439. au fecond diametre dans l'hyperbole & dans l'ellipfe, & au diametre AB dans la parabole. I I I. Dans le même cas où uz ne fe trouve pas, toutes les grandeurs où eft g devenant zero, & fdevenant égale à h, la fraction qui multiplie au marque toujours le raport du parametre au diametre dans l'hyperbole & dans l'ellipfe; car alors le terme où eft un devient neceffairement uu, dans l'hyperbole, & dans l'ellipfe; parceque uu devient zero, &u devientuu, à caufe de hh=ff. Si dans le même cas uu n'a aucun coéficient, l'hyperbole est équilatere, & dans l'ellipfe le diametre eft égal au parametre, & fi l'angle des ordonnées & du diametre est droit, l'équation de l'ellipfe devient l'équation du cercle. - + นน I V. FF L'ufage des équations de la parabole, de l'ellipfe, de l'hy440. perbole & du cercle par raport à leur diametre & par raport à une autre ligne que le diametre ( qu'on nomme ordinairement les lieux geometriques du premier genre) eft, 1°, pour connoître tout d'un coup, quand en refolvant un Problême on trouve une équation qui appartient à une fection conique; pour connoître, dis-je, fi c'eft une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipfe, ou un cercle: car quand l'équation qu'on trouve eft femblable à quelqu'une des équations des fections coniques par raport au diametre, & n'a pas plus de termes, on connoît d'abord à quelle fection conique appartient l'équation qu'on a trouvée; & quand l'équation qu'on trouve a plus de termes que n'en ont les équations fimples des fections coniques par raport à leur diametre, on connoîtra en comparant l'équation trouvée avec les équations des fections coniques par raport à une autre ligne que le diametre, à quelle fection conique elle appartient; par exemple, fi uz ne s'y trouve pas, & qu'il n'y ait que le quarré de l'une des inconnues, c'est une parabole; fi les deux quarrés des inconnues s'y trouvent fous un même figne, c'est une ellipse; fous differens fignes, c'est une hyperbole par raport au diametre: Si les deux quarrés ont le même figne, & n'ont aucun coéficient, & que l'angle des ordonnées foit droit, c'eft un cercle. Quand uz s'y rencontre, après avoir ôté le coéficient de l'un des quarrés des deux inconnues, s'il en 441. avoit un, on connoîtra que l'équation eft celle de la parabole, quand la fraction qui eft le coéficient de uu est égale au quarré de la moitié du coeficient de uz; que l'équation appartient à l'hyperbole quand elle eft moindre, & à l'ellipfe quand elle eft plus grande; & que fi les deux quarrés des inconnues n'ont pas de coeficient & ont le même figne, l'équation appartient au cercle. 2°. Pour tracer les courbes de ces équations, quand on a découvert, comme on vient de le dire, fi elles appartiennent à la parabole, ou à l'hyperbole, ou à une ellipfe, ou au cercle: car fi l'équation qu'on a trouvée eft fimple, & appartient à une fection conique par raport au diametre, on la tracera par les art. 360, 361.` Si l'équation trouvée appartient à une fection conique par raport à une autre ligne qu'au diametre, on regardera celle des équations des fections coniques par raport à une autre ligne qu'au diametre, à qui l'équation trouvée eft femblable, comme étant la même équation que l'équation trouvée, & la figure de la fection conique de la premiere de ces deux équations comme étant la figure de la feconde, c'est à dire, de l'équation trouvée. On fuppofera les termes correfpondants de ces deux équations égaux entr'eux; & par les valeurs des indéterminées f, g, i, l, d, f, que feront trouver les équations particulieres de la fuppofition des termes corref pondans égaux, on aura la valeur du diametre d & du parametre p de la fection conique de l'équation trouvée, & le centre de cette section conique, quand elle en a un, & on pourra la décrire par la methode des art. 360, 361, en faifant à l'exemple des figures 27, 28 & 29, une figure propre l'équation trouvée. L'on remarquera que l'angle des coordonnées eft toujours donné ou arbitraire; ce qui eft caufe qu'il fuffit de déterminer les valeurs des lignes OF (ƒ),FG(g) des figures 27, 28 & 29, pour avoir la valeur de la ligne OG(h). V. Comme l'on a fuppofé dans les équations du Problême. précedent les grandeurs f, g, h, &c. pofitives, quand la comparaifon des termes correfpondants de ces équations avec ceux de l'équation qu'on trouve dans la réfolution d'un Problême, fait trouver les valeurs de ces lettres négatives ou une partie, cela marque qu'il faut tracer les lignes reprefen tées tées par ces lettres négatives du côté oppofé à celui où on les a tracées dans les figures 27, 28 & 29. V I. = 442. On remarquera enfin que quand on compare une équation d'une fection conique à celle des équations précedentes qui lui répond, & que la premiere n'a pas tous les termes de la feconde, on fuppofera dans cette derniere, que les termes correfpondants à ceux qui manquent dans la premiere, font égaux à zero; ce qui fera connoître les lignes égales à zero de celle des figures 27, 28 & 29, qui eft la figure de la feconde équation; & quand FG(g) =o, la ligne OF(ƒ) tombe fur OG(b), & elles font égales, & 1; ce qui arrive quand le terme uz manque dans l'équation. Quand le terme 27z manque dans l'équation, alors BM(1)o, & la ligne OGM tombe fur le diametre AB; & fi en même temps le terme où eft uz manque auffi, les trois lignes AB, OGM, OF, n'en font qu'une, qui eft le diametre AB, & OG (h) = OF (f). ' Par exemple pour comparer l'équation yy - 2x4 = 0, qui eft l'équation d'une parabole*, avec l'équation de la * 44°. parabole zuz — 2lz → & uu + 23 u + ll : ༢ =0, FIG. XXVIL - + FF 281 41 =0, -bp-uip - 2.2°. 