On remarquera que quand m eft une grandeur pofitive, l'équation précedente eft l'équation qui convient aux paraboles de tous les degrés à l'infini, & que quand m eft négative, 1x=y, ou bien xym I eft l'équation des hyperboles de tous les degrés à l'infini par raport aux afymptotes. Il faut mettre dans l'équation yTM Ix = 0, y + la place de y", &x + e à la place de x; & il fuffit d'aller ici jufqu'au fecond terme où e eft lineaire, fi ce n'est dans les cas 371. de la remarque* : ainfi l'on trouvera y + y = o, ce qui $375. m - -x m m me 111 le ות donne smy", & en mettant pour y la valeur IX, l'on trouve smx. Ce qu'il falloit trouver. 3x, xym و Quand dans l'équation ym. Ix = 0, m = 2, la foutangentes eft égale à deux fois la coupée x, comme on l'a 371. trouvé ci-deffus *; quand m=3, la foutangente est égale à & ainfi à l'infini. Quand m eft négative, & que l'équation i=0, eft aux hyperboles de tous les degrés par raport à leurs afymptotes, fi m=1, la foutangente eft s= Ix, comme on l'a trouvée ci-deffus*, la valeur négative 1x de la foutangente marque qu'il la faut prendre du côté oppofé à l'origine K, comme l'on a pris VS (fig. 22). Sim2, la foutangente S=2x, & ainfi à l'infini. 407. 4 12. mimim X On trouvera de même en mettant xe au lieu de x, & y au lieu de y, que les foutangentes des ellipfes de tous les degrés à l'infini, dont l'équation eft y d-x", font representées par s= m+ n x d x - xx & les foutangentes de toutes les hyperboles dont les équations par raport à leurs diametres font reprefentées par y d+x, font auffi reprefentées par s= Lecteurs les trouveront facilement par l'application qu'on 371. vient de faire de la methode des tangentes à l'équation generale des paraboles & des hyperboles de tous les genres, laquelle fuffit pour faire concevoir la maniere de l'appliquer à toutes les autres équations generales & particulieres des courbes geometriques De la defcription des courbes en trouvant plufieurs de leurs points POUR LES TROIS SECTIONS CONIQUES. 413. ON menera d'abord les deux lignes des coordonnées O Aa, FIG.XXIII. OE, perpendiculaires l'une à l'autre, parceque la defcription fuivante convient aux axes des trois fections coniques. On fuppofe un point donné F fur O Aa qu'on appelle le foyer; & deux lignes connues og, gh, qu'on nommera la premiere m, la feconde n: Cela fuppofé, 1°, il faut partager OF en A, de façon que OA. AF :: og(m) .gh (n); en faisant à part l'angle quelconque hof, & prenant og=m,gh =n, &of=OF, joignant hf, & tirant par g, ga, parallele à hf, l'on aura oa. af :: og(m). gh(n); ainfi l'on aura le point A qu'on cherchoit fur OA F. 2°. Il faut faire AG perpendiculaire fur O AF égale à AF, & tirer la ligne indéfinie OGHD. 3°. Pour avoir tel point qu'on voudra de la fection conique qu'on veut décrire, il faut prendre fur l'axe OAF le point B où l'on voudra, & après avoir élevé la perpendiculaire à l'axe BD jufqu'à la ligne OGHD, ouvrir le compas de la grandeur de BD, & mettant une pointe fur le foyer F, tracer avec l'autre pointe un arc qui coupe BD en C. Le point C ainfi trouvé est un point de la parabole, quand m=n; de l'ellipfe, quand m furpaffe n; de l'hyperbole, quand m eft moindre que n; & l'on trouvera de la même maniere tant d'autres points que l'on voudra, & auffi proches. les uns des autres qu'on voudra. On va mettre en Problême la maniere de démontrer ces trois cas. POUR LA PARABOLE. 414. QUAND m=n, trouver l'équation de la courbe, dont C eft l'un des points. ΟΙΤ SOIT 04, ainsi AF = 0A=p; foit AB = x, I I 2 =x l'on déduit px=yy, qui eft l'équation à la parabole: AB est l'axe, parceque les ordonnées BC (y) lui font perpendicu laires, &p=40A (4 × 4p) est le parametre de l'axe. REMARQUES. I. 415. La ligne OGHD eft tangente du point Hoù se termine LA l'ordonnée au foyer FH; car nommant AF (x), OF sera 371. égale à 2x, qui eft la foutangente de la parabole *. I I. 416. Si par un point quelconque C de la parabole on mene une FIG.XXIV. ligne CF au foyer, & la ligne CE parallele à l'axe AB, qui par la construction eft égale à FC, & après avoir tiré FE, & partagé FE au milieu en Z, on mene la ligne CLS, elle fera tangente au point C; car les triangles ELC, SLF, seront rectangles en L, puifque le triangle