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T H E O RE M E. Des proprietés de l'hyperbole par raport à ses asymptotes. 401. UN

NE hyperbole CCACC & son opposée étant tracée sur Fig.XXI. un plan avec un de ses diametres quelconque donné Aa, son second diametre dKD, & la tangente tAT à l'extremité de ce diametre, qui est toujours parallele aux au second diametre; si l'on fait AT, At chacune égale à la moitié du second diametre dKD, qu'on tire KT, Kt, & qu'on les prolonge à l'infini du côté de A& du côté de a; ces lignes seront les asymptotes de l'hyperbole CAC & de son opposée ; c'est à dire , que chacune des quatre branches des hyperboles opposées s'approchera toujours de plus en plus de son asymptote Tans pourtant la rencontrer, si ce n'est à une distance infinie.

DEMONSTRATION. NOMMANIKA({d), KD(IN), KB(x), BC'(Y), l'on aura à cause des triangles semblables KAT, KBE, KAįd)

AT =KD () :: KB (*). Be=detaiainsi ce = ---y. Or l'équation à l'hyperbole s vy=xx ——

dd, donne y = 4

à Vxx — Idd ; ainsi ce= 3xx - Vxx—iddd'où il suit que plus x augmente, & plus ce diminue, & par con-. sequent l'hyperbole approche toujours de son asymptote, & que cependant elle ne la rencontrera qu'à une distance infinie ; car la valeur de CE demeurera toujours positive, jusqu'à ce que x foit infinie ; & quand elle le fera, CĒ deviendra zero, (-4dd étant zero par raport à + xx); & l'alym. ptote touchera l'hyperbole.

PREMIERE PROPRIETE'.
402. Si l'on tire des paralleles ecBCE à la tangente tT ; ou, ce

qui est la même chose, au second diametre dD, qui se ter-
minent de part & d'autre aux asymptotes; CEx Ce=AT?
=KD”; car, par ce qui précede, Ce=ăxx-Väx-dd,
& ce= Belex) + BC(+y=+

+ BC(+y=+* V**— Idd); donc
CEx Ce=·xx - Vxx dd +Vxx.dd
+ INM= AT' =KD.
Il est évident qu'on prouvera de même que ce x CE = At
Kd.

ВВЪь ij

403. Si l'on mene aussi des paralleles Ceex au premier diaFig.XXII. metre, qui se terminent aux hyperboles opposées, & qui

coupent les asymptotes en e, e; Ce x Ce=; car les
401. triangles semblables KBE, Kbe donneront BE(***). KB(x)

:: Kb (y=iVxx — idd):be=Vxx — Idd; d'où l'on
aura Cesx V**— dd, & Ce=Cb + be=it
VXX — dd; donc ce ~ Ce=+dd=. .

SECONDE PROPRIETE'.
404. Si l'on tire par un point quelconque C de l'hyperbole ou de
FIG.XXII.

son opposée, des lignes droites comme GC8, ECe, &c. qui
coupent chacune l'hyperbole en deux points C,c; C, i,& qui
se terminent aux asymptotes en E, e, en G, g; les deux parties
de chacune de ces lignes droites comprises entre l'hyperbole
& l'afymptote, comme CE, ce, ou CG, i8, &c. sont égales.
Si l'on en tire de même aux hyperboles opposées , comme
Çeex, CLlx, les parties Ce, xe , sont égales; comme aussi
CL, xl seront égales.

1°. Cette proprieté est évidente par raport aux lignes droi-
tes paralleles au demi-diametre d D; car la partie BE, par
exemple de ECBce, est égale à Be; & de plus l'ordonnée BC
à l'ordonnée Bc; ainsi ce=ce. Il en est de même des

pa-
ralleles Ce ex au premier diametrę.

2°. Voici la démonstration pour les autres lignes comme
GCig; il faut démontrer que CG = ig. Pour le faire on
menera parc & par i les paralleles au second diametre ECce,
Hqib, &on nommera CĒ=ce(e), Ce=cE(C), 9H=ih(i),
iH=qh (h), iC(6); & les lignes qu'on veut prouver égales
CG (2), ig(u). Les triangles semblables HGI, EGC donne-
ront iH(h) - CE(-e).CE(e) :: iC/6).CG(z=b)
De même les triangles semblables Cge, igh, donneront Celc)
-ib(-i). ib(i):: iC(6).ig(u= b. Il reste à démon-
trer que CG(z=h .) =ig(x=6). Il n'y a qu'à les
réduire au même dénominateur, & l'on aura x=
&u=_bih - be_; effaçant dans chacune

-; effaçant dans chacune - bei, & divisant
chaque reste par eso, il reste d'un côté ce, & de l’au-
fre ih. Orce=Ce CE, & ih=iH xqH; & ces deux

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bre- bei breximin

b-exchi

produits sont égaux * chacun à AT? =?

KD? ; ainsi ils sont 402. égaux ; donc CG=ig. Ce qu'il falloit démontrer.

On démontrera de même que CL=xlen menant par L & l des paralleles au premier diametre KA.

COROLLA I RE,

l'on donne une description facile de l'hyperbole. 405. ON

N trouve par cette proprieté tous les points qu'on veut
d'une hyperbole & de son opposée, dont on a les asymptotes
& un seul point C; car il n'y a qu'à mener par c tant de
lignes droites qu'on voudra, comme cg, CG, Cx, &c. &
prendre sur chacune, par exemple sur GCg la partie ig=CG,
& le point i sera un des points de l'hyperbole : il en est de
même des autres, & chaque point qu'on trouve , peut servir
de même à en trouver tant d'autres qu'on voudra.

TROISIEME PROPRIETE',
Ois l'on explique l'équation de l'hyperbole par raport

à ses asymptotes. 406. Si l'on tire par le sommet & du diametre Aa, AF parallele FIG.XXII.

