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mn + dx

C

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wn- ww; d'où l'on déduit AI= AM + MC +CI= mn mm +11+ dx - dd

dx; parceque + MC*(+6) + DM'/+MM) + CD'( + dd). Or les triangles rectangles EAI, FAG, font semblables ; car ôtant l'angle E AG des angles égaux I AG, EAF, les angles restans EAT, FAG font égaux ; c'est pourquoi AI (mn* dt). E1 ( m*dm) :: AG(u) . FG(2); ce qui donne DE (*)

moz + dmu. Il faut à present trouver une seconde valeur de DE (x).

Les triangles rectangles LDM, LEP, font semblables, ayant l'angle commun ; c'est pourquoi ml(f). MD (m) :: LE(e-tox). EP = em*** ; & Milf). LD (e) :: LE (+x). LP="tex. Mais les triangles rectangles semblables MLD, MNB, donnent M2(f). MD (m) :: MN (n —m). BM = mm-mm; d'où l'on déduit BP= BM + ML-LP +1f-4-4 = mex, à cause de ML" (+ff)=MD(mm) + ID (+ee). Enfin les triangles rectangles BEP, BFH, sont semblables, puisqu'en ôtant des angles égaux E BF, MBf, l'angle commun MBF, les angles restans EBP, FBH, sont égaux ; c'est pourquoi BP( m***). EP ( cm * m* ) :: BH = AG(u) — BK(b). FH = FG(2) + GH = AK(a); d'où l'on cire x

qui donne azt tu u bmw

mn-mm + ff -ee-ex

mny + dmu
m 19 - dz

mn; -emie + amin + bem *6 + ef - bm + de 2 +

bm

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ode

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dn +

438.

C'est l'équation de la courbe que décrit le point F, (fig. 32), laquelle équation appartient à l’ellipse, puisque zz & puu ont le même signe -+*; & le produit uz ne s'y trouvant point, * 440. 1°, la ligne des coupées AG(u) est parallele au diametre*; * lequel diametre est l'axe, puisque l'ordonnée FG(z)elt perpendiculaire à la ligne des coupées AG(). 2°. DM ) coeficiene de uu, marque le raport du parametre au diametre*, & par consequent auffi le raport du quarré du second diametre au quarré du premier diametre.

Quand la ligne droite de que décrit le concours des deux premiers côtés EA, EB, est coupée par la circonfe

FFff

439

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bm
bde

d +
ade
+in

1

antena

*

rence AMBNA; quand elle est par exemple de, l'équation
devient
az - UU +

barn = 0, qui appartient
dter

+ 440. à l'hyperbole par raport au diametre, parceque* riu a le 438. signe ; AG est parallele à l'axe* ; puisque uz ne s'y trouve

pas, & que FG(z)est perpendiculaire sur AG (u), & DM (1)
439. exprime le raport du parametre au diametre*, comme aussi

le raport du quarré du second diametre au quarré du pre-
mier diametre.

Quand la droite De touche la circonference AMBNA
& devient de, alors les triangles MDC, CEI, MDL s'éva-
nouissent, & il ne reste que les triangles AEI,F AG,MAN,
MBN, BEP, BFH; & li l'on fait une figure pour ce cas,
on trouvera en se servant de cęs triangles une équation à la

parabole dans laquelle uz & uu ne se trouvent point ; ce qui * 438. fait voir que AG est parallele au diametre qui doit être l'axe, puisque FG (R)est perpendiculaire sur AG (u),

REMARQU E. 445. QUAND

UAND une section conique est décrite, & qu'on a une ligne droite donnée de position AG parallele à l'axe; pour trouver l'axe, il n'y a qu'à mener deux perpendiculaires al AG qui se terminent de côté & d'autre à la courbe , & mener une droite par les points du milieu de chacune, ce sera l'axe,

COROLLA IK E I. 446. ON

aisément mener une tangente de la courbe par F.G. XXXII, l'un des deux poles, comme B, sans même qu'elle soit era

cée. Il faut mener par le pole A une droite AQ jusqu'à la
donnée DE(on peut facilement l'imaginer, & les lignes
dont on ya parler, qu'on n'a pas tracées dans la figure 32,
pour éviter la confusion) qui fasse avec AB l'angle QAB
= EAF; puis mener 2B, & tirer par B la ligne Bf, qui
fasse avec QB l'angle QBf=EBF, & cette ligne Bf sera
tangente au point B : Car en imaginant la situation des deux
premiers côtés AE, BE dans le temps que le second côté
AF est couché sur AB, & décrit la portion de courbe infi-
niment petite au point B ; il est clair que dans cette situation

N peut

l'angle B AQ est égal à EAF, & QBF = EBF, & qu'à ce
moment la petite portion de courbe qui est au point B, se
trouve dans la ligne Bf; & Bf est par consequent tangente
au point B.

COROLLAIRE II.
l'on enseigne à décrire telle section conique qu'on voudra*

dont cing points font donnés.
447. Comme l'on décrit une ligne droite dont on a deux points, Pro, XXXIII,

un cercle dont on a trois points, on peut de même décrire
par la methode précedente une section conique déterminée
telle qu'on voudra; lorsqu'on en a cinq points A, B, C,G,
F, il faut en joindre trois, A, B, C, par les lignes AB, AC,
BC, & prendre deux de ces points A & B pour poles; mener
par les autres points F,G, les lignes FA, FB, GA,GB; faire
les angles FÃE, GAK égaux chacun à l'angle CAD com-
plement à deux droits de Pangle CAB ; & faire l'angle FBE
égal à l'angle ABg complement à deux droits de l'angle
ABC, & GBK = ABC; mener la ligne droite EDK
par les points E & K, où les lignes AE, BE & AK, BK se
rencontrent. Si l'on fait avec des regles des angles égaux
à EAF, EBF, & fi faisant tourner ces angles sur les poles A
& B, on fait toujours en sorte que les premiers côtés AE,
BE se coupent sur la droite EDK, il est clair que le point F
qui est le concours des deux seconds côtés AF, BF décrira
la section conique qui passera par les cinq points donnés.

