Imágenes de páginas
PDF
EPUB
[ocr errors]

REMARQU E. 428. On remarquera que le coeficient , qui multiplie le terme

ay, est toujours égal au quarré de la moitié du coeficient, qui multiplie uz, & qu'ils doivent avoir des signes differens ; Pexpression même le fait ici connoître : mais dans tous les cas où l'expression ne le fait pas connoître, il n'est pas moins necessaire que

cela se trouve ; autrement l'équation ne seroit pas à la parabole; en voici la raison : Pour réduire l'équation precedente qui est à la ligne ON differente du diametre AB à l'équation yy-px=0, qui est l'équation simple au diametre AB, il faudroit faire évanouir les termes où z est lineaire, en supposant l'ordonnée BC(y) =*-*u — ou y +u+1=2; & il faut en même temps que le quarré uu de la féconde inconnue u s'évanouisse; or cela ne sçauroit le faire, comme on le peut voir en faisant soi-même l'operation, que le coeficient qui multiplie uu, ne soit égal au quarré de la moitié du coeficient qui multiplie uz, & que ces coeficients n'ayent des signes differens.

Pour l'hyperbole par raport à son premier diametre. 429. Ayant l'équation yy -xx+4dp=o de l'hyperbole F16. XXVII. AC par raport à son premier diametre Aa=d, sur lequel

sont prises les coupées K B = x depuis le centre K, son parametre est AP=p, les ordonnées sont BC =ý faisant l'angle donné CB A avec le diametre prolongé a A; trouver l'équation de la même hyperbole par raport à la ligne droite donnée de position sur le même plan, dont l'origine est le point fixe o.

Il faut mener par 0 la ligne OM parallele au diametre a AB, prolonger l'ordonnée CB en N qui coupera ALM en M , tirer par le sommet A la ligne AL parallele aux ordonnées NC, prendre sur ON la ligne déterminée arbitraire OF qu'on nommeraf, élever FG qu'on nommera g parallele aux ordonnées, elle déterminera OG qu'on nommera h; on menera aussi Oim par o parallele aux ordonnées NC; toutes les autres lignes de la figure 27 sont ici inutiles: on fupposera ON=U, NC =; les données AL=BM=1,01= Ki =i; les triangles semblables OGF, OMN donnent comme ci-deslus NM=5,0M=žu; ainsi l'on a l'ordonnés

BC=-u-, KB=OM-0=iB-iK=*;
cela supposé,
Il faut mettre dans l'équation yy — xx+ dp =

xx+idp=0, au
lieu de BC (y), sa valeur 2 - $u-b; & au lieu de KB (*)
fa valeur u —

i; & l'on aura
*-*uz — 212 +*uu + 251 4 + 1l = 0.

herheiu u + while

+ 一些

+ dp

XX

C'est l'équation à la même hyperbole AC par raport à la
ligne ON differente du diametre A Ka.

Pour l'hyperbole par raport à fon second diametre. 430. DKd (d) est le second diametre de l'hyperbole AC, DP(7) FIG. XXVII.

est son parametre, BC est l'ordonnée (x), KB(Y) = BC eft
la coupée; & l'équation par raport à ce second diametre est

yy — 487=o. Il faut trouver l'équation à la même
hyperbole par raport à la ligne On sur le même plan, dont
est l'origine.
Il faut

mener par o la ligne O im parallele au second dia-
metre qui rencontre le premier diametre Aa en i, & l'ordon-
née 2C en m; il faut prendre Of d'une grandeur donnée qu'on
nommeraf, mener fe qu'on nommera g parallele à Aa; elle
déterminera Og qu'on nommera h; les autres lignes de la
figure 27 lont ici inutiles : on supposera On=u, nC=k,
Ki=mb=l, & Oi=i, & l'on aura comme dans les cas
precedens nm= { u, Om= l8 = 4, 4C=x-4
& KB=BC= u -- i; cela fupposé,

On substituera dans xx — Fyy - 1=, au lieu de
x= C, la valeur de BC= $u-l; & à la place de KB
ou BC(y) la valeur de KB = 14 - ; ; & l'on aura

22 -*uz — 212 + U1 + 231 2 + 11

ܨܐ.

[ocr errors]

bha dff

FF

2! in Uu+ - tl

of

-0

C'est l'équation par raport à la ligne On differente du second
diametre Dd; & elle ne differe de la precedente, qu'en ce
que — 417 a ici le signe.

DDdd ij

[ocr errors]

43 2.

RIMAR QU E 5.

I. 431. Dans l'hyperbole équilatere où d=-=p=", l'équa

tion du premier & du second diametre devient par raport à la ligne ON ou On, 42—3-12— 212 + uu + Lu+ll=o.

Huu + zinu - ii

+ dd Il y a + dd quand c'est le premier diametre, &- ide quand c'est le second diametre.

II. Comme les quarrés des deux inconnues doivent se trouver sous differens signes dans l'équation à l'hyperbole par raport à ses diametres ; il faut que le coeficient habit qui multiplie uu foit moindre que le quarré de la moitié du coeficient — 1, qui multiplie uz dans les cas même où l'expression ne le fait pas voir d'abord comme ici; autrement l'équation ne seroit

pas

à l'hyperbole.