à l'afymptote Kftg, & Af parallele à l'autre asymptote, &
qu'on tire par un point quelconquec de l'hyperbole les pa-
ralleles CM, CN aux asymptotes jusqu'à la rencontre des
asymptotes en M&N ; l'on aura toujours KMR MC Kfx
Af. Il en est de même de l'hyperbole opposée, ce qui donne
KM. Kf:: Af. Mc.

1°. Il est évident que la tangente tAT étant partagée
également en A, Af parallele à la base KT du triangle KtT
partage aussi Kr en deux parties égales en f; ainsi Kf, ft, &
AF qui est parallele à Kf, sont trois lignes égales. Par la
même raison KF, FT, Af sont égales. 2°. Menant par c,
ecCE parallele à la tangente, on nommera les connues AT
=At=KD(S); KF=FT = Af (a); Kf=ft=AF(b);
les inconnues KM= Nc(x), Mo=KN(y); & l'on aura
à cause des triangles semblables AFT, CNE, AF(6).
AT (M) :: Nc(x) .cE=2

6

de même les triangles

;
semblables Aft, cMe, donneront Afla). Atla) :: Mc()
By
Mais cE Xce =

AT'*; ainsi

1ddxy

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=indi ab B B bb üj

oce =

-

d'où l'on déduit xy=ab, c'est à dire KM* Mc=Kfxfa,
Ce qu'il falloit démontrer.

Ainsi KMx Mo=Kfx fA; c'est à dire xy=ab est l'équa.
tion de l'hyperbole par raport à fes asymptotes, & elle ex-
prime le raport de tous les points c de l'hyperbole à l'afym-
prote KM par le moyen des coupées KM(x), & des ordon-
nées Mc(9) ; & elle convient de même à l'autre branche &
à l'hyperbole opposée.

PROBLÊ ME IV. 407. MENER une tangente Sqs par un point donné quelconque q de Fig.XXII. l'hyperbole , en se servant de l'équation aux asymptotes xy - ab

= 0; c'est à dire , ayant mené l'ordonnée qV, trouver la foutan

gente VS.

xy — ab =

Sort KV=x, Vq=1, VS=s, on trouvera par la * 371. methode * en mettant x +e à la place de x, & y - y à la place de y dans

= 0,s=x; ce qui fait voir qu'en prenant VS(5)=KV (*); & tirant Sqs, elle sera la tangente.

COROLLAIR E I.
408. Pursque l'ordonnée q V partage KS en deux parties

égales, il est évident qu'étant parallele à la base Ks du trian-
gle KSs, elle partage aussi la tangente Sqs en deux parties
égales au point touchant q.

COROLLAIRE I I.

l'on explique l'hyperbole équilatere. 409. Si l'on mene par le centre K & par le point touchant q une

ligne Kq, ce sera la moitié d'un premier diametre, & la

moitié qs de la tangente sqs sera égale à la moitié du second 401. diametre *, & lui sera parallele. Or fi un seul premier dia.

metre de l'hyperbole est égal à son second diametre, (ce

qui ne peut pas arriver que le premier & le second diametre 391. ne soient chacun égal au parametre*), 1°, l'angle FKf des

asymptotes sera droit ; 2°, chaque premier diametre de l'hy-
perbole sera toujours égal à son second diametre,

&

par consequent aussi à son parametre.

1°. Car soit Kq la moitié d'un premier diametre quelconque, & sq$ la tangente au sommet q dece premier dia

merre, la moitié

la moitié qs de la tangente sera égale à la moitié du second diametre ; par consequent si le premier diametre est égal à son second diametre, Kq sera égale à qs, & le triangle Kas étant isocele, l'ordonnée qV au point touchant parallele à l'afymptore Kf partageant KS en deux parties égales en V, sera perpendiculaire sur l'afymptote KF ; l'asymptote Kf sera donc ausli perpendiculaire au point K sur KF.

2°. Puisqu'il suit de l'égalité d'un seul premier diametre & de son second diametre, que l'angle des asymptores est droit, une ordonnée quelconque qV étant parallele à l'autre asymprote Kf, sera perpendiculaire sur KF; & fi l'on mene par ce point qune taugente qs & un diametre Kq, le point v de la perpendiculaire qV étant au milieu de KS, le point touchant q sera également éloigné de K & de S; par consequent Kq=9S; la moitié Kq d'un premier diametre quelconque sera donc égale à la moitié qs de fon second dianietre.

Définition de l'hyperbole équilatere. 410. U

Ne hyperbole dont l'angle des asymptotes est droit, s'appelle équilatere, & dans une hyperbole equilatere, chaque premier diametre est égalà son second diametre, comme aussi à son parametre. L'équation de l'hyperbole équilatere par raport aux asymptotes est xy=aa, quand KA est l'axe; &xy=ab, quand K Aest un autre diametre que l'axe. Cette équation convient aussi à toute autre hyperbole par raport aux asymptotes ; ainsi l'équation à l'hyperbole équilatere par raport aux asymptotes ne differe pas des autres : Mais par raport aux diametres, l'équation à l'hyperbole syy = xx Idd devient pour l'hyperbole équilatere yy=xx

- dd; & par raport au second diametre xx=yy+MS, ind=dd, On se sert beaucoup dans la résolution des Problemes de l'hyperbole équilatere, parcequ'elle est la plus simple.

PROBLEME V,
Usage de la methode des tangentes pour trouver par une même

operation les tangentes d'une infinité de courbes.
411. TROUVER les foutangentes de toutes les courbes à l'infini repre-

sentées par cette équation p^-'x=y", ou bien (supposant, pour abreger le calcul, le parametre p=1)x=y".

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