

roit la foutangente ef() =

♪♪+yy=0, l'on trouve

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122 ,&Kf= ; ce

y

qui donneroit Ke ou BC (y). KD (♪ ) :: KD ( ž♪ ) . Kƒ

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388. Si l'on tire le diametre CKc, & qu'on prenne ce diametre FIG. XX. pour AKa (fig. 17), & la ligne ƒCS (fig. 20 ) pour la ligne & XVII. PGAg (fig. 17), & qu'on prenne auffi pour parametre AP (p) (fig. 17), la 3° proportionelle au diametre CKC (fig. 20), & à fon diametre conjugué GKg qui eft la parallele à la tan*361. gente SCf par le centre K, & qu'on forme l'ellipfe * comme

Cc

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361. dans la figure 17*, l'on tracera la même ellipse de la figure 20; dont l'équation fera, en tirant Al parallele à CS, AI2 ⇒CI × Ic ; d'où l'on voit que tous les diametres de l'ellipfe paffent par le centre K, & qu'ils font partagés à ce centre K en deux parties égales KC, Kc; ce que l'on vient de dire du diametre CKC convenant à tous les autres.

OIT

POUR L'HYPERBOLE.

389. Soir le parametre AP = p, chaque coupée AB=x, FIG.XVIII. chaque ordonnée BC=y, le diametre Aad, PF =ƒ. A caufe des triangles femblables APF, ABC, comme auffi APƒ, Abc, l'on a, AP (p) . PF (f) :: BC (y) . AB (x), d'où l'on déduit f; les triangles femblables AaG, BaC, donnent auffi, Aa (d). AG=PF(ƒ) :: aB ( d + x). BC(y), d'où l'on tire f=2, ce qui donne l'équation à l'hyperbole #yy dx + xx = d + x x x = aB × AB; ainfi dans l'hyperbole AP (p) · Aa (d') :: BC2 (yy). 2B × AB (dx + xx).

390.

39I

392.

d

=

+x

px

Si au lieu de AB=x, on fuppofe KB = x (K est le milieu du diametre Aa, & fe nomme le centre), alors aB : 1⁄2d +x, & AB =KB—KA⇒ x — d, & l'on aura cette feconde expreffion de la même équation #yy=xx - dd.

=

Pour avoir d'autres expreffions de l'équation à l'hyperbole, on remarquera que chaque diametre comme Aa (dja fon parametre déterminé AP(p); & que fon fecond diametre Dd(3`) qui paffe par le centre K, eft parallele aux ordonnées BC du premier diametre, & qu'il eft la ligne moyenne proportionelle entre le premier diametre Aa (d) & fon parametre AP (p); ainsi Aa (d). Dd(♪) :: Dd (8). AP (p); par confequent p *, & ♪ = √dp: le second diametre a aussi fon parametre, qui est la ligne troifiéme proportionelle au second diametre ♪ & au premier d; ainsi π= dd & d=√πd.

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d

=

ᎴᎴ

d

Autre expreffion de l'équation à l'hyperbole.

L fuit de là que en mettant dans & au lieu de p fa
valeur ; ainfi on peut mettre dans les équations préce-
dentes à l'hyperbole ddau lieu de , & elles feront changées
en ** yy — dx+ xx j
= ; & 3d yy =

dd

dd

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dd.

393.

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On peut auffi rapporter l'hyperbole immédiatement à fon fecond diametre Dd (d), en fe fervant de la feconde équation; car puifque ddyyxx-dd, en multipliant le tout par, & tranfpofant l'on aura xxyy+d; & mettant encore, fi l'on veut, au lieu de fa valeur, puifque dd, l'on aura xx xx = yy + 1♪♪, c'eft à dire le parame tre du second diametre 7. Dd (♪ ) :: bC2 — KB2 (xx). Kb' + KD2 (yy + ♪♪).

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dd

dd

2

COROLLAIRE S.

2

394. LES cinq premiers Corollaires de la parabole conviennent auffi à l'hyperbole.

VI.

395. L'EQUATION de l'hyperbole ACC convient auffi à l'hyFIG. XVIII. perbole oppofée az, & on peut la déduire de la même maniere de la formation de l'hyperbole; car nommant a(x), ẞx (y), Po(f), Aa(d), AP(ƒ), les triangles femblables AP & Aẞx donneront AP(p). Po {ƒ) :: Bx (y). Aß (d +x); d'où l'on aura ƒ = PX : Les triangles femblables Aay & a3x donneront auffi Aa (d). Ay = Po(f) (par la supposi361. tion*): aẞ(x). ẞx (y) ; d'où l'on aura f=dy PX4 + x,

396.

=

qui fe réduit à &yy = = dx + xx, qui eft la même équation qu'on avoit trouvée pour l'hyperbole ACC; par laquelle on voit que quand aß(x) = AB(x), Bx (y) le trouve neceffairement BC (y); ce qui fait voir que ces deux hyperboles font égales de maniere qu'on peut les ajuster l'une fur l'autre.