ECF eft ifocele, & ils feront femblables & égaux, ayant les côtés EL, LF'égaux; par consequent SF = ECOB; d'où l'on voit que SO FB, par confequent AS AB; ainfi SB AB; ainfi SB = 2AB ( 2 x ) 371. eft la foutangente du point C *, 417. I I I. D'où il fuit que l'angle s CM que fait la tangente SCs avec la parallele ECM à l'axe par le point C, étant égal à l'angle oppofé au fommet ECS, il eft auffi égal à l'angle SCF, qui par la construction est égal à l'angle ECS. D'où l'on voit que fi l'on donnoit à du métal bien poli la figure parabolique que formeroit la parabole DCHA en la faifant tourner autour de fon axe AFB, on auroit un miroir qui raffembleroit au foyer F tous les rayons comme MC qui feroient paralleles à l'axe AFB; & qui reflechiffant les rayons d'un point lumineux qui feroit au foyer F, les rendroit tous paralleles à l'axe; puifque dans la reflexion chaque angle d'incidence MCs eft toujours égal à son angle de reflexion FCS. POUR L'ELLIPSE ET L'HYPERBOLE. 418. QUAND meft plus grande ou plus petite que n, trouver l'équation de la courbe dont C eft l'un des points. FIG.XXIII. Comme l'ellipfe rencontre fon axe en deux points A&a, qui & XXV. font les extremités de l'axe; & que l'hyperbole & fon oppofée 567 ont auffi les fommets aux deux extremités Aa de l'axe principal: Pour abreger le calcul, il faut, 1°, trouver la longueur Aa & Ax de l'axe, le fecond foyer fou 9, & le raport de l'axe Aa à la distance Ff des foyers, & de Дa à FQ; 2°, aprés l'avoir partagé au milieu K dans l'ellipfe, & k dans l'hyperbole, il faut trouver la ligne OK & Ok. Puifque le point a appartient à la courbe, OA. AF :: Oa. aF; en divifant, OÀ— AF. AF :: 0a-a FOF. aF; or les trois premiers termes OA-AF, AF, & OF font connus: on trouvera donc le quatriéme aF, & y joignant AF, la grandeur de l'axe fera connue ; & faisant af AF, l'on aura le fecond foyer f; & comme OA furpaffe AF, aF eft pofitive & fe trouve du même côté que A par raport à O. Dans l'hyperbole l'on trouvera OA- AF. AF :: OF. -aF; & comme OA eft moindre que AF, a F eft négative, & doit être prise en allant vers la gauche de F à a. On prendra auffi &Q AF, & fera le fecond foyer de l'hyperbole, & Aa fera son grand axe. = Pour trouver le raport de Aa à Ff, l'on a déja Oa . aF:: OA. AF, en faisant le changement alterne, Oa. OA :: aF, AF, en divifant Oa-OA Aa. OA :: aF- AF Ff. AF; donc Aa. Fƒ :: OA. AF : dans l'hyperbole on trouvera 0a +0A = Au. OA :: aF AF FQ. AF; par confequent A&. FQ :: OA. AF. OA Pour trouver la valeur de KO ou ko, foit Aa ou Aaa, Ff ou Fq=f. On fera cette proportion pour l'ellipfe KF ( {ƒ). KĀ ( { @ ) :: AF (ža — žƒ). OA=Ãaa— aa — — af ainfi KO0A + AK = aaafaf aa f Dans l'hyperbole on aura kF(ƒ) .kA(a) :: AF = kF af. aa & kOkA Laa OA L'on f remarquera aa que KO & k0= donnant cette proportion KF & kF(ƒ). KA & kA(ža) :: KA & kA (ža). KO & la ligne OH est tangente* au point H où est *386.398, CC c c ij J l'ordonnée FH au foyer F. Ces chofes fuppofées, on trouvera l'équation de la courbe de la maniere fuivante. Soit KB ou kB = x, BC=y, KA ou kA÷a, KF où kF ·ƒ, OB KO-KB dans l'ellipfe, & dans l'hyperbole kBk0—± Laa x. FB (dans l'ellipfe) = KF — KB ; (dans l'hyperbole) — kB — kF = = + ƒ x. Or les triangles femblables OAG, OBD, donnent OA . AG :: OB. BD=FC par la construction; mais OA. AG :: Aa, ou Aα (a). Fƒ ou FQ (ƒ); ainfi a. f :: aa aa f ff - aa c'eft dans le triangle rectangle FBC, FC2 FB = BC2, Dans l'une & dans l'autre fi l'on prend, 1o, une ligne ♪ 2 11 2 Aa2 = √2AF × 2a F dans l'hyperpole, & fera ᎴᎴ aa le fecond axe, & l'on aura yyxx± 4aa. 2°. Si l'on fait a. d::♪.p, p fera le parametre du grand axe, & l'équation ferayy=xx±‡aa. COROLLAIRE I. 419. LA fomme FC+fC des deux lignes menées des deux FG-XXIII. foyers F,ƒ à un point quelconque C de l'ellipse, est égale à & XXV. l'axe Aa, & la difference OC- FC des deux lignes menées des deux foyers à un point C de l'hyperbole, eft égale à l'axe Aa. DEMONSTRATION. Si l'on prend dans l'ellipse Kb— KB, qu'on mene bcd & Fc, ces deux lignes font égales par la conftruction. Et comme Kb KB, be eft auffi égale à BC; ainfi les triangles rectangles fBC, Fbc font égaux, & Fc=fC. On prouvera de même dans l'hyperbole, en fuppofant kB kß, que o C Fx j = |