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On remarquera que quand m est une grandeur positive, l'équation precedente est l'équation qui convient aux paraboles de tous les degrés à l'infini, & que quand m est négative, 1x=y", ou bien xy" =i est l'équation des hyper

boles de tous les degrés à l'infini par raport aux asymptotes. 371. Il faut mettre dans l'équation y Ix = 0, y +

la place de g",&x+e à la place de x; & il suffit d'aller ici

jusqu'au second terme où e est lineaire, si ce n'est dans les cas * 372. de la remarque* : ainsi l'on trouvera 2" + megy" = 0, ce qui

ות

* à

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* 407.

Si m = 2,

donne s=my", & en mettant pour y" sa valeur IX,

l'on trouve s = mx. Ce qu'il falloit trouver.

Quand dans l'équation , — 1x=0, m=2, la soutan

gente s est égale à deux fois la coupée x, comme on l'a 371. trouvé ci-dessus * ; quand m=3, la soutangente est égale à

3x, & ainsi à l'infini. Quand m est négativc & que l'équation xy" MI=0, est aux hyperboles de tous les degrés par raport à leurs asymptotes, lim=1, la foutangente est s=

Ix, comme on l'a trouvée ci-dessus*, la valeur négative - 1x de la soutangente marque qu'il la faut prendre du côté opposé à l'origine K, comme l'on a pris V S (fig. 22).

la soutangente S=-2x, & ainsi à l'infini. 412.

On trouvera de même en mettant *te au lieu de x, & y + au lieu de y, que les soutangentes des ellipses de tous les degrés à l'infini , dont l'équation est sy — *", sont representées par s=

m+n* dx =*; & que les soutangentes de toutes les hyperboles dont les équations par raport à leurs diametres font representées par **"=x"* d + x", sont aussi representées par s=

Les Lecteurs les trouveront facilement par l'application qu'on 371. vient de faire de la methode * des tangentes à l'équation

generale des paraboles & des hyperboles de tous les genres, laquelle suffit pour faire concevoir la maniere de l'appliquer à toutes les autres équations generales & particulieres des courbes geometriques,

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d - x

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ز

m + Xdx + XX
mi + mx + nx

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De la description des courbes en trouvant pluseurs de leurs points

tres proches les uns des autres.
POUR LES TROIS SECTIONS CONIQUE S.
413. On menera d'abord les deux lignes des coordonnées ( Aa, FıcXXIII.

OE, perpendiculaires l'une à l'autre, parceque la description
suivante convient aux axes des trois sections coniques. On
suppose un point donné F sur 0 Aa qu'on appelle le foyer; &
deux lignes connues og, gh, qu'on nommera la premiere m,
la seconde n: Cela fuppofé, 27, il faut partager OF en A, de
façon que 0 A . AF:: 0g(m).gh(n); en faisant à part l'angle
quelconque hof, & prenant og=m,gh=n, &of=OF,
joignant hf, & tirant par g, ga, parallele à hf, l'on aura
oa. af :: 08(m).gh(n); ainsi l'on aura le point A qu'on
cherchoit sur O AF. 2o. Il faut faire AG perpendiculaire sur
O AF égale à AF, & tirer la ligne indéfinie OGHD. 3". Pour
avoir tel point qu'on voudra de la section conique qu'on veut
décrire, il faut prendre sur l'axe O AF le point' B où l'on
voudra; & après avoir élevé la perpendiculaire à l'axe BD
jusqu'à la ligne OGHD, ouvrir le compas de la grandeur de
BD, & mettant une pointe fur le foyer F, tracer avec
l'autre pointe un arc qui coupe BD en C.

Le point C ainsi trouvé est un point de la parabole, quand
m=n; de l’ellipse', quand m surpasse n; de l'hyperbole,
quand m est moindre que n; & l'on trouvera de la même
maniere tant d'autres points que l'on voudra, & aussi proches
les uns des autres qu'on voudra. On va mettre en Probleme
la maniere de démontrer ces trois cas.

