ainfi il faut démontrer que FC Fc Aa; & que Fx I aa - .f:0B(na FC=a. De même OA. AG :: a. f :: Ob Laa +x). bd = Fca. Donc FC+ Fc, ou FC +fCa⇒ Aa. On fera les mêmes proportions pour l'hyperbole OA. AG N α & XXV. 420. On déduit de cette proprieté la maniere ordinaire de dé- Fr.XXIIIcrire l'ellipfe & l'hyperbole, l'axe Aa ou A a étant donné, & les points F, f, ou F, o des foyers étant auffi donnés : en prenant dans l'ellipfe avec le compas un fegment quelconque AB de l'axe Aa, & du foyer F pour centre avec ce rayon AB tirant un arc de cercle, & décrivant enfuite de l'autre foyer f pour centre un autre arc avec l'autre fegment Ba pour rayon, l'interfection des deux arcs C fera un point de l'ellipfe, de même dans l'hyperbole décrivant un arc du centre Favec le fegment quelconque AB de l'axe aA prolongé, & enfuite de l'autre foyer pour centre décrivant avec l'autre segment & B de l'axe a A prolongé un fecond arc, le point d'intersection C de ces deux arcs fera un point de l'hyperbole. I COROLLAIRE I I. 421. Si l'on mene des foyers F, ƒ par un point quelconque C de Fic. XXV, l'ellipfe, les lignes FC, FC, & ayant prolongé fC en M en faifant CM CF, on tire F M, enfuite partageant FM qui eft la base du triangle ifocele FCM en deux moitiés en Z, on tire CLS, qui eft perpendiculaire à FM, elle fera la tangente au point C. CC c c iii 3 * DEMONSTRATION. IL faut mener ZN parallele à Ff, & par le centre K tirer KN qui fera auffi parallele à FLM; car LN partageant MF en deux parties égales en L, partage auffi Mfen deux parties égales en N; ainfi KN, partageant Ff en deux parties égales en K, & fM en deux parties égales en N, eft parallele à FM. Mais puifque Mf=FC+Cf=Aa (a), MN 419. NF = {a,CN* — f, LN eft la moitié de Ff; ainsi LN=f. Soit SB=s, les deux triangles femblables CLN CSƒ donnent cette proportion CN(). CF (+ža) :: LN (}ƒ). Sƒ={ƒ+aa retranchant Bƒ(±ƒ +x ) de Sf, 385. l'on aura SB(s)= de l'ellipfe. I x fx a 2. qui eft * la foutangente D'où il eft évident que les angles FCS, fCs font égaux. COROLLAIRE III.. 422. Si l'on mene des foyers F, de l'hyperbole à un point FIG.XXVI. quelconque C, les lignes FC, C, & ayant pris CM=CF, & mené F M, on tire CZS par le milieu L de FM base du triangle ifocele FCM, CLS eft la tangente au point C.. * 419. DEMONSTRATION. fx fx AYANT mené par Z milieu de MF, LN parallele à Fko, & tiré kN qui fera parallele à MF, il eft évident, comme dans le fecond Corollaire, que MQ=aA=a, NL = kF = 1⁄2f, CM= CF-a, ainfi CN=f, 4C = £x +a. Soit SB=s, les triangles femblables CNL, COS donneront cette proportion CN().Co (+ža) :: NL({ƒ) =x-s; ôtant ok (f) de os, l'on aura *398. kS= 423. 4 aa aa x a — kB — SB — x-s, qui est* la valeur de kS, c'est à dire la distance du centre k au point S de la foutangente. Il est évident que les angles CS, FCS font égaux. Methode generale de décrire les courbes algebriques en trouvant 424. 1°.IL faut d'abord tirer les lignes des coordonnées qui axes, & qui faffent entr'elles l'angle qu'on voudra, fi l'on veut qu'elles REMARQUE. 