Imágenes de páginas
PDF
EPUB
[ocr errors]
[ocr errors]

[ocr errors]

ainsi il faut démontrer que FC + FC=Aa; & que FX
- Ad::(

1f

*.
FC=1a - F. De même OA.AG :: 1a. f:: 06

+ x).bd=Fc=ia to feat. Donc FC + Fc, ou FC
-

fx
If
+fC=a= Aa.

On fera les mêmes proportions pour l'hyperbole 0 A. AG
::ļa. f:: OB( *- F). BD=FC=. OA
· AG :: a. f :: OB(+

daa

f):8d=$C = **+ ļa. Donc QC - FC =a= A&.

аа

[ocr errors]

.

[ocr errors]

& XXV.

REMARQUE.
l'on donne la description ordinaire de l'ellipse

e de l'hyperbole.
420. On déduit de cette proprieté la maniere ordinaire de dé- Ftc.XXIII.

crire l’ellipse & l'hyperbole, l'axe Aa ou A a étant donné,
& les points F, f, ou F, Q des foyers étant aussi donnés : en
prenant dans l’ellipse avec le compas un segment quelconque

A B de l'axe Aa, & du foyer F pour centre avec ce rayon
AB tirant un arc de cercle, & décrivant ensuite de l'autre
foyer fpour centre un autre arc avec l'autre segment Ba pour
rayon, l'intersection des deux arcs C sera un point de l'el-
lipse; de même dans l'hyperbole décrivant un arc du centre
F avec le segment quelconque AB de l'axe a A prolongé,
& ensuite de l'autre foyer © pour centre décrivant avec
l'autre segment a B de l'axe a À prolongé un second arc, le
point d'intersection de ces deux arcs sera un point de l'hy-
perbole.

COROLL AIR E I I.
421. Si l'on mene des foyers F,f par un point quelconque C de Fic. XXV,

l’ellipse, les lignes FC, FC, & ayant prolongé fc en M en fai-
sant*c M=CF, on tire FM, ensuite partageant FM qui
est la base du triangle isocele FCM en deux moitiés en L, on
tire CLS, qui est perpendiculaire à FM, elle sera la tangente
au point C.

ССcc iii

CM

[ocr errors][ocr errors][merged small]

DEMONSTRATION.
Il faut mener LN parallele à Ff, & par le centre K tirer
KN qui sera aussi parallele à FLM; car LN partageant MF
en deux parties égales en L, partage aussi Mfen deux

parties égales en N; ainsi KN, partageant Ff en deux parties égales en K, & fm en deux parties égales en N, est parallele

à FM. Mais puisque Mf=Fc+ Cf= Aala), MN 419. = NF=ļa, CN*=fL N est la moitié de Ff; ainsi

LN
ZN=if. Soit SB =s, les deux triangles semblables CLN
Csf donnent cette proportion CN1.CF ( + ļa) ::
IN(f).Sf=iftaa
)

retranchant Bfl f + x) de Sf, *385. l'on aura SB(s)=

į aa

qui est * la soutangente de l’ellipse. D'où il est évident que les angles FCS, fCs sont égaux.

COROLLA IRE II I.. 422. Si l'on mene des foyers F, Q de l'hyperbole à un point 116.XXVI. quelconque C, les lignes FC, °C, & ayant pris CM=CF,

&mené FM, on tire CLS par le milieu L de FM base du

*
triangle iocell FCM , CLS et la tangente au point C.

