mn

2

2

+

mx

mu

ز

; d'où l'on déduit AI= AM = MC +CI=
mu+dx; parceque + MC*(+60) =

cc
+ DM'(+mm) + CD'( + dd). Or les triangles rectangles
EAI, FAG, fone semblables ; car ôrant l'angle E AG des
angles égaux I AG, EAF, les angles restans EAT, FAG
font égaux ; c'est pourquoi AI (mnadt). EI( m* dm):: AG(u)
· FG(Z); ce qui donne DE (x)

= max.+dm". Il faut à present trouver une seconde valeur de DE(x).

Les triangles rectangles LDM, LEP, sont semblables, ayant l'angle I commun ; c'est pourquoi Mz(f). MD (m) :: LE(etox). EP =****; & ML). LD(e) :: LE

(F le+x). LP="tex. Mais les triangles rectangles semblables MLD, MNB, donnent ML (f). MD (m) :: MN ( nm). BM =

d'où l'on déduit BP = BM + ML-LP

*ff- : ma-ex, à cause de ML" (+ff)=MD*(mm) + LD? (+ ee). Enfin les triangles rectangles BEP, BFH, sont semblables, puisqu'en ôtant des angles égaux E BF, MBf, l'angle commun MBF, les angles restans EBP, FBH, sont égaux; c'est pourquoi BP (mm-ex). EP ( oma m* ) :: BH = AG(u) - BK (6). FH = FG(X) + GH = AK(«); d'où l'on cire x =

qui donne zt az tu u

mn mm

j
mn mm + ff -e - ex

2

em +mx

mnz - emz+ amn + bem

* + ef - bm + ae

mny + dmu

dz

bm

C'est l'équation de la courbe que décrit le point F, (fig. 32 ), laquelle équation appartient à l’ellipse, puisque zz & puu ont le même signe +*; & le produit uz ne s'y trouvant point, * 440. 1', la ligne des coupées AG(u) est parallele au diametre* * lequel diametre est l'axe, puisque l'ordonnée FG(2) eft

perpendiculaire à la ligne des coupées AG(u). 2°. DM V ) coeficient de uu, marque le raport du parametre au diametre*, & par consequent auffi le raport du quarré du second diametre au quarré du premier diametre.

Quand la ligne droite de que décrit le concours des deux preiniers côtés EA, EB, est coupée par la circonfe

FFff

DN

439.

n

bm

am

ant en l

ade

+

น

m

DN

rence AMBNA; quand elle est par exemple de, l'équation devient 2h +

az U U +

744 bom u =0, qui appartient T+. bde

dnt en 440. à l'hyperbole par raport au diametre, parceque*— uu a le 438. signe --- ; AG est parallele à l'axe* ; puisque uz ne s'y trouve

pas, & que FG(z) est perpendiculaire sur AG (u), & DM (E) 439. exprime le raport du parametre au diametre*, comme aussi

le raport du quarré du second diametre au quarré du premier diametre.

Quand la droite de touche la circonference AMBNA & devient de, alors les triangles MDC, CEI, MDL s'évanouissent, & il ne reste que les triangles AEI,F AG,MAN, MBN, BEP, BFH; & fi l'on fait une figure pour ce cas, on trouvera en se servant de ces triangles une équation à la

parabole dans laquelle uz &uu ne se trouvent point ; ce qui 438. fait voir que AG est parallele au diametre * qui doit être l'axe, puisque FG(X) est perpendiculaire sur AG («),

REMARQUE. UAND une section conique est décrite, & qu'on a une ligne droite donnée de poliţion AG parallele à l'axe; pour trouver l'axe, il n'y a qu'à mener deux perpendiculaires à AG qui se terminent de côté & d'autre à la courbe , & mener une droite par les points du milieu de chacune, ce sera l'axe,

COROL LAIKE I. 446. On peut aisément mener une tangente de la courbe par

N F.G. XXXII, l'un des deux poles, comme B, sans même qu'elle soit tra

cée. Il faut mener par le pole A une droite AQ jusqu'à la donnée DE (on peut facilement l'imaginer, & les lignes dont on ya parler, qu'on n'a pas tracées dans la figure 32, pour éviter la confusion) qui fasse avec AB l'angle QAB =EAF; puis mener QB , & tirer par B la ligne Bf, qui fasse avec QB l'angle QBf= EBF, & cette ligne Bf fera tangente au point B : Car en imaginant la situation des deux premiers côtés AE, BE dans le temps que le second côté AF est couché sur AB, & décrit la portion de courbe infiniment petite au point B; il est clair que dans cette situation

445. QUAND

l'angle BAQ est égal à EAF, & QBF = EBF, & qu'à ce
moment la petite portion de courbe qui est au point B, se
trouve dans la ligne Bf; & Bf est par consequent tangente
au point B.
COROLLAIRE

II.
Où l'on enseigne à décrire telle section conique qu'on voudra

dont cing points font donnés. 447. Comme l'on décrit une ligne droite dont on a deux points, Fra. XXXIII,

un cercle dont on a trois points, on peut de même décrire par la methode precedente une section conique déterminée telle qu'on voudra; lorsqu'on en a cinq points A, B, C,G, F, il faut en joindre trois, A, B, C, par les lignes AB, AC, BC, & prendre deux de ces points A & B pour poles; mener par les autres points F,G, les lignes FA, FB, GA,GB; faire les angles FAE, GAK égaux chacun à l'angle CAD complement à deux droits de l'angle CAB; & faire l'angle FBE égal à l'angle ABG complement à deux droits de l'angle ABC, & GBK = ABC; mener la ligne droite EDK par les points E & K, où les lignes AE, BE & AK, BK se rencontrent. Si l'on fait avec des regles des angles égaux à EAF, EBF, & si faisant tourner ces angles sur les poles A & B, on fait toujours en sorte que les premiers côtés AE, BE se coupent sur la droite EDK, il est clair que le point F qui est le concours des deux seconds côtés AF, BF décrira la section conique qui passera par les cinq points donnés.