Pour l'hyperbole par raport aux asymptotes. 433•

AYANT
YANT l'équation xy - ab

ab= o de l'hyperbole cPC par fle. XXVIII, raport aux asymptotes KB (sur laquelle font prises les

x=KB ) & Kb à laquelle sont paralleles les
KR=a, & QP=b; trouver l'équation de la même hyper-
bole par raport à la ligne ON donnée de position sur le même
plan dont l'origine est le point fixe 0.

Il faut mener OM parallele à KB, prolonger CB jusqu'en N qui rencontrera o M en M; mener par o la ligne oL parallele à CN, qui rencontrera BK prolongée au point L; prendre Of d'une grandeur déterminée qu'on nommera f, člever FG, qu'on nommera g parallele à CN; elle déterminera OG qu'on nommera h; on supposera ensuite les données KL=i,OL=1, & les inconnues ON=u,NC=, l'on aura comme dans les cas précedens NM=U, OM =u, BC=-*-, KB=LB ou OM-KL= ** mi; cela supposé,

Il faut substituer dans xy -- ab=0, au lieu de x( KB) & dey (BC), les valeurs de KB=umi, & de BC=&

[ocr errors]
[ocr errors]

BC,

&

braniul& l'on aura aprés avoir multiplié tous les termes
par , uz #x- _ us — iu +

· = -+ 0;

+ Lu - abf
c'est l'équation de l'hyperbole entre les asymptotes par ra-
port à la ligne droite ON differente des asymptotes.

Pou R L'ELLI P S E, 434. Avant l'équation yy +£x*—-idp=0 de l’ellipse par Fig. XXIX

raport à son premier ou second diametre Aa=d(il n'im-
porte pas ) dont le parametre est AP=P, les coupées sont
KB=x, les ordonnées BC=y; trouver l'équation de la
même ellipse par raport à une ligne droite ON donnée de
position sur le même plan dont l'origine est le point fixe 0.

Il faut mener par 0,om parallele au diametre Aa, pro-
longer C B en N qui rencontrera C M en M; mener par 0,
OL parallele à CN; prendre une ligne déterminée of qu'on
nommera f; élever FG qu'on nommera g parallele à Nc, elle
déterminera OG qu'on nommera h; on supposera aussi OL
=BM=1, KL=i,ON=u,& NC=%& l'on aura
BC=-{-1, & KB=LB ou OM-KL=u-.
Cela supposé,

On substituera dans yy + 1 xx - dp=0, à la place de
BC(y), sa valeur qu-l; & à la place de KB(x) la
valeur - u - i, & l'on aura
K-404 212 + 24 + 24u+ll = 0;

+ i

- dp
c'est l'équation de l’ellipse par raport à la ligne ON diffe-
rente du diametre Aq.
Remarques sur l'équation précedente

I. 435.

Comme les quarrés des deux inconnues doivent être dans
l'équation à l’ellipse sous le même signe, le coeficient
+ hinter qui multiplie uu doit toujours surpasser ( quand mênie
l'expression ne le feroit pas voir comme ici) le quarré de la
moitié du coeficient 4.

DD dd iij

bhp
AF
uu

2hip

ता

II.
l'on fait voir la maniere de trouver l'équation du cercle par

raport à une ligne differente de fon diametre. 436.

Quand dans l'équation de l’ellipse d=p, & que l'angle F16. XXIX. des ordonnées avec le diametre est droit , l'équation de

l’ellipse devient celle du cercle, & alors l'angle OMN étant droit, OF? (ff) = FG* (88) + OF? (hh); ainsi mettant au lieu de hh sa valeur ff 83; & dà la place de p, l'équation devient un — 212 + uu + 21 + = 0;

2014 + ii

- 1/2 dd c'est l'équation du cercle par raport à la ligne ON differente du diametre Aa.

S'il n'y avoit que la ligne OGM parallele au diametre Aa, & que l'angle MON fût nul; alors OF (f) devient OG(b), & FG(8) devient zero ; par consequent l'équation prece dente au cercle devient - 212 + 14 - 211 + 1l = 0.

+ ii

- dd

XXIX.

Remarques generales sur tout le Problème précedent,

& sur ses usages.

1. 437. QUAND

UAND au lieu de l'équation par raport à une ligne FIG XXVII. droite on, qui est oblique par raport au diametre des XXVII, sections coniques, on veut l'équation par raport à une ligne droite O M parallele au diametre Aa; il est evident

que

dans ce cas, FG(3) devient égale à zero, que OF (F) & OG(h) deviennent la même ligne ; ainsi dans les équations précedentes il n'y aura qu'à effacer toutes les grandeurs où le trouve g comme étant zero, & faire partout f=h, & les équations deviendront celles que l'on demande.

II. D'où l'on voit que quand le terme uz manque dans une équation aux sections coniques, & que cependant il y a outre les quarrés 22, uu, des termes où z & u font lineaires, c'est une marque certaine que la ligne O M à laquelle l'équation marque le raport, est parallele au premier diametre Aa ou

438.

« AnteriorContinuar »