401. UN

X

=

dd

T H E O RE M E.
Des proprietés de l'hyperbole par raport à ses asymptotes.

N E hyperbole CCACC & son opposée étant tracée sur Fig.XXI.
un plan avec un de ses diametres quelconque donné Aa, son
second diametre dKD, & la tangente tAT à l'extremité de
ce diametre, qui est toujours parallele aux au second dia-
metre; si l'on fait AT, At chacune égale à la moitié du
second diametre dKD, qu'on tire KT, Kt, & qu'on les pro-
longe à l'infini du côté de A& du côté de a; ces lignes seront
les asymptotes de l'hyperbole CAC & de son oppolée; c'est à
dire, que chacune des quatre branches des hyperboles op-

.. posées s'approchera toujours de plus en plus de son asymptote lans pourtant la rencontrer,

si ce n'est à une distance infinie.

DEMONSTRATION.
Nomma

OMMANT KAld), KD(), KB(x), BCV), l'on
aura à cause des triangles semblables KAT, KBE, KAŽD)
· AT =KD (1) :: KB (x). Be=t; ainsi ce =

: --y. Or l'équation à l'hyperbole de Yg

= xx - dd, donne y=Vxx — Idd; ainsi ce=*xx-Vxx Idd ; d'où

;

CE
il suit que plus x augmente, & plus ce diminue, & par con-.
sequent l'hyperbole approche toujours de son asymptote,
& que cependant elle ne la rencontrera qu'à une distance
infinie ; car la valeur de CE demeurera toujours positive,
jusqu'à ce que x soit infinie ; & quand elle le fera, CĒ devien-
dra zero, (-4dd étant zero par raport à +.xx); & l'afyme
ptote touchera l'hyperbole.
PREMIERE

PROPRIETE'.
402. Si l'on tire des paralleles ecBCE à la tangente +T; ou, ce

qui est la même chose, au second diametre dD, qui se ter-
minent de

part & d'autre aux asymptotes; CEx Ce=
=KD; car, par ce qui précede, CE- Vxx-.dds
& Ce= Beláx) + BC(=y=+ dd); donc
CEx Ce=;x*— Vxx — dd xi **+Vx* -Idd =

X V
+ dd = AT' =KD?.

?
Il est évident qu'on prouvera de même que ce xcE=A'
=Kd'.

ВВЬb ij

.لا۔

X X

.

2

AT?

xx

V x x

2

d

Xt

2

.

403. Si l'on mene aussi des paralleles Cerx au premier diaFig.XXII. metre, qui se terminent aux hyperboles opposées, & qui coupent les asymptotes en e, e; Cex Ce =KĀ” ; car les

KA
401. triangles semblables KBE, Kbe donneront BE(***). KB(x)

:: Kb (y=iVxx — Idd):be=Vxx - Idd; d'où l'on
aura Ce=x- V**— add, & Ce=Cb + be=x+
Vxx dd; donc Ce Ce=+idd=KĀ”. .

x
SECONDE

PROPRIETE'.
404. Si l'on tire par un point quelconque C de l'hyperbole ou de
Fig.XXII.

son opposée, des lignes droites comme GCg, ECe, &c. qui
coupent chacune l'hyperbole en deux points C, C; C, i, & qui
se terminent aux asymptotes en E, e, en G, g; les deux parties
de chacune de ces lignes droites comprises entre l'hyperbole
& l'asymptote , comme CE, ce, ou CG, i8, &c. sont égales.
Si l'on en tire de même aux hyperboles opposées, comme
Çeex, CLlx, les parties Ce, xe, sont égales; comme aussi
CL, xl seront égales.

1°. Cette proprieté est évidente par raport aux lignes droi-
tes paralleles au demi-diametre d D; car la partie BE, par
exemple de ECBce, est égale à Be; & de plus l'ordonnée BC
à l'ordonnée Bc; ainsi ce=ce. Il en elt de même des

pa-
ralleles Ceex au premier diametre.