VII.

Il est évident par cette équation que plus les x augmentent, plus les y augmentent auffi, ce qui fait voir que l'hyperbole s'écarte à l'infini de fon diametre.

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397. MENER une tangente SC par un point donné C de l'hyperbole FIG. XXI. dont le premier diametre eft Aa (d); le fecond Dd (d); le parametre du premier diametre Aa (p); la coupée KB (x); l'ordonnée BC (y); la foutangente BS (s), & l'équation & yy+ 4 dd

XX=0

II

398.

Il faut * mettre dans l'équation xe à la place de x, & * 371. y → à la place de y, parceque AB (x) augmentant de +e, y augmente auffi de+; & l'on aura yyyyyy=0,

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dee

ee

-

#yy fa

d'où l'on tire *yy=x, & (en mettant au lieu de yy sa * 371.

valeur xx-dd) BS (s) =

Xx dd

x

qui eft la valeur

de la foutangente BS (s) que l'on cherchoit, puisque BK(x).
eft fuppofée connue.

D'où l'on déduit KS = KB — BS ( x − s) = 3'

s) — 3 dd

; par

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confequent KB (x) . KA(žd) :: KA (žd). KS (x — s ).
Ce qu'il faut remarquer.

COROLLAIRE I.

399. L'on peut déduire de ce Problême le même Corollaire que l'on a tiré du Problême de l'ellipfe, pour décrire la même hyperbole par le moyen du nouveau premier diametre CKC, de la tangente SC & du parametre de ce nouveau diametre CKc, lequel parametre fe trouve en menant par le fommet l'ordonnée AI au nouveau diametre parallele à la tangente SC, & faifant enfuite cette proportion. Le produit des fegments I par CI du diametre cKC prolongé, eft au quarre de l'ordonnée A1 à ce diametre CK, comme ce diametre CKc eft au parametre de ce diametre CKc. Cette pro portion eft déduite de l'équation à l'hyperbole ; & les trois premiers termes étant connus, le parametre du diametre CKc devient auffi connu, le nommant p, l'équation fera cx AI: =C1 × Ic.

COROLLAIRE I I.

Où l'on trouve la maniere de tirer les afymptotes de l'hyperbole. 400. AYANT trouvé que KS (x — s) =

4dd

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K$=o, l'on aura, 1°, x-so, & par confequent la fou-
tangente s=x, quand KS=o; & AS qui eft la distance
du fommet A au point S de la foutangente devient KA(d);
dd

2o, = o dans ce cas : or quand une fraction est égale à
BB b b

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zero, il faut que le dénominateur foit infiniment grand par raport au numerateur; ainsi quand KS =0, & s=x, il fau que la coupée AB(x) foit infinie par raport à 4 dd. Mais les x croiffant, les y croiffent auffi; c'eft pourquoi quand x eft infinie, y l'eft auffi: d'où l'on voit que quand KSo, c'est à dire, quand la foutangente commence au centre K, la tangente SC ne touche l'hyperbole qu'à une distance infinie; & c'est ce qu'on appelle l'afymptote de l'hyperbole : & la feconde branche Acc de l'hyperbole ayant une femblable tangente, étant entierement égale à la premiere, elle a aussi fon afymptote, & ces deux afymptotes le font auffi des deux branches de l'hyperbole oppofée acc.

4

L'on a déja un point des afymptotes au centre K ; voici la maniere de trouver le fecond point. L'équation dyy -xx +ddo par raport à KB (x) infinie, & à BC (y) auffi infinie, c'est à dire, par raport au point C infiniment éloigné de K où l'afymptote touche l'hyperbole, devient yy -XX =0; car dd s'évanouit de l'équation, étant zero par raport aux deux autres termes où font y & x; l'on a donc dyy=pxx &y Vd=xVp, ce qui donne x.y :: Vd. Vp. Or en menant *AT par le fommet A parallele aux ordonnées BC, l'on a deux triangles femblables KAT, KBC, dont le dernier est infiniment grand, & cependant l'efprit peut l'appercevoir & le fuppofer; l'on a donc, KB (x). BC (y) :: KA. AT : mais :. y :: Vd. Vp, donc Vd. Vp :: KA({d) . AT — 1 dvp

Vd

Vdp; par confequent fi l'on fait ATVdp, c'est à dire, égale à la moitié de la moyenne proportionelle entre le premier diametre Aa & fon parametre p (laquelle moyen391. ne proportionelle eft auffi le second demi-diametre *), & qu'on tire la droite KT, elle sera l'afymptote de la branche ACC; & tirant de même At, ce fera l'afymptote de la seconde branche Acc; & les prolongeant du côté de l'hyperbole oppofée acc, elles en feront auffi les afymptotes.

On trouve par une semblable methode les afymptotes des courbes des autres genres plus élevés qui en ont,

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