4a 4a 4a 41 4a j = bp F pu. 9x-4a =0, = 4a p; ainfi le 9i 42 marque qu'il 44, & Ai (i) EEee 443. l'angle des ordonnées, & par confequent celui de la tangente au fommet qui lui est égal, est donné ou arbitraire. Où l'on fait voir l'ufage des formules précedentes, & où l'on donne une maniere fimple & facile de tracer toutes les fections coniques par un mouvement continu. FAE, FBE sont deux angles quelconques formes chacun FIG. XXX. par deux regles, attachés fur un plan aux points fixes A & B & XXXI. fur lefquels ils font mobiles, en faifant en forte que les deux côtés AE, BE pendant leur mouvement fe coupent toujours fur la ligne droite donnée ED qui rencontre la ligne AB qui joint les deux points fixes A & B en un point D diftingué de ces deux points, il faut trouver l'équation de la courbe que forment les deux autres côtés AF, BF par leur point de concours F pendant le mouvement de ces deux angles mobiles fur les poles A & B. FIG.XXX. Il faut bien remarquer que les deux côtés AE, BE (qu'on appellera les premiers) ou leurs prolongemens AS, BV, font toujours ceux qui doivent fe couper fur la droite donnée DE, & que les deux côtés AF, BF (qu'on nommera les feconds) ou leurs prolongemens AP, BM, font toujours ceux qui décrivent la courbe en fe coupant pendant le mouvement des angles dans les points F, qui forment la courbe, Pour réfoudre le Problême, je remarque que quand les premiers côtés fe coupent au point D, ils ne font qu'une même ligne droite qui eft la ligne AB qui paffe par les poles A & B, & que dans cette fituation les deux feconds côtés AF, BF deviennent AC, BC, & font déterminés de pofition & de grandeur; parceque l'angle BAC eft égal à l'angle donné FAE, & CBA est égal à l'angle donné FBE, dans la figure 31, où le point D de la ligne DE eft dans le prolonFIG.XXXI. gement de BA, lorfque les deux premiers côtés fe coupent au point D, & ne font qu'une même ligne qui eft BAD, le côté AE étant fur AD, l'angle donné EAF devient l'angle DAC, & le côté AF tombe fur AC; mais le côté BE tombant en même temps fur BD, le second côté BF ne peut plus être coupé par le fecond côté AF; c'est le prolongement BMlevenu BC du fecond côté FB, qui eft coupé par le 7 fecond côté AF devenu AC: C'eft pourquoi l'angle ABC est égal à l'angle EBM complement à deux droits de l'angle donné FBE & non pas à l'angle donné FBE, & le triangle ACB eft entierement donné. Cela fuppofé, pour trouver l'équation de la courbe que forment les points de concours F, je prens pour la ligne des coupées la ligne droite DE déterminée de pofition, & je prens fon origine au point Doù elle rencontre la donnée AB, & je fais les ordonnées tirées des points F fur ED, comme l'ordonnée FI, paralleles à la donnée AB; j'en tirerai cet avantage que l'équation me fera connoître, fi les points fixes ou les poles A & B font eux-mêmes dans la courbe, puisque fi la courbe paffe par A & B, DA & DB feront les ordonnées de ces deux points; je connoîtrai auffi par la même équation que le point déterminé C eft un des points de la courbe. nées AD = a, a, Soit donc la coupée DI=u, l'ordonnée F12, les donDB=b, DNC, AN=d, DR=e, BR= f. Pour former les équations particulieres qui me doivent donner l'équation du Problême, je remarque(fig.30) que les deux angles CAF, DAE font égaux, puifque CAD & FAE font fuppofés égaux; & par la même raifon CBF eft égal à DBE; ainfi pour faire des triangles femblables, je tire FG qui faffe l'angle AFG AED, AED, & par confequent AGF=ADE, & de même FH qui faffe BFH BED, & BHF = BDE3 ainfi j'ai les triangles femblables AFG, AED, & BFH, BED. Je prolonge BC jufqu'au point R, où elle rencontre ED prolongée, & je mene par F la ligne KFLT parallele à EDR; ces lignes me donnent d'autres triangles femblables, comme ADN, LGF, &c. = = = Mais dans la figure 31, les angles DAC & EAF étant fuppofés égaux, en ajoutant à chacun l'angle commun CAE, les angles DAE, FAC font égaux : Je mene FG de maniere que AFG AED, & FGA EDA, & j'ai les deux triangles femblables AFG, AED. De même l'angle ABC eft fuppofé égal à l'angle EBM complement à deux droits de EBF; ainfi ajoutant à chacun l'angle EBC,j'aurai l'angle ABE-CBM qui est égal à son oppofé au fommet FBH; je tire FH de maniere que BFH BED & FHB = BDE, & j'ai les EEee ij |