2°. Voici la démonstration pour les autres lignes comme
GCig; il faut démontrer que CG = ig. Pour le faire on
menera parc & par i les paralleles au second diametre ECce,
Hqih,&
on nommera CE=ce(e), Ce=cE(c), qH=ih(i),

Ci
iH=qh (b), iC(6);& les lignes qu'on veut prouver égales
CG (R), ig(u}. Les triangles semblables HGT, EGC donne-
ront iH(h) - CE().CE(1) :: iC(6). CG(z=')

=
De même les triangles semblables Cge, igh, donneront Celc)
-ih(-i), ih(i):: iC66). ig (u=bi. Il reste à démon-
trer que CG(z=h) = ig(x=67). Il n'y a qu'à les

== bi
réduire au même dénominateur, & l'on aura x=
&u=_bih-bei_; effaçant dans chacune - bei, & divisant
.

il reste d'un côté ce, & de l'aufre ih. Orce=Ce x CE, & ih=iH xqH; & ces deux

.

bre - bei brexiri,

brexi-i

chaque reste par Géxiz'

b

produits sont égaux * chacun à AT' = K D’; ainsi ils sont 402.
égaux ; donc CG

donc CG=ig. Ce qu'il falloit démontrer.
On démontrera de même que CL=xlen menant par L
& l des paralleles au premier diametre KA.

COROLLA I RE,

Où l'on donne une description facile de l'hyperbole.
405. On trouve par cette proprieté tous les points qu’on veut

d'une hyperbole & de son opposée, dont on a les asymptotes
& un seul point C; car il n'y a qu'à mener par C tant de
lignes droites qu'on voudra, comme Cg, CG, Cx, &c. &

rendre sur chacune, par exemple sur GCg la partie ig=CG,
& le point i sera un des points de l'hyperbole : il en est de
même des autres, & chaque point qu'on trouve , peut

servir
de même à en trouver tant d'autres qu'on voudra.

TROISIE'ME PROPRIETE',
Ons l'on explique l'équation de l'hyperbole par raport

à ses asymptotes. 406. Si l'on tire par le sommet A du diametre Aa, AF parallele Fig.XXII.

à l'asymptote Kftg, & Af parallele à l'autre asymptote, &
qu'on tire par un point quelconque c de l'hyperbole les pa-
ralleles cM, N aux asymptotes jusqu'à la rencontre des
asymptotes en M&N; l'on aura toujours KMx Mc= Kfx
Af. Il en est de même de l'hyperbole opposée, ce qui donne
KM. Kf:: Af. Mc.

1°. Il est évident que la tangente tAT étant partagée
également en A, Af parallele à la base KT du triangle Kit
partage aussi Ki en deux parties égales en f; ainsi Kf, ft, &
AF qui est parallele à Kf, font trois lignes égales. Par la
même raison KF, FT , Af sont égales. 2°. Menant par c,
ecCE parallele à la tangente, on nommera les connues AT

= A=KD(S);KF=FT = Af(a); Kf=ft=AF(b); les inconnues KM=Nc(x), Mc=KN()); & l'on aura à cause des triangles semblables AFT, CNE, AF(6) AT (A) :: Nc(*) .CE=

6

~; de même les triangles
semblables Åft, cMe, donneront Afla). Atli):: MC(O)

Isy. Mais cExce=AT *; ainsi
들에

=

Add xy

= iddi
ab
ВВЪь йј

.

.fx

2

.

prime le

с

d'où l'on déduit xy=ab, c'est à dire KM* Mc= Kfxfa. Ce qu'il fallait démontrer.

Ainsi KMx Mc=KfxfA; c'est à dire xy=ab est l'équa. tion de l'hyperbole par raport à fes asymptotes , & elle ex

raport de tous les points c de l'hyperbole à l'afymptote KM par

le

moyen des coupées KM(x), & des ordonnées Mc(y) ; & elle convient de même à l'autre branche & à l'hyperbole opposée.

