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deux triangles semblables BFH,BED: Je mene auffi LFRT parallele à EDI, & je.prolonge AC jusqu'à N, & BC jul. qu'à R, ce qui me donne d'autres triangles semblables ADN, iQN,QF1, à cause des paralleles;&GFL, AD N; parceque AND est égal à son alterne GLF, & que ADN est égal par la construction à FGL; comme aussi BDR,BKT, à cause des paralleles, & BDR, THF, parceque BRD=BTF à cause des paralleles, & que BDR le même que BDE est égal à FHT le même que FHB=(par la construction)BDE. Je suppose à present l'inconnue DE=x; les triangles semblables me feront trouver deux valeurs differentes de DE(x) desquelles faisanţ une équation, elle sera l'équation de la

courbe. Fle. XXX. Les triangles semblables BDR, BKT , donnent DB(6).

DR(e) :: KB (6 —%). KT = 6,3; ainsi FT=be-
& DB(6) BR(F) :: KB (6-2). BT =

2). BT =bf-fi. Les triangles semblables BDR, THF, donnent BR(f). DR(e) :: FT ( becomes – b).TH = bee-e-ben ; d'où l'on déduit BH SBT TH=off ffz bee+ ecz + bere

Ils donnent encore BR(A. BD (6) :: FT ( bene*="). FH = bean-bu, Enfin les triangles semblables BFH, BED, donnent BH ( beut.cz – ffy + bff - bee ), FH/ -buestbe) :: BD(6). DE(*)

bcu+cez - Ffa#bff bie ; c'est la premiere valeur de DE (x). Les triangles semblables ADN, AKL, donnent AD(a), DN(C):: AK ( a +2). KL=**; d'où l'on déduit LF

ar + cz – an. Ils donnent encore AD(a). AN(d) :: AK (a+2). AL= adat dz. Les triangles semblables ADN, LGF, donnent aussi AN(d). DN(C) :: LF ( 4+43 – au), LG = acc+ c3 = ach; d'où l'on déduit AG = AL - LG

add+ddz - acc— cez+aru . Ils donnent encore AN(d). AD(a) :: LF ( 4+43 = «® ), FG="*43–44. Enfin les triangles femblables AGF, ADE, donnent AG ( acu-«cz+ddz + add –a) · FG { "ante ) :: AD(a) · DE(*)

)

où supposant cc + dd =+*x, &+ee - ff=-4, l'on a

bf

- 634 bbez + b3e

ad

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a??! + aacz + aic 40W 60+ ddz+add

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-634 blick + b3e beu + cez - ffz - bee+ off

Ou + aacz + aic

- 634 - bbez + b3c

bem – time + bas

ASM + 4x + 2x

abiceu

qui se reduit à — a'beur + aabcezy a'beeu - daleezz=0;

+ b'acuu + a'eezu + a'bceu + bbxxerk.

+ abbcezu + ab'xru + aabceez
+ b'xxzu

- aceea
+ abbxxez

b'xxer ta'bcee

-ab'xxe C'est l'équation de la courbe pour la figure 30, qui fait voir qu'elle est une section conique.

On trouve pour la figure 31, en se servant des triangles semblables marqués par les mêmes lettres, DE(x) =

où supposant – ee+ff=+ft, &cc - dd=xx, l'on a

-abu + aacz – als

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634 - bbe + b3e
cez + ffz+ bee bff ,

ben

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bu -b bez +be

.

benthie-bie', qui se reduit à

a’beun + aabcezu + a'beeu + aaceezz = 0;
+ ab%C44 - a'ee zu - a’bcex + bbxxeza.

- abbcezu + abixxu aabceez
- b'xxx* + abiceu a'csen

- abbxxer
-b2xnez .
+ a'bcee

+ abixxe C'est l'équation de la courbe pour la figure 31, qui ne differe de la precedente que par quelques signes.

Pour connoître si la courbe passe par les poles A & B. EN

N supposant que ID(u) = 0, l'on aura le seul dernier terme de chacune des équations precedentes. Celui de la premiere étant divise

par aacee + bbxxe , donne l'équa. tion déterminée 33 + ax

ab

dont la racine positive - bz BD (fig. 301, & la négative z=-=AD; ainsi la courbe passe par les poles A & B. Le dernier terme de la seconde étant divisé par aacet + bbxxe, donne l'équa. tion déterminée 27 - az + ab=o, dont les deux racines

- bz sont positives, parcequ'elles sont du même côté de l'origine D ( fig. 31). La premiere est <=a=DA ; la seconde

EEee iij

ܕܘ

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are + bce
de + bc)

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abe - abc
de + c

q=b = DB; d'où l'on conclut que la courbe passe par A
& B.
Pour connoitre si le point C du triangle déterminé A B C eft

dans la courbe. Fig.XXX. EN

N menant par C la ligne C parallele à la ligne des coupées EDI, & Cd parallele aux ordonnées 1F, DB; supposant CB=D&u,&cd=D6=, & nommant les autres lignes comme ci-dessus, les triangles semblables BDR, BBC, donneront DRle). RC(u) :: D B (b). BB= 4; d'où l'on déduit D617) =DB B3=bcbn. Les triangles semblables ADN, ABC, donneront aussi DN(C).CR(u) :: AD(a). A3=4m; d'où l'on déduit DB(T) = A3 AD

= bezbu, d'où l'on tire DS (u) = &$C02)

Or l'on trouve precisément les mêmes valeurs de u & de { en supposant FG(^_4 + 3 + ), & FH(=bmctbo), chacune égale à zero; ce qui doit arriver dans la formation de la courbe quand le point F qui la décrit fe trouve au point C; ainsi la courbe passe au point C.