425. QUAND ya plufieurs valeurs pofitives, la courbe a plufieurs branches du côté où l'on a fuppofé les y pofitives: quand y a des valeurs négatives, il faut les tirer du côté des y négatives. Quand on trouve que la valeur de y est zero, c'eft une marque que la courbe joint le diametre des x à l'endroit de la valeur de x qui a donné y= 0; quand on trouve des valeurs imaginaires, c'est une marque qu'il n'y a aucune partie de la courbe fur la partie du diametre à qui conviennent ces valeurs imaginaires de y, comme on le trouve dans l'hyperbole, n'y ayant aucune partie de la courbe fur l'axe . ni fur fes premiers diametres, & les hyperboles oppofées commençant chacune aux extremités de l'axe ou de chacun des premiers diametres. Quand en prenant ia, -3a, &c. pour les valeurs déterminées des x, on trouve L'énoncé de cette methode paroît affez clair pour la faire clairement concevoir. A PROBLEME VII. 426. QUAND on a l'équation d'une courbe, par exemple de quelqu'une des trois fections coniques par raport à l'un de fes diametres, trouver l'équation qui exprime le raport des points de la même courbe à une autre ligne droite donnée de pofition fur le même plan. LES équations des fections coniques par raport à leurs diametres étant difpofées de façon que zero en foit le fecond membre, font: yy—px=0, équation à la parabole. d {yy + xx - 4 ddo, équation à l'ellipfe par raport à fon premier diametre, ou bien yy + xx - ·dp: = 0. — xx + yy — 4 dd = o, équation à l'ellipfe par raport à fon second diametre, ou bien xxyy - 4♪7 = 0; & quand 1 le diametre est égal au parametre, elle devient xx + y y - dd: =o, qui eft l'équation au cercle, quand les y font perpendiculaires aux x. I #yy - xx + dd =o, équation à l'hyperbole par raport à fon premier diametre, ou bien yy-xx+dpo; quand P, elle devient yy- - xx + 1dd = 0. d - xx — yy — — ♪♪o, équation à l'hyperbole par raport à fon fecond diametre, ou bien xx-yy- - 4♪=0;quand ♪d, elle devient xx- ᏤᏤ -4dd = 0. On remarquera dans ces équations, 1o, que peft le parametre du premier diametre, d'eft le premier diametre, est le parametre du second diametre, eft le fecond diametre: dans l'ellipfe & dans l'hyperbole on prend l'origine des FIG.XVI. Coupées x au centre K ; mais dans la parabole Porigine XVII. des x eft au fommet A. 2°. Que dans l'équation à la parabole XVIII. l'une des inconnues eft élevée au quarré, & l'autre n'est que lineaire ; 173 font xy-abo, ou xy 427. AYAN POUR LA PARABOLE. YANT l'équation yy-pxo de la parabole AC par FIG. XXVII, raport à fon diametre AB, fur lequel font les AB(x), fon parametre eft AP = p, les ordonnées font BC (y) faifant l'angle donné C BA avec le diametre BA; trouver l'équation à la même parabole AC par raport à la ligne droite ON donnée de pofition fur le même plan, dont l'origine eft O. par Il faut mener par O la ligne OZM parallele à AB, tirer le fommet A la ligne AL parallele aux ordonnées BC, prolonger l'ordonnée CB jufqu'à la ligne ON, & elle coupera OLM en M; prendre fur ON une ligne déterminée OF qu'on nommera f, élever FG parallele aux ordonnées NC, & on nommera la ligne connue FG (g); elle déterminera OG qu'on nommerah: toutes les autres lignes de la. figure 27 font ici inutiles. On fuppofera ON= NC=2, la donnée AL=1, & la donnée LOi, les triangles femblables OG F, O M N donnent O F (f). ON (u) :: FG (g) NM=u; & OF (f). ON (u): OG(h). OM=u; l'on aura donc BCNC-NM-MB-u — 1, &. OM — OL=/u-i. Cela fuppofé; AB - Il faut mettre dans l'équation yy - px = o le quarré de la valeur de BC à la place de yy, & la valeur de AB à la place de x ; & l'on aura zz — 23 uz — 2lz + 251 uu+u+ll=σ.. ·u + ip C'est l'équation à la même parabole AC par raport à la ligne ON. DD dd |