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Fie. XXX.

deux triangles femblables BFH, BED: Je mene auffi LFKT parallele à EDI, & je prolonge AC jufqu'à N, & BC jusqu'à R, ce qui me donne d'autres triangles femblables ADN, ION, QFL, à caufe des paralleles ; & GFL, ADN; parceque AND eft égal à fon alterne GLF, & que ADN eft égal par la conftruction à FGL; comme auffi BDR, BKT, à cause des paralleles, & BDR, THF, parceque BRD = BTF à caufe des paralleles, & que BDR le même que BDE eft égal à FHT le même que FHB (par la conftruction) BDE. Je fuppofe à prefent l'inconnue DE=x; les triangles semblables me feront trouver deux valeurs differentes de DE(x) desquelles faisant une équation, elle fera l'équation de la courbe.

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ex

b

Les triangles semblables BDR, BKT, donnent DB(b). DR (e) :: KB ( b —z). KT — be; ainfi FT— beb; &DB(b). BR(ƒ) :: KB (b KB (b—z). BT. Les triangles femblables BDR, THF, donnent BR(f). DR(e) :: FT (be--bit). TH bee-ee-be; d'où l'on déduit BH bff-ffz-beeeez+bes. Ils donnent encore

- BT- TH

=

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BR(ƒ) . BD(b) :: FT (be-ex-bu). FH be-ex-bu, Enfin les triangles femblables BFH, BED, donnent BH - ffx + bff - bee_). FH-bu-be) :: BD(b). DE(x)

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bf

·63ubbez b3e

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ben +eez - ffz+bff → bee ; c'est la premiere valeur de DE (x). Les triangles femblables ADN, AKL, donnent AD(a), DN (c) :: AK (a + z). KL = ac+cz; d'où l'on déduit LF

LG =

a

ad

a

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a

acc-an. Ils donnent encore AD(a). AN(d) :: AK a + z). AL — ad+d. Les triangles semblables ADN, LGF, donnent auffi AN(d). DN (c) :: LF (ac + cz—au), acc + cez - acie ; d'où l'on déduit AG ALLG add →ddz — acc — cez + acu. Ils donnent encore AN(d). AD(a) :: LF ( ac+cz-an), FG = acca". Enfin les triangles femblables AGF, ADE, donnent AG { acu-ccz+ddz + add—acc). FG {=an+ci+ac) :: AD(a) · DE(x)

ad

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qui fe reduit à a3beuu →

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a3beuu+aabcezu a3beeu *aateizz=0; +b3acuu ✦a3ɛɛzu ✦ a3bceu ✦ bbunezz

✦ abbcezu ✦ ab3rnu + aabceez

+ b3xxzu — ab3ceu

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a3ce ε Z

+abbxxez
b3xxez

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C'est l'équation de la courbe pour la figure 30, qui fait voir qu'elle est une section conique.

On trouve pour la figure 31, en fe fervant des triangles femblables marqués par les mêmes lettres, DE ( x ) ·

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qui fe reduit à

a'beun aabcezu

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où fuppo

a3u + aacz -
·ach+xxz-six

a3beeu + aaceezz = 0;

+ab3cuu — a3 ε ɛ z u — a3bceu + bbxnezz

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abbcezu + ab3xxu — aabceez

- b3××zu → ab3ce u — a3 c & ε z

1

e

- abbxnez

-b3xxеz
63 x ne z

+a3bceε

+ab3xxe

C'est l'équation de la courbe pour la figure 31, qui ne differe de la précedente que par quelques fignes.

Pour connoitre fi la courbe passe par les poles A & B.

EN N fuppofant que ID (u) o, l'on aura le feul dernier terme de chacune des équations précedentes. Celui de la premiere étant divisé par ― aacee + bbxxe, donne l'équation déterminée ༢༢ + «༢ — ab = o, dont la racine positive - bz

༢=

z=b=BD (fig. 30), & la négative z=—a—AD ; ainfi la courbe paffe par les poles A & B. Le dernier terme de la feconde étant divifé par aacee + bbxxe, donne l'équation déterminée ZK-a + ab =0, — a2+ ab =0, dont les deux racines

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font pofitives, parcequ'elles font du même côté de l'origine D (fig. 31). La premiere est DA; la feconde

a

EEee iij

& B.

b=DB; d'où l'on conclut que la courbe passe par A

Pour connoitre fi le point C du triangle déterminé A B C eft
dans la courbe.-

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༢,

FIG. XXX. EN menant par C la ligne CB parallele à la ligne des coupées EDI, & C♪ parallele aux ordonnées IF, DB; suppoTant CB D&u, & C♪ = D6 = 2, & nommant les autres lignes comme ci-deffus, les triangles femblables BDR, BBC, donneront DR(e). BC (u) :: D B (b) . B B = b; d'où l'on déduit D6 (2) = DB — BB. Les triangles femblables ADN, ABC, donneront auffi DN(c).CB (u) :: AD(a). Aß —; d'où l'on déduit Dẞ(2) = AB — AD be-bu, d'où l'on tire D♪ (u) ace + bee

an-ac

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abe - abc

ac + bc •

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an

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=

ae

at + be, & dC (2) Or l'on trouve precifément les mêmes valeurs de u & de 2 en fuppofant. FG(+), & FH(= b+b), chacune égale à zero; ce qui doit arriver dans la formation de la courbe quand le point F qui la décrit fe trouve au point C; ainfi la courbe paffe au point C.

u

Si on vouloit fçavoir les points où la courbe rencontre la ligne EDR, il n'y auroit qu'à fuppofer dans les équations précedenteso, & les deux valeurs de a que l'on trouveroit par cette fuppofition, marqueroient ces points; fi l'on trouvoit les valeurs de a imaginaires, ce feroit une marque que la courbe ne rencontreroit point E DR. Si on trouvoit deux valeurs égales pofitives ou négatives de u, cela feroit voir que ED toucheroit la courbe au point auquel a auroit ces deux valeurs égales.

