-bu

be

b

ز

deux triangles semblables BFH,BED: Je mene auffi ZFRT parallele à EDI, & je.prolonge AC jusqu'à N, & BC jufqu'à R, ce qui me donne d'autres triangles seniblables ADN, IQN, QFL, à cause des paralleles ; &GFL, AD N; parceque AND est égal à son alterne GLF, & que ADN est égal par la construction à FGL; comme aussiBDR, BKT, à cause des paralleles, & BDR, THF, parceque BRD= BTF à cause des paralleles, & que BĪR le même que BDE est égal à FHT le même que FHB=(par la construction)BDE. Je suppose à present l'inconnue DE=x; les triangles sem

= blables me feront trouver deux valeurs differentes de D E(X) desquelles faisanţ une équation, elle sera l'équațion de la

courbe. Nie. XXX. Les triangles semblables BDR, BKT , donnent DB (b).

DR(e) :: KB (6-3). KT = ""; ainsi FT=be-mmbn ; & DB16). BR(F) :: KB (6-2). BT = 174. Les trian.

16 gles semblables BDR, THF, donnent BR(f). DR(e) :: FT ( bemenet b).TH

; d'où l'on déduit BH SBT -TH

Ils donnent encore BR(A). BD (6) :: FT ( berce-b"). FH = be-m2-en, Enfin les triangles semblables BFH, BED, donnent BH ( beu+ — ffz

- cez = fx + bff - bee), FH ( - 6 mjest be) :: BD(6). DE(x) Tout eez = ffz+off-bee;

c'est la premiere valeur de DE (x). Les triangles semblables ADN, AKL, donnent AD(a), DN(C) :: AK ( a +2). KL=47c ; d'où l'on déduit LF

ac +c7-a. Ils donnent encore AD(a). AN(d) :: AK (at2). AL= adat dz. Les triangles semblables ADN, LGF, donnent aussi AN(d).DNC) :: LF ( 4 + 43 44.), LGS acct.com-ach ; d'où l'on déduit AG "

SAL LG add + ddz —"ac6--107 + aru. Ils donnent encore An(d). AD(a)

AN :: LF ( 4+), = af te = al. Enfin les triangles femblables AGF, ADE, donnent AG ( acu-cc3+ddz + add-ac) • FG

:) { "antica ) :: AD(a) . DE(*)

- 634 – blicz + 1,36 où supposant &+ee - ff=-", l'on a

bee - lez beu

of
bff - ffz - beet ecz + beut

bf

뿌

bu

ac

- acie

ad

CC + nu + aack + aic - 6314 - bbez+ b3e MSM + **7 + RX

ben

634 - bben + b3e
cez + ffz+ bee - Off ,

- alu + aack

aic

ab2cuu

ažeɛzu

qui se reduit à — a beux + aabcezy - a'betu

Maceiza=; + b'acuu + a'eezu + a'bceu + bbxxezz

+ abbcezy + ab'xxu + aabceea
+ b'xx zu

abiceu a’CEEX

+ abbxxez

burez + a'bcee

- abune C'est l'équation de la courbe pour la figure 30, qui fait voir qu'elle est une section conique.

On trouve pour la figure 31, en se servant des triangles semblables marqués par les mêmes lettres, DE (x) =

où suppofant - ee+ff=+le, &cc – dd =*%,

l'on a
qui se reduit à
- a'beux + aabcezu + a'becu + aaceezz = 0;
+ ab'chu - alte zu a'bces + bburezz

- abbcezu + abixxu — aabceea
— b'x*2+ ab'ceu a'csen

- abbxxez
-6°xxen
+ a'bces

+ abixxe
C'est l'équation de la courbe pour la figure 31, qui ne differe
de la precedente que par quelques signes.

