་ REMARQUE. 428. ON remarquera que le coeficient qui multiplie le terme ay, eft toujours égal au quarré de la moitié du coéficient, qui multiplie uz, & qu'ils doivent avoir des fignes differens; l'expreffion même le fait ici connoître : mais dans tous les cas où l'expreffion ne le fait pas connoître, il n'est pas moins neceffaire que cela fe trouve; autrement l'équation ne feroit pas à la parabole; en voici la raison : Pour réduire l'équation précedente qui eft à la ligne ON differente du diametre AB à l'équation yy -pxo, qui eft l'équation fimple au diametre AB, il faudroit faire évanouir les termes où z eft ༢. lineaire, en supposant l'ordonnée BC ( y ) — z — ÷ u — l, ou y +u+l=2; & il faut en même temps que le quarré uu de la feconde inconnue u s'évanouiffe, or cela ne fçauroit fe faire, comme on le peut voir en faifant foi-même l'operation, que le coeficient qui multiplie uu, ne foit égal au quarré de la moitié du coeficient qui multiplie uz, & que ces coéficients n'ayent des fignes differens. fon pa Pour l'hyperbole par raport à fon premier diametre. 429. AYA: YANT l'équation yy - xx+dp: Ixx + 1 dpo de l'hyperbole FIG, XXVII. AC par raport à fon premier diametre Aa d, fur lequel font prifes les coupées KB = x depuis le centre K, fon rametre eft APp, les ordonnées font BC=y faifant l'angle donné CBA avec le diametre prolongé a A; trouver l'équation de la même hyperbole par raport à la ligne droite ON donnée de pofition fur le même plan, dont l'origine eft le point fixe O. Il faut mener par O la ligne OM parallele au diametre aAB, prolonger l'ordonnée CB en Ñ qui coupera ALM en M, tirer par le fommet A la ligne AL parallele aux ordonnées NC, prendre fur ON la ligne déterminée arbitraire OF qu'on nommera f, élever FG qu'on nommera g parallele aux ordonnées, elle déterminera OG qu'on nommera h; on menera auffi Oim par O parallele aux ordonnées NC; toutes les autres lignes de la figure 27 font ici inutiles: on fuppofera ON=u, NC=2; les données AL = BM=1,0l = Ki =i; les triangles femblables OGF, OMN donnent comme ci-dessus NM = u, 0 M➡u; ainsi l'on a l'ordonnée 430. 575 BC—2—}u—l, KB=0M―ol—iB—iK=fu—i; Il faut mettre dans l'équation yy -1xx + 1 dp = 0, au ༢.་ 83 u — l; & au lieu de KB (x), • affu u + zhipu — iip O. C'eft l'équation à la même hyperbole AC par raport à la Pour l'hyperbole par raport à fon fecond diametre. DKd (d) eft le fecond diametre de l'hyperbole AC, Dp(π) FIG. XXVII. eft fon parametre, BC eft l'ordonnée (x), KB (y) xx = BC eft la coupée; & l'équation par raport à ce fecond diametre est Il faut mener par O la ligne Oim parallele au fecond dia- & KB =BC On fubftituera dans xx -Fyy - do, au lieu de x=C, la valeur de BC=-u-l; & à la place de K น ou BC (y) la valeur de KB - i ; & l'on aura C'est l'équation par raport à la ligne On differente du fecond que a ici le figne. DD d d ij REMARQUES. I. 431. DANS l'hyperbole équilatere où d = ♪=p=7, l'équation du premier & du fecond diametre devient par raport la ligne ON ou On, zz — 28 uz — 2lz + uu+23u+ll=0. 432. 433. gg ff bb 2hi Fuu → 13u — i i + 1/dd Il y add quand c'est le premier diametre, & — 4 d d quand c'eft le fecond diametre. 