Pour connoitre les cas où la courbe eft une parabole, ou une ellipfe,
ou une hyperbole, & pour en trouver le parametre

L

&le diametre.

Il faut faire en forte que le quarré de l'une des deux incon-
nues, comme, n'ait pas d'autre coéficient
l'équation fera pour la figure 31°.

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que l'unité, &

भर

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Et comme l'on peut exprimer les coeficients qui font connus par d'autres grandeurs connues plus fimples,* on expri- * 279; mera le coéficient du terme uz par 2m; celui du terme z ༢. par 293 celui du terme au par; celui du terme u par s, & enfin le dernier terme par tt, & l'on aura l'équation abregée zz-uz2qzuu+sutto, qui contient ༢༢ toutes les équations aux fections coniques par raport à une autre ligne qu'au diametre, n'y ayant que la diverfité des fignes, les differens raports des coeficients, & quelques termes qui peuvent quelquefois fe trouver nuls ou égaux à zero, qui la rendent propre à l'une des fections coniques plutôt. qu'à l'autre.

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Quand eft pofitive & égale au quarré

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de 2, la fection conique eft une parabole.*

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440.

440.

Quand eft pofitive & furpaffe mm, c'est une ellipfe.*

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Quand eft négative, c'eft une hyperbole par raport à l'un de fes diametres, *& non pas par raport aux afympto- * 440.

tes.

Si on vouloit trouver le parametre, quand c'est une pa-
rabole; le parametre & le diametre, quand c'est une hyper-
bole ou une ellipfe, il n'y auroit qu'à fuppofer chaque terme
de l'équation abregée (excepté le premier) égal au terme
qui lui répond dans l'équation correspondante du feptiéme
Problême, & déterminer par ces équations les valeurs des *
indéterminées f, g, i, l, d, p, & la valeur de p feroit le
feroit le para-
metre, celle de d feroit le diametre. Mais comme l'on n'a
befoin de ces chofes que pour décrire la fection conique par
la methode des art, 360, 361, & que la pratique du Pro-
blême que l'on traite ici, donne la defcription facile de la
fection conique; il eft inutile de les expliquer ici plus au long.
La maniere de trouver les axes avec leurs parametres des fections
coniques décrites par la methode précedente.

426.

444. IL faut remarquer pendant que l'on fait la defcription de la FIG. XXXII, courbe, la fituation où les feconds côtés Af, Bf font paralleles entr'eux, & en même temps le point M où fe croifent les deux premiers côtés, lorfque les feconds font paralleles; & les laiffant dans cette fituation, faire décrire une circonference AMBNA au point M; ou, ce qui revient au même,

& ce qui eft plus facile, il faut tracer la circonference AMBNA fur la corde AB, de maniere que l'arc AMB (du côté de la ligne donnée DE où fe coupoient les deux premiers côtés, pendant que le point de concours des feconds côtés décrivoit la courbe) foit capable d'un angle AMB, qui fafle avec les deux angles donnés EAF, EBF, quatre angles droits. Il faut enfuite tirer par le centre 0 de ce cercle la ligne NOMD perpendiculaire à la ligne donnée DE; & ayant mené par le point M où elle rencontre la circonference, les droites MA, MB, il faut faire l'angle MAƒ égal à l'angle donné EAF, & MBf = EBF ; & les deux lignes Af, Bf feront paralleles : car l'angle AMB faisant deux droits avec MAB, MBA, il faut que les deux qui restent BAƒ, ABffaffent auffi deux angles droits, puifque AMB fait quatre angles droits avec MAf, MBf; par confequent Af, Bf font paralleles. Or l'on va démontrer par l'Analyfe que l'axe ou l'un des axes de la courbe décrite par le point F, eft parallele aux lignes paralleles Aƒ, Bf, d'où il fera facile de trouver l'axe dans la courbe décrite par le point F.

La corde 4B qui joint les deux poles eft donnée, & les angles AMB, MAƒ, MBf font auffi donnés, puifque les angles EAF, EBF, aufquels les deux derniers font égaux, font donnés, & de plus la ligne DE eft donnée de pofition; c'eft pourquoi la circonference AMBNA eft donnée, fon diametre MN eft donné, les lignes ND, MD font données, comme auffi AM, MC, BM, ML, & menant AN, BN, ces lignes font auffi données; enfin tirant AK perpendiculaire fur fB prolongée en K, AK & BK font données. Il faut encore tirer FH perpendiculaire fur BH qui rencontre Af en G; & enfin tirer du point E fur AMC prolongée la perpendiculaire EI; ces chofes fuppofées,

On nommera les données DM (m), DN (n), AK(a), KB(b), MC(c), CD(d), DL(e), ML(f); & les inconnues DE (x), AG(u), FG(z). Les triangles rectangles femblables DMC, CEI, donnent MC (c). CD(d) :: CE (x-d) CI= dx-dd ; & MC (c). DM (m) :: CE(x-d). EI = mx-dm. Les triangles rectangles MDC, MAN étant femblables à caufe des angles égaux oppofés au fommet DMC, AMN, l'on a MC(c). MD (m) :: MN(n — m). AM mn-mm ;

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