Imágenes de páginas
PDF
EPUB
[ocr errors]

A

THEOREM E.

Des proprietés de l'hyperbole par raport à fes afymptotes.

401. UNE hyperbole ACC & fon oppofée étant tracée sur FIG.XXI.
un plan avec un de fes diametres quelconque donné Aa, fon
fecond diametre dKD, & la tangente tAT à l'extremité de
ce diametre, qui eft toujours parallele aux au fecond dia-
metre; fi l'on fait AT, At chacune égale à la moitié du
second diametre dKD, qu'on tire KT, Kt, & qu'on les pro-
longe à l'infini du côté de 4 & du côté de a ; ces lignes feront
les afymptotes de l'hyperbole CAC & de fon oppofee; c'est à
dire, que chacune des quatre branches des hyperboles op.
pofées s'approchera toujours de plus en plus de fon afymptote
fans pourtant la rencontrer, fi ce n'eft à une distance infinie.
DEMONSTRATION.

NOMMAN

dd

бх

OMMANTKA(d), KD (÷♪), KB (x), BC (y), l'on
aura à cause des triangles femblables KAT, KBE, KA( { d)
· AT = KD (1⁄2 ♪ ) :: KB ( x ) . BE = **; ainfi CE =**
—y. Or l'équation à l'hyperbole dyy=xx-1 dd, donne
y=√xx-dd; ainfi CE-xx-√xx — — dd ; d'où
il fuit que plus x augmente, & plus CE diminue, & par con-.
fequent l'hyperbole approche toujours de fon afymptote,
& que cependant elle ne la rencontrera qu'à une distance
infinie; car la valeur de CE demeurera toujours pofitive,
jufqu'à ce que x foit infinie ; & quand elle le fera, CE devien
dra zero, (dd étant zero par raport à + xx); & l'afym
ptote touchera l'hyperbole.

I

PREMIERE PROPRIETE'.
402. Si l'on tire des paralleles ecBCE à la tangente tT; ou, ce
qui eft la même chose, au second diametre dD, qui se ter-
minent de part & d'autre aux afymptotes; CE × Ce

=

= AT2

= KD2; car, par ce qui précede, CE=-xx-√xx-dd, & Ce= Be(x) +BC(+y=+å

[ocr errors]

xx

dd); donc

[ocr errors]

CE× Ce=//xx― √xx - dd x - xx+√xx — 1dd
+1⁄2♪♪= AT2=KD2.

Il est évident qu'on prouvera de même que ce x cEÃa
BB bb ij

Kd2.

2

403. Si l'on mene aussi des paralleles Ce au premier diaFIG.XXII. metre, qui fe terminent aux hyperboles oppofées, & qui coupent les afymptotes en e, ; Ce x CeKA'; car les 401. triangles femblables KBE, Kbe donneront BE (*). KB(x) :: (y=√xx Kb (y = 2 √xx - dd) :be = √xx — dd; d'où l'on aura Ce=x-√xx - dd, & Ce⇒ Cb + be = x+ √xx-4dd; donc Ce × Ce = + 1⁄2 dd

FIG.XXII.

[ocr errors]

=

[ocr errors]

2

ΚΑΙ.

SECONDE PROPRIETE.

404. Si l'on tire par un point quelconque C de l'hyperbole ou de fon oppofée, des lignes droites comme GCg, ECe, &c. qui coupent chacune l'hyperbole en deux points C, c; C, i, & qui fe terminent aux afymptotes en E, e, en G, g; les deux parties de chacune de ces lignes droites comprises entre l'hyperbole & l'afymptote, comme CE, ce, ou CG, ig, &c. font égales. Si l'on en tire de même aux hyperboles oppofées, comme Ceix, CLlx, les parties Ce, xe, font égales; comme auffi CL, xl feront égales.

