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ainfi il faut démontrer que FC Fc Aa; & que Fx

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I

aa

- .f:0B(na
FC = Aa. OA. AG :: 1⁄2 a . ÷ ƒ :: OB ( 4

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FC=a. De même OA. AG :: a. f :: Ob

Laa

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+x). bd = Fca. Donc FC+ Fc, ou FC +fCa⇒ Aa.

On fera les mêmes proportions pour l'hyperbole OA. AG

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N

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α

& XXV.

420. On déduit de cette proprieté la maniere ordinaire de dé- Fr.XXIIIcrire l'ellipfe & l'hyperbole, l'axe Aa ou A a étant donné, & les points F, f, ou F, o des foyers étant auffi donnés : en prenant dans l'ellipfe avec le compas un fegment quelconque AB de l'axe Aa, & du foyer F pour centre avec ce rayon AB tirant un arc de cercle, & décrivant enfuite de l'autre foyer f pour centre un autre arc avec l'autre fegment Ba pour rayon, l'interfection des deux arcs C fera un point de l'ellipfe, de même dans l'hyperbole décrivant un arc du centre Favec le fegment quelconque AB de l'axe aA prolongé, & enfuite de l'autre foyer pour centre décrivant avec l'autre segment & B de l'axe a A prolongé un fecond arc, le point d'intersection C de ces deux arcs fera un point de l'hyperbole.

I

COROLLAIRE I I.

421. Si l'on mene des foyers F, ƒ par un point quelconque C de Fic. XXV, l'ellipfe, les lignes FC, FC, & ayant prolongé fC en M en faifant CM CF, on tire F M, enfuite partageant FM qui eft la base du triangle ifocele FCM en deux moitiés en Z, on tire CLS, qui eft perpendiculaire à FM, elle fera la tangente au point C.

CC c c iii

3

*

DEMONSTRATION.

IL faut mener ZN parallele à Ff, & par le centre K tirer KN qui fera auffi parallele à FLM; car LN partageant MF en deux parties égales en L, partage auffi Mfen deux parties égales en N; ainfi KN, partageant Ff en deux parties égales en K, & fM en deux parties égales en N, eft parallele à FM. Mais puifque Mf=FC+Cf=Aa (a), MN 419. NF = {a,CN* — f, LN eft la moitié de Ff; ainsi LN=f. Soit SB=s, les deux triangles femblables CLN CSƒ donnent cette proportion CN(). CF (+ža) :: LN (}ƒ). Sƒ={ƒ+aa retranchant Bƒ(±ƒ +x ) de Sf,

385. l'on aura SB(s)=

de l'ellipfe.

I

x

fx

a 2.

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qui eft * la foutangente

D'où il eft évident que les angles FCS, fCs font égaux.

COROLLAIRE III..

422. Si l'on mene des foyers F, de l'hyperbole à un point FIG.XXVI. quelconque C, les lignes FC, C, & ayant pris CM=CF, & mené F M, on tire CZS par le milieu L de FM base du triangle ifocele FCM, CLS eft la tangente au point C..

* 419.

DEMONSTRATION.

fx

fx

AYANT mené par Z milieu de MF, LN parallele à Fko, & tiré kN qui fera parallele à MF, il eft évident, comme dans le fecond Corollaire, que MQ=aA=a, NL = kF = 1⁄2f, CM= CF-a, ainfi CN=f, 4C = £x +a. Soit SB=s, les triangles femblables CNL, COS donneront cette proportion CN().Co (+ža) :: NL({ƒ) =x-s; ôtant ok (f) de os, l'on aura

*398. kS=

423.

4

aa
x

aa

x

a

— kB — SB — x-s, qui est* la valeur de kS, c'est à dire la distance du centre k au point S de la foutangente.

Il est évident que les angles CS, FCS font égaux.

Methode generale de décrire les courbes algebriques en trouvant
tant de points qu'on voudra de ces courbes tres proches les uns
des autres, l'équation de la courbe étant donnée.

424. 1°.IL faut d'abord tirer les lignes des coordonnées qui
foient perpendiculaires, fi l'on veut que ce foient les

axes, &

qui faffent entr'elles l'angle qu'on voudra, fi l'on veut qu'elles
foient d'autres diametres que les axes; il faudra prendre les
coupées ou les x fur l'une, & les ordonnées y feront paral-
leles à l'autre. 2°. Aprés avoir déterminé le point où com-
mencent les coupées x, il faut fe fervir de l'équation de la
courbe, & fuppofer celle des deux inconnues qui monte au
plus haut degré (on suppose par exemple que c'est x) égale
à une grandeur connue tres petite, qu'on nommera 1a; fub-
ftituer cette grandeur connue dans l'équation de la courbe
à la place de x, & l'équation deviendra déterminée, &
n'aura d'inconnue quey. 3°. Il faut trouver les lignes qui font
les valeurs de y, en refolvant cette équation par les regles
qu'on a données* quand l'équation ne paffe pas le fecond * 293 &
degré, & par celles qu'on donnera dans la fuite quand elle 294.
passe le fecond degré : & après avoir pris une coupée depuis
l'origine des x égale à 1a, on menera par fon extremité une
parallele à la feconde des lignes coordonnées qu'on fera
égale à la valeur de y qu'on vient de trouver, & fon extre-
mité fera un point de la courbe qu'on veut décrire. On
trouvera de même une feconde ordonnée y en mettant 2a à
la place de x, une troifiéme en y mettant 3a, & ainfi de fuite;
& l'on aura à tres peu près la courbe qu'on vouloit tracer.