PROB L'Ê ME IV. 407. MENER une tangente Sas par un point donné quelconque q de fig.xxii. l'hyperbole, en se servant de l'équation aux asymptotes xy ab

= 0; c'est à dire , ayant mené l'ordonnée V, trouver la fontan

gente VS.

*

ey
$

Soit
OIT KV=x, Vq=1, VS=s, on trouvera par la
=

=, * 371. methode * en mettant x + e à la place de x, & yà la

place de y dans xy — ab= 0, s=x; ce qui fait voir qu'en prenant VS(s) = KV (x)} & tirant Sqs, elle sera la tangente.

COROLLAIRE I. 408. Puisque l'ordonnée q V partage KS en deux parties

égales, il est évident qu'étant parallele à la base Ks du triangle KSs, elle partage aussi la tangente Sqs en deux parties égales au point touchant q.

COROLLAIRE I I.

Où l'on explique l'hyperbole équilatere. 409. Si l'on mene par le centre K & par le point touchant q une

ligne Kq, ce sera la moitié d'un premier diametre, & la moitié qs de la tangente sqS sera égale

à la moitié du second 401. diametre *, & lui sera parallele. Or fi un seul premier dia.

metre de l'hyperbole est égal à son second diametre, (ce

qui ne peut pas arriver que le premier & le second diamerre 391. ne soient chacun égal au parametre *), 1°, l'angle F Kf des

asymptotes sera droit ; 2°, chaque premier diametre de l'hyperbole fera toujours égal à son second diametre, & par consequent aussi à son parametre.

. 1°. Car soit Kq la moitié d'un premier diametre quelconque, & sq$ la tangente au sommet q de ce premier dia

q

merre, la moitié qs de la tangente sera égale à la moitié du
second diametre; par consequent si le premier diametre est
égal à son second diametre, Kq sera égale à qs, & le triangle
Kas étant isocele, l'ordonnée qV au point touchant paral-
lele à l'afymptote Kf partageant KS en deux parties égales
en V, sera perpendiculaire sur l'afymptote KF ; l'asymptote

V
Kf sera donc aussi perpendiculaire au point K sur KF.

2°. Puisqu'il suit de l'égalité d'un seul premier diametre & de son second diametre, que l'angle des asymptotes est droit, une ordonnée quelconque qV étant parallele à l'autre asymptore Kf, sera perpendiculaire sur KF; & fi l'on mene par çe point qune taugente qs & un diametre Kq, le point V de la perpendiculaire qv étant au milieu de KS, le point touchant q sera également éloigné de K & de S; par consequent Kq=9S; la moitié Ką d'un premier diametre quelconque sera donc égale aula moitié qs de fon second diametre.

Définition de l'hyperbole équilatere. 410. U NE hyperbole dont l'angle des asymptotes est droit,

s'appelle équilatere, & dans une hyperbole équilatere, chaque premier diametre est égal à fon second diametre, comme aussi à son parametre. L'équation de l'hyperbole équilatere par raport aux asymptotes est xy=aa, quand KA est l'axe; &xy=ab, quand K A est un autre diametre que l'axe. Cette équation convient aussi à toute autre hyperbole par raport aux asymptotes ; ainsi l'équation à l'hyperbole équilatere par raport aux asymptotes ne differe

pas

des autres : Mais par raport aux diametres, l'équation à l'hyperbole ye

Add devient pour l'hyperbole équilatere yy =x*— dd; & par raport au second diametre xx=9y+418, Ind=idd. On se sert beaucoup dans la résolution des Problemes de l'hyperbole équilatere, parcequ'elle est la plus simple.

PROBLEME V,
Ufage de la methode des tangentes pour trouver par une même

operation les tangentes d'une infinité de courbes.
411. Trouver les foutangentes de toutes les courbes à l'infini repre-

sentées par cette équation pa-'x=y", ou bien (supposant, pour abreger le calcul, be parametre p=1)x=y".

=

=XX

m

m

IX