1°. Cette proprieté eft évidente par raport aux lignes droites paralleles au demi-diametre d D; car la partie BE, par exemple de ECBce, est égale à Be; & de plus l'ordonnée BC à l'ordonnée Bc; ainfi CE = ce. Il en eft de même des paralleles Cex au premier diametre.

iH =

2o. Voici la démonstration pour les autres lignes comme GCig; il faut démontrer que CGig. Pour le faire on menera par C & par i les paralleles au second diametre ECce, Hqih, & on nommera CE ce (e), CecE(c), qH= qH=ih(i), qb (h), iC(b); & les lignes qu'on veut prouver égales CG (2), ig(u). Les triangles femblables HGI, EGC donneront iH (h) — CE (~ e). CE (e) :: iC(b). CG(z = 1°c) • De même les triangles femblables Cge, igh, donneront Ce(c) — ih ( — i), ih ( i ) :: ¿C (b)-, ig ( u ➡bi. Il reste à démontrer que CG(3b) = ig (n = 4). Il n'y a qu'à les réduire au même dénominateur, & l'on aura z = bce-bei

b-exc-i

b

= c

[ocr errors]

&u= bih-bei ; effaçant dans chacune ―bei, & divifant il refte d'un côté ce, & de l'autre ih. Or ce=Ce x CE, & ih = iH x qH; & ces deux

chaque reste par ex

[ocr errors]

produits font égaux* chacun à AT — K D2; ainfi ils font
égaux; donc CGig. Ce qu'il falloit démontrer.

On démontrera de même que CL=xl en menant par Z
& / des paralleles au premier diametre KA.

COROLLAIRE >

Où l'on donne une description facile de l'hyperbole.

405. ON trouve par cette proprieté tous les points qu'on veut d'une hyperbole & de fon oppofée, dont on a les afymptotes & un feul point C; car il n'y a qu'à mener par C tant de lignes droites qu'on voudra, comme Cg, CG, Cx, &c. & prendre fur chacune, par exemple fur GCg la partie ig= CG, & le point i fera un des points de l'hyperbole : il en eft de même des autres, & chaque point qu'on trouve, peut servir de même à en trouver tant d'autres qu'on voudra.

I

TROISIEME PROPRIETt e',

Où l'on explique l'équation de l'hyperbole par raport
à fes afymptotes.

402

406. Si l'on tire par le fommet A du diametre Aa, AF parallele FIG.XXII.
à l'afymptote Kftg, & Af parallele à l'autre afymptote, &
qu'on tire par un point quelconque c de l'hyperbole les pa-
ralleles cM, CN aux afymptotes jufqu'à la rencontre des
afymptotes en M & N; l'on aura toujours KM × Mc = Kfx
Af. Il en eft de même de l'hyperbole oppofée, ce qui donne
KM. Kƒ :: Af. Mc.

1o. Il est évident que la tangente tAT étant partagée
également en A, Af parallele à la base KT du triangle KT
partage auffi Kr en deux parties égales en ƒ; ainsi Kƒ, ft, &
AF qui eft parallele à Kf, font trois lignes égales. Par la
même raison KF, FT, Af font égales. 2°. Menant par c,
ecCE parallele à la tangente, on nommera les connues AT
=At=KD
At = KD ( 1⁄2 ♪ ) ; KF = FT=Af (a); Kf=ft=AF(b);
les inconnues KM⇒ Nc ( x ), Mc = KN (y) ; & l'on aura
à caufe des triangles femblables AFT, CNE, AF(b).
AT (♪) :: Nc ( x) .cE= de même les triangles
femblables Aft, cMe, donneront Af(a). At(d) :: Mc(y)

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

.ce

в

Mais cExce= AT
AT2*; ainfi

ab

BB b b iij

[ocr errors]

d'où l'on déduit xy=ab, c'est à dire KM× Mc➡ Kƒ×ƒA. Ce qu'il fallait démontrer.

C

Ainfi KM × Mc= ·Kƒ× ƒÆ ; c'est à dire xy=ab est l'équa tion de l'hyperbole par raport à fes afymptotes, & elle exprime le raport de tous les points c de l'hyperbole à l'afymptote KM par le moyen des coupées KM(x), & des ordonnées Mc (y); & elle convient de même à l'autre branche & à l'hyperbole opposée.