Pour connoître si la courbe passe par les poles A & B.
En
N supposant que ID(u) = 0, l'on aura le seul dernier

=
terme de chacune des équations précedentes. Celui de la
premiere étant divisé

par — aacee + bbxxe , donne l'équa. tion déterminée 29+az - ab 23

O,

dont la racine positive

bz L=6=BD (fig. 301, & la négative z=-=AD; b)

a ainsi la courbe passe par les poles A & B. Le dernier terme de la seconde étant divisé par aacee + bbxxe , donne l'équa. tion déterminée 27 - az + ab =o, dont les deux racines

So

- bz sont positives, parcequ'elles sont du même côté de l'origine D(fig. 31). La premiere est 1=a=DA; la seconde

EEee iij

. crez

1

ܪ

bu

are + bre

c

ae + bc

abe - abc

ae + c u

f

k=b=DB; d'où l'on conclut
;

que

la courbe passe par A
& B.
Pour connoitre si le point C du triangle déterminé A B C eft

dans la courbe.
Fic.xxx. En menant par C la ligne ce parallele à la ligne des cou-

.
E

N
pées EDI, & Cd parallele aux ordonnées 1F, DB; suppo-
sant CB=D8=u, & C = DG=%, & nommant les
DA=

DO ༢
autres lignes comme ci-dessus, les triangles semblables BDR,
B3C, donneront Drie). BC(u) ::'D B(6). BB= b;
d'où l'on déduit Dis(7) =DB — B3=boşlu. Les trian-

bc-.
gles semblables ADN, ABC, donneront aussi DN(C).CB(u)
:: AD(a). AB=40; d'où l'on déduit DB(Z) =A3 — AD
be-ba, d'où l'on tire D8 (u): , $

&$C12)
Or l'on trouve precisément les mêmes valeurs
de u & de 7 en supposant. FG ( an ti 3*), &FH(=but boy,
chacune égale à zero; ce qui doit arriver dans la formation
de la courbe quand le point F qui la décrit fe trouve au
point C; ainsi la courbe passe au point C.

C
Si on vouloit sçavoir les points où la courbe rencontre la
ligne EDR, il n'y auroit qu'à supposer dans les équations
precedentes {=0,& les deux valeurs de u que l'on trou-
veroit

par cette supposition, marqueroient ces points; si l'on
trouvoit les valeurs de u imaginaires, ce seroit une marque
que la courbe ne rencontreroit point E DR. Si on trouvoit
deux valeurs égales positives ou négatives de u, cela feroit
voir que ED toucheroit la courbe au point auquel u auroit
ces deux valeurs égales.
Pour connoitre les cas où la courbe est une parabole, ou une ellipse,
ou une hyperbole, & pour en trouver le parametre

·

e le diumetre.
Il faut faire en sorte que le quarré de l'une des deux incon-
nues, comme 7, n'ait pas d'autre coeficient que l'unité, &
l'équation sera

pour la figure 31.
23 + aabce
aabcee

talbee

ยๆ aicee

-a'bce + a'bcee 2 abbce

sz -abbxxe

+ abic + ab xx + ab'xxes - b’xxe

>u

- a bezun

— b3 х.х.

63

+ abice

1

2m

nn

*

* 440.

*

nn
۲۲

tes.

Et comme l'on peut exprimer les coeficients qui sont connus par d'autres grandeurs connues plus simples, * on expri- * 279; mera le coeficient du terme uz par 2m; celui du terme z. par 29; celui du terme uu par ; celui du terme u par s, & enfin le dernier terme par tt, & l'on aura l'équation abregée za muz— 297+huu+su+tt=o, qui contient tomres les équations aux sections coniques par raport à une autre ligne qu'au diametre, n'y ayant que la diversité des signes, les differens raports des coeficients, & quelques termes qui peuvent quelquefois se trouver nuls qu égaux à zero, qui la rendent propre à l'une des seations coniques plutôt qu'à l'autre.

Quand il est positive & égale au quarré mm de la moitié de 2, la section conique est une parabole.*

Quand il est positive & furpasse mm, c'est une ellipse.* 440.