[ocr errors]

da

Xx

* 419.

fx

fx

[ocr errors]

DEMONSTRATION. YANT mené par L milieu de MF, LN parallele à Fkq, & tiré k N qui sera parallele à MF, il est évident, comme dans le second Corollaire, que MQ=aA=a, NL:

=

kF if, CM=CF=- ļa*, ainsi CN=6,0C = x +ja. Soit SB=s, les triangles semblables CNL, COS donneront cette proportion CN). COC+ja)::NLES) :PS=if+

*s; ôtant ok (f) de os, l'on aura

aa *398. ksa

=kB SB=x-s, qui est* la valeur de ks, c'est à dire la distance du centre k au point s de la soutan

gente. 4230

Il est évident que les angles QCS, FCS sont égayx.

da 4

X

[ocr errors]

L

que les

les regles

Methode generale de décrire les courbes algebriques en trouvant
tant de points qu'on voudra de ces courbes tres proches les uns

des autres, l'équation de la courbe étant donnée.
424. 1°. Il faut d'abord tirer les lignes des coordonnées, qui

soient perpendiculaires, si l'on veut que ce soient les axes, &
qui fassent entr'elles l'angle qu'on voudra, si l'on veut qu'elles
soient d'autres diametres que axes; il faudra prendre les
coupées ou les x sur l'une, & les ordonnées y seront paral-

у
leles à l'autre. 2. Aprés avoir déterminé le point où com-
mencent les coupées x, il faut se servir de l'équation de la
courbe , & supposer celle des deux inconnues, qui monte au
plus haut degré ( on suppose par exemple que c'est x) égale
à une grandeur connue tres petite, qu'on nommera ia ; sub-
ftituer cette grandeur connue dans l'équation de la courbe
à la place de x, & l'équation deviendra déterminée , &
n'aura d'inconnue que y. 3°. Il faut trouver les lignes qui sont
les valeurs de y, en résolvant cette équation par
qu’on a données * quand l'équation ne parle pas le second * 293 &

a
degré, & par celles qu’on donnera dans la suite quand elle 294.
palle le second degré : & aprés avoir pris une coupée depuis
l'origine des x égale à la, on menera par son extremite une

ia
parallele à la seconde des lignes coordonnées qu’on fera
égale à la valeur de y qu’on vient de trouver, & son extre-
mité sera un point de la courbe qu'on veut décrire. On
trouvera de même une seconde ordonnée y en mettant 2a à

9
la place de x, une troisiéme en y mettant 3a, & ainsi de suite;
& l'on aura à tres peu près la courbe qu'on vouloit tracer.

REMARQUE.
425. Quand y a plusieurs valeurs positives, la courbe a plu-

, .
sieurs branches du côté où l'on a supposé les y positives :
quand y a des valeurs négatives, il faut les tirer du côté
des
y négatives. Quand on

trouve que la valeur de y est zero,
c'est une marque que la courbe joint le diametre des x à l'en-
droit de la valeur de x qui a donné y=0; quand on trouve
des valeurs imaginaires, c'est une marque qu'il n'y a aucune
partie de la courbe sur la partie du diametre à qui convien-
nent ces valeurs imaginaires de y, comme on le trouve dans
l'hyperbole, n'y ayant aucune partie de la courbe sur l'axe

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

a

X

7

la

[ocr errors]
[ocr errors]

ni sur ses premiers diametres , & les hyperboles opposées commençant chacune aux extremités de l'axe ou de chacun des premiers diametres. Quand en prenant -1a, - 21, — 3a, &c. pour les valeurs déterminées des x, on trouve

3а des valeurs dey, il faut mettre ces ordonnées y du côté des x négatives.

L'énoncé de cette methode paroît assez clair pour la faire: clairement concevoir.

.

PROBLEME VII. 426. QUAND

UAND on a l'équation d'une courbe , par exemple de quelqu'une des trois feétions coniques par raport à l'un de ses diametres y trouver l'équation qui exprime le raport des points de la même courbe à une autre ligne droite donnée de position sur le même plan. LES

Es équations des sections coniques par raport à leurs diametres étant disposées de façon que zero en soit le second membre, sont :

yy px=0, équation à la parabole.

e yy + xx — Add= 0, équation à l'ellipfe par raport à son premier diametre, ou bien yy + *xx - dp =