REMARQUE.

425. QUAND ya plufieurs valeurs pofitives, la courbe a plufieurs branches du côté où l'on a fuppofé les y pofitives: quand y a des valeurs négatives, il faut les tirer du côté des y négatives. Quand on trouve que la valeur de y est zero, c'eft une marque que la courbe joint le diametre des x à l'endroit de la valeur de x qui a donné y= 0; quand on trouve des valeurs imaginaires, c'est une marque qu'il n'y a aucune partie de la courbe fur la partie du diametre à qui conviennent ces valeurs imaginaires de y, comme on le trouve dans l'hyperbole, n'y ayant aucune partie de la courbe fur l'axe

.

ni fur fes premiers diametres, & les hyperboles oppofées commençant chacune aux extremités de l'axe ou de chacun des premiers diametres. Quand en prenant

ia,

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-3a, &c. pour les valeurs déterminées des x, on trouve
за,
des valeurs dey, il faut mettre ces ordonnées y du côté des x
négatives.

L'énoncé de cette methode paroît affez clair pour la faire clairement concevoir.

A

PROBLEME VII.

426. QUAND on a l'équation d'une courbe, par exemple de quelqu'une des trois fections coniques par raport à l'un de fes diametres, trouver l'équation qui exprime le raport des points de la même courbe à une autre ligne droite donnée de pofition fur le même plan. LES équations des fections coniques par raport à leurs diametres étant difpofées de façon que zero en foit le fecond membre, font:

yy—px=0, équation à la parabole.

d

{yy + xx - 4 ddo, équation à l'ellipfe par raport à fon premier diametre, ou bien yy + xx - ·dp: = 0.

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— xx + yy — 4 dd = o, équation à l'ellipfe par raport à fon second diametre, ou bien xxyy - 4♪7 = 0; & quand 1 le diametre est égal au parametre, elle devient xx + y y - dd: =o, qui eft l'équation au cercle, quand les y font perpendiculaires aux x.

I

#yy - xx + dd =o, équation à l'hyperbole par raport à fon premier diametre, ou bien yy-xx+dpo; quand P, elle devient yy- - xx + 1dd = 0.

d

- xx — yy — — ♪♪o, équation à l'hyperbole par raport à fon fecond diametre, ou bien xx-yy- - 4♪=0;quand ♪d, elle devient xx- ᏤᏤ

-4dd

= 0.

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On remarquera dans ces équations, 1o, que peft le parametre du premier diametre, d'eft le premier diametre, est le parametre du second diametre, eft le fecond diametre: dans l'ellipfe & dans l'hyperbole on prend l'origine des FIG.XVI. Coupées x au centre K ; mais dans la parabole Porigine XVII. des x eft au fommet A. 2°. Que dans l'équation à la parabole XVIII. l'une des inconnues eft élevée au quarré, & l'autre n'est que

lineaire ;

173
lineaire; dans l'ellipfe, elles font toutes deux élevées au
quarré avec le même figne+; dans l'hyperbole, les deux
inconnues font auffi élevées au quarré, mais avec differents
fignes, l'une ayant +,
& l'autre. 3°. Que dans l'équation
à l'ellipfe fid= p, alors d=♪, & l'équation devient yy + xx
— ddo, qui eft l'équation au cercle, quand les y
perpendiculaires aux x; & quand dans l'équation à l'hyper-
bole dp, alors d♪, & l'équation devient yy -xx
+4dd = 0, qui eft l'équation à l'hyperbole équilatere par
raport à fes diametres: il y add, quand c'eft le premier
diametre, & — 4 dd, quand c'est le second.

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font

xy-abo, ou xy
=0, ou xy — aa—o eft l'équation à l'hyperbole
par raport aux afymptotes, & l'hyperbole eft équilatere,
quand l'angle des afymptotes eft droit.

427. AYAN

POUR LA PARABOLE.

YANT l'équation yy-pxo de la parabole AC par FIG. XXVII, raport à fon diametre AB, fur lequel font les AB(x), fon parametre eft AP = p, les ordonnées font BC (y) faifant l'angle donné C BA avec le diametre BA; trouver l'équation à la même parabole AC par raport à la ligne droite ON donnée de pofition fur le même plan, dont l'origine eft O.

par

Il faut mener par O la ligne OZM parallele à AB, tirer le fommet A la ligne AL parallele aux ordonnées BC, prolonger l'ordonnée CB jufqu'à la ligne ON, & elle coupera OLM en M; prendre fur ON une ligne déterminée OF qu'on nommera f, élever FG parallele aux ordonnées NC, & on nommera la ligne connue FG (g); elle déterminera OG qu'on nommerah: toutes les autres lignes de la. figure 27 font ici inutiles. On fuppofera ON= NC=2, la donnée AL=1, & la donnée LOi, les triangles femblables OG F, O M N donnent O F (f). ON (u) :: FG (g) NM=u; & OF (f). ON (u): OG(h). OM=u; l'on aura donc BCNC-NM-MB-u — 1, &. OM — OL=/u-i. Cela fuppofé;

AB

-

Il faut mettre dans l'équation yy - px = o le quarré de la valeur de BC à la place de yy, & la valeur de AB à la place de x ; & l'on aura zz — 23 uz — 2lz +

251

uu+u+ll=σ..

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·u + ip

C'est l'équation à la même parabole AC par raport à la

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ligne ON.

DD dd

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