PROBLÊ ME V I.

POUR LA
414. QVAND m=n, trouver l'équation de la courbe, dont c eft

l'un des points.
SOITOA=ip, ainsi AF=0A=ip;foit AB
BC=y; soit menée la ligne FC égale à BD par la construc-
tion. A cause des triangles rectangles semblables O AG,OBD,
l'on a 0 A (P). AG (P):: 0 B (p+*). BD= FC

=&p+x; l'on a aussi FB=AB(*) AF(- *p)=x
-p: & à cause du triangle rectangle FCB, FC? (GPP
+ 1px+xx) — FB*(-- *x + ipx - HPP)=BC*(yy); d'où

С Сcc

PAR A BOL E.

= x,

l'on déduit px=yy, qui est l'équation à la parabole: AB est l'axe, parceque les ordonnées BC (9) lui sont perpendiculaires, &p=40A (4x4p) est le parametre de l'axe.

REM A R Q v E s.

I. 415. La ligne OG HD est tangente du point Hoù se termine

l'ordonnée au foyer FH; car nommant AF (*), 0 F sera 371. égale à 2x, qui est la soutangente de la parabole *

I I.

416. Si par un point quelconque C de la parabole on mene une $16.XXIV. ligne CF au foyer, & la ligne CE parallele à l'axe AB, qui

par la construction est égale à FC, & aprés avoir tiré FE, & partagé FE au milieu en L, on mene la ligne CLS, elle sera tangente au point C; car les triangles E LC, SLF, seront rectangles en L, puisque le triangle EC F est isocele, & ils seront semblables & égaux, ayant les côtés EL, ZF'égaux; par consequent SF = EC=OB; d'ow l'on voit que só

=FB, par consequent AS = AB; ainsi SB = 2AB (2x) * 371. est la soutangente du point c*,

I II. 417 D'où il suit que l'angle sCM que fait la tangente SCs avec

la parallele ECM à l'axe par le point C, étant égal à l'angle opposé au sommet ECS, il est aussi égal à l'angle SCF, qui par la construction est égal à l'angle ECS:

D'où l'on voit que si l'on donnoit à du métal bien poli la figure parabolique que formeroit la parabole DCHA en la faisant tourner autour de son axe AFB, on auroit un miroir qui rassembleroit au foyer F tous les rayons comme MC qui seroient paralleles à l'axe AFB;& qui reflechissant les rayons d'un point lumineux qui seroit au foyer F, les rendroit tous paralleles à l'axe ; puisque dans la reflexion chaque angle d'incidence MCs est toujours égal à son angle de reflexion FCS.

POUR L'ELLIPSE ET L'HYPERBOLE. 418. UAND mest plus grande ou plus petite que n, trouver

l'équation de la courbe dont c est l'un des points. F16.XXIII. Comme l’ellipse rencontre son axe en deux points A&a, qui & XXV. font les extremités de l'axe; & que l'hyperbole &fon opposée

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ont aussi les sommets aux deux extremités Au de l'axe prin-
cipal : Pour abreger le calcul, il faut, 1°, trouver la longueur
Àa & Ax de l'axe, le second foyer fou 0, & le raport de l'axe
Aa à la distance Ff des foyers,& de Aa à FQ; 2°, aprés l'avoir
partagé au milieu K dans l’ellipse, & k dans l'hyperbole, il
faut trouver la ligne OK & Ok. Puisque le point a appartient
à la courbe, . ÄF :: Oa . aF; en divisant, 0A - AF .
AF :: 0a — a F=OF.aF; or les trois premiers termes
0A AF, AF, & OF sont connus : on trouvera donc
le quatrième aF, & y joignant AF, la grandeur de l'axe sera
connue ; & faisant af = AF, l'on aura le second foyer f; &
comme 0 A surpasse A F, af est positive & se trouve du
même côté que A par raport à 0. Dans l'hyperbole l'on
trouvera OA-AF. AF:: - OF.-aF; & comme OA
est moindre que AF, a F est négative, & doit être prise en
allant vers la gauche de F à a. On prendra aussi =AF,
& q sera le second foyer de l'hyperbole, & Aa sera son
grand axe.