Si l'un des cinq points ou une partie des cinq points étoit
dans l'une des hyperboles, & les quatre autres ou l'autre
partie dans l'hyperbole opposée; il faudroit faire les angles
FAE, GAK égaux chacun à l'angle CAB, & non pas à son
complement à deux droits CAD; & de même les angles
FBE, GBK égaux chacun à l'angle CBA, & la ligne EDK
passeroit entre les poles A & B, comme dans la figure 30.

A VERTISSEMENT.
448. S1 au lieu d'une ligne droite De l'on faisoit parcourir au Fig. Xxx.

point de concours & des deux premiers côtés AE, BE des & XXXI.
angles mobiles E AF, EBF, une des sections coniques, la-
quelle on voudra, qui passât par l'un des poles, par exernple
par A, le point de concours F des deux seconds côtés AF,

FFff ij

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BF, décriroit une courbe du second genre, c'est à dire, dont on trouveroit l'équation, comme on a fait celle des sections coniques, dans laquelle les inconnues auroient trois dimensions ; & si l'on faisoit décrire au point de concours E la courbe du second genre qu'on viendroit de tracer, le point de concours F décriroit une courbe d'un genre plus élevé, & ainsi à l'infini.

Avertissement. On ne porte pas ici cette matiere plus loin , parcequ'il faudroit faire un traité entier de ces lignes courbes ; & on s'est proposé seulement de faire voir ici quelques usages de l'Analyse par raport aux courbes geometriques, & surtout aux fećtions coniques, & ce que l'on en a dit suffit pour

en tendre ce que l'on dira dans la suite qui y aura raport, fans avoir besoin d'autres ouvrages.

DES COURBES QUI NE SONT PAS GEOMETRIQUES. 449. Outre les courbes geometriques dont les coordonnnées

sont de simples lignes droites par le moyen desquelles on exprime un raport commun à tous les points de chacune de ces courbes par une équation algebrique, où les inconnues ont un nombre déterminé de dimensions; il y a une infinité d'autres courbes dans chacune desquelles il y a, comme dans les courbes algebriques, un raport commun à tous leurs points que l'Analyse exprime par une équation ; mais ce ne peut pas être en y employant de simples lignes droites pour coordonnées qui ayent entr'elles un commun raport , qui puisse être exprimé par une équation algebrique, ce seroient des courbes geometriques; mais dans quelques-unes on se sert pour l’une ou l'autre des coordonnées, & quelquefois pour toutes les deux, de lignes courbes, comme d'arcs de cercle, ou d'arcs d'autres courbes; ou bien l'on se sert de lignes droites pour coordonnées ; mais que l'on suppose égales à des arcs de cercles ou d'autres courbes; dans quelquesunes les abcisses partent d'un même point, & les ordonnées sont des arcs de courbes; dans quelques autres les coordon. nées quoiqu'elles soient des lignes droites ou des arcs de courbes, elles supposent encore la quadrature de quelques courbes, c'est à dire l'expression des coordonnées dans l'équation de ces courbes, contient l'expression de la quadrature de quelque courbe divisée par quelque ligne. Il y en a

dont on ne connoît le raport commun de tous les points, ou
de toutes les lignes infiniment petites dont leur contour est
composé, que par des lignes infiniment petites qui font des
triangles infiniment petits qui donnent chacun une même
équation , qui devient par le moyen des grandeurs chan-
geantes x, y, &c. l'équation de la courbe.

Quelques-uns appellent ces lignes mechaniques; d'autres
pour prévenir le préjugé que donneroit ce nom de mechani-
que aux Lecteurs, en les portant à croire que ces courbes
n'ont pas des proprietés & des usages qu'on puisse démon-
trer aulli exactement que celles des courbes geometriques,
aiment mieux les appeller transcendentes. Il n'importe quel
nom leur donner , & on peut les appeller mechaniques ;
mais il est certain que depuis I'heureuse découverte du calcul
differentiel & integral, on en démontre les proprietés aussi
exactement que celles des courbes geometriques, & qu'on
en fait presque autant d'usage dans la Geometrie & dans les
sciences physico-mathematiques, & que la plupart des plus
belles découvertes & des plus beaux Problêmes resolus par
les sçavans de notre temps, regardent les proprietés & les
usages de ces courbes.

Quoiqu'on puisse exprimer les principales proprietés de plusieurs courbes mechaniques par des équations où il ne faut que le calcul ordinaire de l’Algebre; on ne peut gueres cependant découvrir les proprietés & les usages des courbes mechaniques, qu'en employant dans leurs équations les expressions du calcul differentiel & integral, & en se servant de ce calcul; c'est pourquoi on se contentera ici de donner seulement l'idée de quelques courbes mechaniques.

DES LIGNES 450. Si l'on imagine que le rayon CA prolongé à l'infini , du Fig. XXXIV.

cercle AED, se meut en tournant autour du centre C, en
commençant au point A, & allant de A vers E, D, Å, &
qu'en même temps un point C parte de C, & se meuve sur
le rayon CA de maniere qu'il arrive au point A en même
temps que CA; la ligne CB A que décrit le point C par ce
mouvement, s'appelle spirale: Sa proprieté principale se
déduit de sa formation, qui est que la circonference AEDA
est à un arc quelconque AED pris depuis l'origine A juf-

FFff wij

SPIRALES.

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