Quand est négative, c'est une hyperbole par raport à l'un de ses diametres, * & non pas par raport aux asympto- * 440.

Si on vouloit trouver le parametre, quand c'est une parabole ; le parametre & le diametre, quand c'est une hyperbole ou une ellipse, il n'y auroit qu'à lupposer chaque terme de l'équation abregée ( excepté le premier) égal au terme qui lui répond dans l’équațion correspondante du septieme Problême *, & déterminer par ces équations les valeurs des * 426. indéterminées f, g,i,1,d,p, & la valeur de p seroit le parametre, celle de d seroit le diametre. Mais comme l'on n'a besoin de ces choses que pour décrire la section conique par la methode des art, 360, 361, & que la pratique du Problême

que l'on traite ici, donne la description facile de la section conique ; il est inutile de les expliquer ici plus au long. La maniere de trouver les axes avec leurs parametres des sections

coniques décrites par la methode précedente.
444. Il faut remarquer pendant que l'on fait la description de la Frc. XXXII.

courbe, la situation où les seconds côtés Af, Bf font paralleles
entr'eux, & en même temps le point Moù se croisent les
deux premiers côtés, lorsque les seconds sont paralleles; &
les laissant dans cette situation, faire décrire une circonfe-
rence AMBNA au point Miqu, ce qui revient au mên

L

le

& ce qui est plus facile , il faut tracer la circonference AMBNA sur la corde AB, de maniere que l'arc AMB (du côté de la ligne donnée DE où se coupoient les deux premiers côtés, pendant que le point de concours des seconds côtés décrivoit la courbe ) soit capable d'un angle AMB , qui fasse avec les deux angles donnés E AF, EBF, quatre angles droits. Il faut ensuite tirer par le centre o de ce cercle la ligne NOMD perpendiculaire à la ligne dontée DE; & ayant mené

par point M où elle rencontre la circonference, les droites MÀ, MB, il faut faire l'angle MAF égal à l'angle donné E AF, & MBf = EBF; & les deux lignes Af, Bf seront paralleles : car l'angle AMB faisant deux droits avec MĀB, MBA, il faut que les deux qui

, restent BAF, ABf fassent aussi deux angles droits, puisque AMB fait quatre angles droits avec MAF, MBf; par confequent Af, Bf font paralleles. Or l'on va démontrer par l'Analyse que l'axe ou l'un des axes de la courbe décrite par le point F, est parallele aux lignes paralleles Af , Bf, d'où il fera facile de trouver l'axe dans la courbe décrite

par

le point F.

La corde A B qui joint les deux poles est donnée, & les angles AMB, MÁf, MBf font aussi donnés, puisque les angles E AF, EBF, ausquels les deux derniers sont égaux, sont donnés; & de plus la ligne D E est donnée de pofition; c'est pourquoi la circonference AMBNA est donnée, fon diametre MN est donné, les lignes ND, MD sont données, comme aussi AM, MC, BM, ML; & menant AN, BN, ces lignes sont aussi données; enfin tirant AK perpendiculaire sur fB prolongée en K, AK & BK sont données. Il faut encore tirer FH perpendiculaire sur BH qui rencontre Af en G; & enfin tirer du point E sur AMC prolongée la perpendiculaire El; ces choses supposées,

On nommera les données DM(M), DN(n), AK(a), KB (6), MC(c), CD (d), Dl(e), ML (f); & les inconnues DE(x), AG (s), FG(z). Les triangles rectangles semblables DMC, CEI, donnent MC(C).CD(d):: CE (x-d) .CI= dx=dd; & MC(C). DM(m): CE(x - d). EI= **Idm. Les triangles rectangles MDC, MAN étant femblables à cause des angles égaux opposés au sommet DMC, AMN, l'on a MC(C). MD(m) :: MN(

nm). AM

с