Si l'un des cinq points ou une partie des cinq points étoit
dans l'une des hyperboles, & les quatre autres ou l'autre
partie dans l'hyperbole opposée ; il faudroit faire les angles
FAE, GAK égaux chacun à l'angle CAB, & non pas à son

à
complement à deux droits CAD; & de même les angles
FBE, GBK égaux chacun à l'angle CBA, & la ligne EDK
passeroit entre les poles A & B, comme dans la figure 30.

A VERTISSEMENT. 448. SI

I au lieu d'une ligne droite De l'on faisoit parcourir au Fig. XXX. point de concours E des deux premiers côtés AE, BE des & XXXI. angles mobiles EAF, EBF, une des sections coniques, laquelle on voudra, qui passât par l'un des poles, par exernple par A, le point de concours F des deux seconds côtés ÁF,

FFff ij

le point

BF, décriroit une courbe du second genre, c'est à dire, dont
on trouveroit l'équation, comme on a fait celle des sections
coniques, dans laquelle les inconnues auroient trois dimen-
sions ; & si l'on faisoit décrire au point de concours E la
courbe du second genre qu'on viendroit de tracer,
de concours F décriroit une courbe d'un genre plus élevé, &
ainsi à l'infini.

Avertissement.
On ne porte pas ici cette matiere plus loin , parcequ'il
faudroit faire un traité entier de ces lignes courbes ; & on
s'est proposé seulement de faire voir ici quelques usages de
l'Analyse par raport aux courbes geometriques , & surtout
aux fećtions coniques, & ce que l'on en a dit fuffit pour èn .
tendre ce que l'on dira dans la suite qui y aura raport,

fans avoir besoin d'autres ouvrages.

Des COURBES QUI NE SONT PAS GĖOMETRIQUES. 449. Outre les courbes geometriques, dont les coordonnnées

UTRE sont de simples lignes droites par le moyen desquelles on exprime un raport commun à tous les points de chacune de ces courbes par une équation algebrique , où les inconnues ont un nombre déterminé de dimensions; il y a une infinité d'autres courbes dans chacune desquelles il y a, comme dans les courbes algebriques, un raport commun à tous leurs points que l'Analyse exprime par une équation ; mais ce ne peut pas être en y employant de simples lignes droites pour coordonnées qui ayent entr'elles un commun raport , qui puisse être exprimé par une équation algebrique, ce seroient des courbes geometriques ; mais dans quelques-unes on se sert pour

l'une ou l'autre des coordonnées, & quelquefois pour toutes les deux, de lignes courbes , comme d'arcs de cercle, ou d'arcs d'autres courbes; ou bien l'on se sert de lignes droites pour coordonnées ; mais que l'on suppose égales à des arcs de cercles ou d'autres courbes; dans quelquesunes les abcisses partent d'un même point, & les ordonnées sont des arcs de courbes; dans quelques autres les coordonnees quoiqu'elles soient des lignes droites ou des arcs de courbes, elles supposent encore la quadrature de quelques courbes, c'est à dire l'expression des coordonnées dans l'équation de ces courbes, contient l'expression de la quadrature de quelque courbe divisée par quelque ligne. Il y en a

593
dont on ne connoît le raport commun de tous les points, ou
de toutes les lignes infiniment petites dont leur contour est
composé, que par des lignes infiniment petites qui font des
triangles infiniment petits qui donnent chacun une même
équation , qui devient par le moyen des grandeurs chan-

,
geantes x, y, &c. l'équation de la courbe.

Quelques-uns appellent ces lignes mechaniques; d'autres
pour prévenir le préjugé que donneroit ce nom de mechani-
que aux Lecteurs, en les portant à croire que ces courbes
n'ont pas des proprietés & des usages qu'on puisse démon-
trer aussi exactement que celles des courbes geometriques,
aiment mieux les appeller transcendentes. Il n'importe quel
nom leur donner , & on peut les appeller mechaniques ;
mais il est certain que depuis l'heureuse découverte du calcul
differentiel & integral, on en démontre les proprietés aussi
exactement que celles des courbes geometriques, & qu'on
en fait presque autant d'usage dans la Geometrie & dans les
sciences physico-mathematiques, & que la plupart des plus

-
belles découvertes & des plus beaux Problêmes resolus par
les Sçavans de notre temps, regardent les proprietés & les
usages de ces courbes.

Quoiqu'on puisse exprimer les principales proprietés de
plusieurs courbes mechaniques par des équations où il ne
faut que le calcul ordinaire de l’Algebre.; on ne peut gueres
cependant découvrir les proprietés & les usages des courbes
mechaniques, qu'en employant dans leurs équations les ex-
pressions du calcul differentiel & integral, & en se servant
de ce calcul; c'est pourquoi on se contentera ici de donner
seulement l'idée de quelques courbes mechaniques.

DES LIGNES 450. Si l'on imagine que le rayon CA prolongé à l'infini, du Fic. XXXIV.

cercle AED, se meut en tournant autour du centre C, en commençant au point A, & allant de A vers E, D, A, & qu'en même temps un point C parte de C, & se meuve sur le rayon CA de maniere qu'il arrive au point A en même temps que CA; la ligne CB A que décrit le point C par ce mouvement, s'appelle spirale. "Sa proprieté principale se déduit de la formation, qui est que la circonference AEDA est à un arc quelconque AED pris depuis l'origine A jul

FFff iij

SPIRALES.