Pour trouver le raport de Aad Ff, l'on a déja Oa .af .'
OA. AF, en faisant le changement alterne, Oa .O A::aF.
AF, en divisant Oa —OA= Aa.OA :: aF - AF=Ff.
AF; donc Aa. Ff:: 0 A. AF: dans l'hyperbole on trou-
vera 0 a + OA= Aa0A :: aF + AF = FQ. AF; par
consequent Ar. FR:: 0 A. AF.

Pour trouver la valeur de KO ou ko, foit Aa ou Aa=a,
Ff ou FQ =f. On fera cette proportion pour l’ellipse,
KF(A). KALE):: AF(Q-if).OA=

I da I af

/f Ааа


ainsi KO=0A + AK =

- 1 af + i af
f

af
Dans l'hyperbole on aura kF (S).kAla): AF=kF
kA Gf -- ļa). OA=

af - iaa

& ko= kA

f
I af iaf + jaa 1 aa
DA=

L'on remarquera
// 好

Aaa
que KO & ko= donnant cette proportion KF &
kF(f). KA & kA (a) :: KA.& kA (a). KO &
), la ligne OH est tangente* au point H où est *386.398,

ССcc ij

aa

If

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da

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aa 4

if

BC,

l'ordonnée FH au foyer F. Ces choses supposées, on trouvera l'équation de la courbe de la maniere suivante.

Soit KB ou kB = x, BC=Y, KA ou kA=ļa, KF ou kF = f, OB = KO KB dans l’ellipse; & dans

aa l'hyperbole kB-ko=+ +x. FB (dans l’ellipse)

/f =KF KB; (dans l'hyperbole) = kB - kF=+if I x. Or les triangles semblables O AG, OBD, donnent OA . AG :: OB. BD=FC par la construction ; mais O A. AG :: Aa, ou (Adla. {Ff ou { Fo (f); ainsi į a. If :: OB ( + +x). BD ou FC=+ļa IX. Maintenant dans le triangle rectangle FBC, FC? FB? = c'est à dire Laa fx + ffuxiff+fx --- xx=yy, qui se réduit à FM-a. yy=

= xx – 1 ai , qui est l'équation de l'hyperbole, parceque FR (f) surpasse Ad(a): mais dans l’ellipse où Aala) surpasse Ff(f), il faut transposer les membres de l'équation , & l'on aura wafiyy= aa xx, qui est l'équation à l’ellipse. Dans l'une & dans l'autre si l'on prend, 1°, une ligne a

Vai ff =VÃa’ – Ff' =V2AF x 2a F dans l'ellipse, SVFR? Ad' = V2AF X 24 F dans l'hyperpole, d sera le second axe, & l'on aura syy = 7xx + aa. 2°. Si l'on fait a..::d.=p, p sera le parametre du grand axe, & l'équation sera yy=* xx +1 a.

COROLL AIRE I. 419.

La somme FC+fc des deux lignes menées des deux F G XXIII. foyers F,f à un point quelconque C de l’ellipse, est égale à & XXV. l'axe Aa, & la difference QC - FC des deux lignes menées

des deux foyers à un point c de l'hyperbole, est égale à l'axe Ad.

DEMONSTRATION. Si l'on prend dans l’ellipse Kb=KB, qu’on mene bcd & Fc, ces deux lignes sont égales par la construction. Et comme Kb=KB, be est aussi égale à BC ; ainsi les triangles rectangles fBC, Fbc sont égaux, & Fc=fC. On prouvera de même dans l'hyperbole, en supposant kB= kB, que qc=Fx ;

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