83 bbp ff Comme les quarrés des deux inconnues doivent fe trouver fous differens fignes dans l'équation à l'hyperbole par raport à fes diametres; il faut que le coeficient qui multiplie uu foit moindre que le quarré de la moitié du coéficient 23 , qui multiplie uz dans les cas même où l'expreffion ne le fait pas voir d'abord comme ici; autrement l'équation ne feroit pas à l'hyperbole. Pour l'hyperbole par raport aux afymptotes. AYANT YANT l'équation xy abo de l'hyperbole cPC par F16. XXVIII. raport aux afymptotes KB (fur laquelle font prifes les x=KB) & Kb à laquelle font paralleles les y = BC, où KQ=a, & QP=b; trouver l'équation de la même hyperbole par raport à la ligne ON donnée de pofition fur le même plan dont l'origine eft le point fixe 0. Il faut mener OM parallele à KB, prolonger CB jufqu'en N qui rencontrera O M en M; mener par o la ligne OL parallele à CN, qui rencontrera BK prolongée au point Z; prendre OF d'une grandeur déterminée qu'on nommera f, élever FG, qu'on nommera g parallele à CN; elle déterminera OG qu'on nommera h; on fuppofera enfuite les données KL=i, OL= l, & les inconnues ON: =u,NC=%, & l'on aura comme dans les cas précedens NM=u, 0 M =}u, BC=z — } u— l, KB = LB oụ OM—KL=}« -is cela fuppofé, Il faut fubftituer dans xy ➡ab=0, au lieu de x (KB) & dey (BC), les valeurs de KB÷u — }u — i, & de BC = 2 -u-1, & l'on aura après avoir multiplié tous les termes + 31 μ abf u c'est l'équation de l'hyperbole entre les afymptotes par ra POUR L'ELLIPSE. 434. AYANT l'équation yy+xx-dpo de l'ellipfe par FIG. XXIX. raport à fon premier ou fecond diametre Aad (il n'importe pas) dont le parametre eft AP=p, les coupées font KB=x, les ordonnées BC=y; trouver l'équation de la même ellipfe par raport à une ligne droite ON donnée de pofition fur le même plan dont l'origine eft le point fixe 0. 435. Il faut mener par 0, OM parallele au diametre Aa, prolonger CB en N qui rencontrera CM en M; mener par 0, Oz parallele à CN; prendre une ligne déterminée OF qu'on nommera f; élever FG qu'on nommera g parallele à NC, elle déterminera OG qu'on nommera h; on fuppofera auffi OZ =BM=l, KL=i,ON=u, & NC=z, & l'on aura BC=z—fu—l, & KB = LB ou OM— KL➡u—i. Cela fuppofé, ༢, On fubftituera dans yyxx-dpo, à la place de ༢ — ཎྞཾ valeur ju — i, & l'on aura KK — — uz — 2lx +3uu + 2 u+ll=0; c'est l'équation de l'ellipfe par raport à la ligne ON diffe- Remarques fur l'équation précedente I. COMME les quarrés des deux inconnues doivent être dans bhp aff - DD dd iij 436. I I. Où l'on fait voir la maniere de trouver l'équation du cercle par raport à une ligne differente de fon diametre. Quand dans l'équation de l'ellipfe d=p, & que l'angle FIG. XXIX. des ordonnées avec le diametre eft droit, l'équation de l'ellipfe devient celle du cercle, & alors l'angle OMN étant droit, OF' (ff) = FG2 (gg) + OF2 (hh); ainsi mettant au lieu de hh fa valeur ff-gg, & d à la place de p, l'équation devient 22 — — uz — 2/2 + uu + 231 u + li 2/uz 2lzuu = 0; 23 c'est l'équation du cercle par raport à la ligne ON differente du diametre Aa. S'il n'y avoit que la ligne OGM parallele au diametre Aa, & que l'angle MON fût nul; alors OF (f) devient OG (h), & FG (g) devient zero; par confequent l'équation préce dente au cercle devient zlz + uu O. 437. QUAND au lieu de l'équation par raport à une ligne FIG XXVII. droite ON, qui est oblique par raport au diametre des XXVIII. fections coniques, on veut l'équation par raport à une ligne XXIX. droite OM parallele au diametre Aa; il est évident que dans 438. ce cas, FG (g) devient égale à zero, que OF (f) & O G ( b ) deviennent la même ligne, ainfi dans les équations préce dentes il n'y aura qu'à effacer toutes les grandeurs où fe trouve g comme étant zero, & faire partout f=h, & les équations deviendront celles que l'on demande. I I. D'où l'on voit que quand le terme uz manque dans une équation aux fections coniques, & que cependant il y a outre les quarrés zz, uu, des termes où z&u font lineaires, c'est une marque certaine que la ligne OM à laquelle l'équation marque le raport, eft parallele au premier diametre Aa ou น |