PROBLÈME IV.

407. MENER une tangente Sqs par un point donné quelconque q de FIG.XXII. l'hyperbole, en fe fervant de l'équation aux afymptotes xy ab o; c'est à dire, ayant mené l'ordonnée qV, trouver la foutan

gente VS.

SOIT KV=x, Vq=9, VS=s, on trouvera par la *371. methode * en mettant xe à la place de x, & à la place de y dans xy — ab = 0, s=x; ce qui fait voir qu'en prenant VS (s) = KV (x); & tirant Sqs, elle fera la tangente.

COROLLAIRE I.

408. PUISQUE l'ordonnée q partage KS en deux parties égales, il eft évident qu'étant parallele à la base Ks du triangle KSs, elle partage auffi la tangente Sqs en deux parties égales au point touchant q.

COROLLAIRE II.

Où l'on explique l'hyperbole équilatere.

409. Si l'on mene par le centre K & par le point touchant q une ligne Kq, ce fera la moitié d'un premier diametre, & la moitié q8 de la tangente sqS fera égale à la moitié du fecond 401. diametre *, & lui fera parallele. Or fi un feul premier dia. metre de l'hyperbole est égal à son fecond diametre, (ce qui ne peut pas arriver que le premier & le fecond diametre 391. ne foient chacun égal au parametre *), 1o, l'angle FKƒ des afymptotes fera droit; 2°, chaque premier diametre de l'hyperbole fera toujours égal à fon fecond diametre, & par confequent auffi à fon parametre.

1o. Car foit Kq la moitié d'un premier diametre quelconque, & sq$ la tangente au fommet q de ce premier dia

merre, la moitié qS de la tangente fera égale à la moitié du fecond diametre, par confequent fi le premier diametre est égal à son second diametre, Kq fera égale à qS, & le triangle KqS étant ifocele, l'ordonnée q au point touchant parallele à l'afymptote Kf partageant KS en deux parties égales en V, fera perpendiculaire fur l'afymptote KF; l'afymptote Kf fera donc auffi perpendiculaire au point K fur KF.

2o. Puifqu'il fuit de l'égalité d'un feul premier diametre & de fon fecond diametre, que l'angle des afymptotes eft droit, une ordonnée quelconque q étant parallele à l'autre afymptote Kf, fera perpendiculaire fur KF; & fi l'on mene par ce point q une tangente qS & un diametre Kq, le point de la perpendiculaire qu'étant au milieu de KS, le point touchant q fera également éloigné de K & de S; par confequent KqqSi la moitié Kq d'un premier diametre quelconque fera donc égale à la moitié qS de fon fecond diametre.

Définition de l'hyperbole équilatere. 410. UNE hyperbole dont l'angle des afymptotes est droit, s'appelle équilatere, & dans une hyperbole équilatere, chaque premier diametre est égal à fon second diametre, comme auffi à fon parametre. L'équation de l'hyperbole équilatere par raport aux afymptotes est xy=aa, quand KA eft l'axe; xy=ab, quand KA eft un autre diametre que l'axe. Cette équation convient auffi à toute autre hyperbole par raport aux afymptotes; ainfi l'équation à l'hyperbole équilatere par raport aux afymptotes ne differe pas des autres: Mais par raport aux diametres, l'équation à l'hyperbole yy=xx Add devient pour l'hyperbole équilatere yy =xx dd;

&

[ocr errors]

=

& par raport au fecond diametre xx=yy+1♪♪, 4♪♪ — 1dd. On fe fert beaucoup dans la réfolution des Problêmes de l'hyperbole équilatere, parcequ'elle est la plus fimple.

[merged small][ocr errors]

Ufage de la methode des tangentes pour trouver par une même operation les tangentes d'une infinité de courbes.

411. TROUVER les foutangentes de toutes les courbes à l'infini reprefentées par cette équation p-x=y", ou bien (fuppofant, pour abreger le calcul, le parametre p= 1) IX =y".

« AnteriorContinuar »