Si on vouloit sçavoir les points où la courbe rencontre la ligne EDR, il n'y auroit qu'à supposer dans les équations precedentes {=0,& les deux valeurs de u que l'on trouveroit par cette supposition, marqueroient ces points; si l'on trouvoit les valeurs de u imaginaires, ce seroit une marque que la courbe ne rencontreroit point E DR. Si on trouvoit deux valeurs égales positives ou négatives de u, cela feroit voir que ED toucheroit la courbe au point auquel u auroit ces deux valeurs égales. Pour connoitre les cas la courbe est une parabole, ou une ellipse, ou une hyperbole, & pour en trouver le parametre

& le diumetre.
Il faut faire en sorte que le quarré de l'une des deux incon-
nues, comme 2, n'ait pas d'autre coeficient que l'unité, &
l'équation sera pour la figure 31°.
aabcee

+abee
ace
a'CEE
- a be 2

abce

+ a'bcee 2 - abbce abbxxe

abic + ab xx

+ ab'xxes b3 x xe

25 + aabce

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>

- uz

su

b' xx

+ abice

a acea + bbxxc

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qu'à l'autre.

* 440.

mm

*

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440.

tes.

Et comme l'on peut exprimer les coeficients qui sont connus par d'autres grandeurs connues plus simples, * on expri- * 279; mera le coeficient du terme uz par 2 ; celui du terme z. par 29; celui du terme uu par ; celui du terme u par s, & enfin le dernier terme par tt, & l'on aura l'équation abregee zz- muz—29z+uu+su+tt=o, qui contient towtes les équations aux sections coniques par raport à une autre ligne qu'au diametre, n'y ayant que la diversité des lignes, les differens raports des coeficients, & quelques termes qui peuvent quelquefois se trouver nuls qu égaux à zero, qui la rendent propre à l'une des sections coniques plutôt

Quand est positive & égale au quarré mm de la moitié de 2n , la section conique est une parabole.*

Quand est positive & surpasse c'est une ellipse.*

Quand est negative, c'est une hyperbole par raport à l'un de ses diametres, * & non pas par raport aux asympto- * 440.

Si on vouloit trouver le parametre, quand c'est une parabole ; le parametre & le diametre, quand c'est une hyperbole ou une ellipse, il n'y auroit qu'à lupposer chaque terme de l'équation abregée (excepté le premier) égal au terme qui lui répond dans l’équațion correspondante du septieme Problême *, & déterminer par ces équations les valeurs des * indéterminées f, g,i,1,d, p, & la valeur de p seroit le parametre, celle de d seroit le diametre. Mais comme l'on n'a besoin de ces choses

que pour

décrire la section conique par la methode des art, 360, 361, & que la pratique du Pro

l'on traite ici, donne la description facile de la section conique ; il est inutile de les expliquer ici plus au long. La maniere de trouver les axes avec leurs parametres des sections

coniques décrites par la methode précedente.
444. Il faut remarquer pendant que l'on fait la description de la Fro. XXXII.

courbe, la situation où les seconds côtés Af, Bf sont paralleles
entr'eux, & en même temps le point Moù se croisent les
deux premiers côtés, lorsque les seconds sont paralleles; &
les laissant dans cette situation, faire décrire une circonfe-
rence AMBNA au point M; ou, ce qui revient au même,

1

426.

blême que

& ce qui est plus facile, il faut tracer la circonference AMBNA sur la corde AB, de maniere que l'arc AMB (du côté de la ligne donnée DE où se coupoient les deux premiers côtése, pendant que le point de concours des seconds côtés décrivoit la courbe ) soit capable d'un angle AMB , qui fasse avec les deux angles donnés E AF, EBF, quatre angles droits. Il faut ensuite tirer par le centre o de ce cercle la ligne NOMD perpendiculaire à la ligne donitee DE; & ayant mené par le point M où elle rencontre la circonference, les droites MA, MB, il faut faire l'angle MAF égal à l'angle donné E AF, & MBf = EBF; & les deux lignes Af, Bf seront paralleles : car l'angle AMB faisant deux droits avec MÅB, MBA, il faut que les deux qui restent BAF, ABf fassent aussi deux angles droits, puisque AMB fait quatre angles droits avec MA, MBf; par confequent Af, Bf font paralleles. Or l'on va démontrer par l'Analyse que l'axe ou l'un des axes de la courbe décrite

par le point F, est parallele aux lignes paralleles Af, Bf, d'où il fera facile de trouver l'axe dans la courbe décrite

par

le point F.

La corde A B qui joint les deux poles est donnée, & les angles AMB, MÁf, MBf sont aussi donnés, puisque les angles E AF, EBF, ausquels les deux derniers sont égaux, sont donnés; & de plus la ligne D E est donnée de position; c'est pourquoi la circonference AMBNA est donnée, fon diametre MN est donné, les lignes ND, MD sont données, comme aussi AM, MC, BM, ML; & menant AN, BN, ces lignes sont aussi données; enfin tirant AK perpendiculaire sur fB prolongée en K, AK & BK sont données. Il faut encore tirer FH perpendiculaire sur BH qui rencontre Af en G; & enfin tirer du point E fur AMC prolongée la perpendiculaire El; ces choses supposées,

On nommera les données DM(M), DN(n), AK(a), KB(6), MC(C), CD (d), DL(2), ML (f); & les inconnues DE (x), AG(), FG(z). Les triangles rectangles semblables DMC, CEI, donnent MC(C).CD(d).:: CE(x-d) .CI= dx=dd ; & MC(C). DM(m) :: CE(x-d}. EI= **zdm. Les triangles rectangles MDC, MAN étant semblables à cause des angles égaux opposés au sommet DMC, AMN, l'on a MC(C). MD(m) :: MN(n — m

m). AM

mn - mm

j

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