2 xx + yy -= 0, équation à l’ellipse par raport à son second diametre, ou bien xx + y - 487 =0; & quand le diametre est égal au parametre , elle devient xx+ yy - Add=

=o, qui est l'équation au cercle, quand les y sont perpendiculaires aux x.

f jy — *x + dd = 0, équation à l'hyperbole par raport à son premier diametre, ou bien yy * *x+dp= 0; quand d = P, elle devient yy ,

-- *x + dd
*x - yy4dd = , équation à l'hyperbole par raport
à fon second diametre, ou bien xx—jyy — 487=0;quand

son
d=a=d, elle devient xx — Wy-

· yy -
On remarquera dans ces équations, 1°, que p est le para-
metre du premier diametre, d'est le premier diametre, 7 est
le parametre du second diametre, s'est le second diametre:

dans l’ellipse & dans l'hyperbole on prend l'origine des Fig.XVI. coupées x au centre K ; mais dans la parabole l'origine XVII. des x est au sommet A. 2°. Que dans l'équation à la parabole XVIII. l'une des inconnues est élevée au quarré, & l'autre n'est que

lineaire ;

0.

d

[ocr errors]
[ocr errors]

P

[ocr errors]
[ocr errors]

xxx

- dd

[ocr errors]
[ocr errors]

X

.

[ocr errors]

XX

[ocr errors]

LA

[ocr errors]
[ocr errors]

lineaire ; dans l’ellipse , elles sont toutes deux élevées au
quarré avec le niême signe +; dans l'hyperbole, les deux
inconnues sont aussi élevées au quarré, mais avec differents
fignes, l'une ayant +, & l'autre 3. Que dans l'équation
à l’ellipfe fid=p, alors d=d, & l'équation devient yy + xx

idd=0, qui est l'équation au cercle, quand les y sont
perpendiculaires aux x ; & quand dans l'équation à l'hyper-
bole d=p, alors d=d, & l'équation devient уу
+ dd=0, qui est l'équation à l'hyperbole équilatere par
raport à ses diametres: il y a + dd, quand c'est le premier
diametre, &-4dd, quand c'est le second.
xy — ab=0, ou xy — aa=o est l'équation à l'hyperbole

-
par raport aux asymptotes, & l'hyperbole est équilatere,
quand l'angle des asymptotes est droit.
POUR

PARA BO LE.
427. Avant l'équation yy — px= o de la parabole AC par Fig. XXVII,

raport à son diametre AB, sur lequel font les AB(+), Ton
parametre est AP

-中,

les ordonnées font BC(y) faisant s'angle donné C B A avec le diametre BA; trouver l'équation à la même parabole AC par raport à la ligne droite ON donnée de position sur le même plan, dont l'origine est o.

Il faut mener par o la ligne OLM parallele à AB, tirer par le sommet A la ligne AL parallele aux ordonnées BC, prolonger l'ordonnée CB jusqu'à la ligne ON, & elle coupera OLM en Mi prendre sur ON une ligne déterminée OF qu'on nommera f, élever FG parallele aux ordonnées. NC, & on nommera la ligne connue FG(8); elle déterminera OG qu'on nommera h: toutes les autres lignes de la figure 27 sont ici inutiles. On supposera ON=u, NC=r,

ke la donnée AL=1, & la donnée Lo=i, les triangles semblables OG F, OM N donnent O FA.ON (u) :: FG (8) NM=_u;&OF (f).ON(u).:: OG(b).OM=u; Pon aura donc BC= NC - NM - MB=- 5-u-1, &. ABOM - OL=u- i. Cela fuppofé ;

Il faut mettre dans l'équation yy px=o le quarré de
la valeur de BC à la place de yy, & la valeur de AB à la place
dex; & l'on aura zz - 2 uz — 2/4 + un + 3${u+ll

Il = 0
F

Ut
- her

- U + ip
C'est l'équation à la même parabole AC par raport à la
ligne On.

DD dd

[ocr errors]

ff

[ocr errors]
« AnteriorContinuar »