ry

qu'au point D où se trouve le rayon CD quand le point
mobile C se trouve en même temps au point B de la spirale,
comme le rayon CD que parcourt le point mobile c pen-
dant
que

le

rayon CD ou CA parcourt la circonference entiere, est à la partie CB du même rayon que parcourt le même point C pendant que le rayon CA ou CD parcourt l'arc AED.

Ainsi nommant le rayon r; sa partie CB prise pour abscisse, x; la circonference AEDA, C; & chacun des arcs AED pris pour ordonnées, y; la proportion précedente s'exprimera ainsi, c.y::7.x; ce qui donne l'équation à la spirale cx=ty, ou x=

REMARQUES.

I. 451. On

N remarquera que quand le point mobile c est arrivé en A, il peut contenuer de se mouvoir; & dans une seconde revolution, il décrira une seconde partie de la spirale ; dans une troisiéme revolution, une troisième partie de la spirale, & ainsi à l'infini; ce qui est cause que le rayon prolongé CA rencontre la spirale en une infinité de points ; & que l’abfcisse x peut avoir une infinité de valeurs par raport

à tous
ces points.

II.
452. On peut encore concevoir que le point mobile C peut
se mouvoir de C jusqu'à A, de maniere

que

le
raport

de la
circonference AEX (c) à l'arc AED (y), soit le même que
celui d'une puissance quelconque m (m represente un nom-
bre quelconque entier ou rompu ) du rayon CA{r") à une

à femblable puissance de l'abscisse CB(*"); & l'on aura pour l'équation de ces spirales à l'infini c x

ny, OU X

=

III.
45 3 Outre ces spirales, l'on en peut encore imaginer d'autres

d'une infinité de sortes, parmi lesquelles on fera seulement
ici remarquer la spirale logarithmique, dont la proprieté est
que la tangente BT à un point quelconque B, fait toujours
le même angle au point B avec le rayon BC. Mais l'équa.
tion necessaire pour exprimer cette spirale, employe le calcul
differentiel dont on ne parlera que dans la partie qui suit.

m

m

m

m

cy.

4!

On remarquera seulement que cette spirale ne commence
pas au centre c d'où partent les rayons CA, CD, comme
les précedentes.

DES CYCLOÏDE S.
4S4. Si l'on imagine que le cercle AFE roule sur la droite ED, F16. XXXV.

& si l'on conçoit que le point A décrit en même temps une
courbe AfD sur le même plan où est la ligne ED & le cer-
cle AFE qu'on appelle generateur, cette courbe se nomme
cycloïde. Si l'on tire par tous les points F de la demi-circon-
ference AFE, une droite Ff parallele à la base ED, jusqu'à
la cicloïde en f, la droite Ff est toujours égale à la longueur
de l'arc AF, & la base ED est égale à la demi-circonference
AFE. Car il est évident que quand le point A est arrivé au
point D, tous les points de la demi-circonference AFE, à
commencer du point E, ont été appliqués successivement sur
les points de la base ED, & qu'ainsi toute la demi-circon-
ference EF A a été, pour ainsi dire, mesurée par la base ED,
qui lui est par consequent égale; & que quand le point A
est arrivé au point f de la cycloïde , si l'on trace le demi-
cercle generateur afe par ce pointf, en faisant ae perpendi-
culaire sur ED, Ee est la mesure de l'arc qui en roulant s'est,
pour ainsi dire, mesuré sur E e, lequel arc est visiblement
égal à l'arc AF, ou af qui est celui qu'a décrit pendant ce
mouvement le point A depuis A jusqu'en F, ou depuis a
jusqu'en f, en tournanç sur son centre, pendant qu'en avan-
çant, le cercle generateur roulant toujours, le même point A
à décrit la partie de cycloïde Af. Or Bb étant égale à Ee,
& BF à bf, il est évident que Ff= Ee= à l'arc AF ou af.

:
Ainli prenant la demi-circonference AFE pour la ligne
des coupées, & les droites Ff pour les ordonnées, & nom-
mant la demi-circonference AFE(c), la base ED (6), cha-
que coupée AF(2), l'ordonnée Ffly), l'on aura c. b
ce qui donnera l'équation à la cycloïdey=bz; ou bien,

parceque c=6, l'équation sera y=%
45S; Si l'on prolonge f F jusqu'à B, & qu'on nomme Bf(y),
AE(a), AB(x), AF(x), il est évident que l'ordonnée B1

*
est égale à l'arc AF(x), & de plus à la perpendiculaire BF,
qui est égale * à VAB x BE=Vax - xx'; ainsi l'on aura * 287.
encore y=k+ Vax ---- *x pour l'équation à la cycloïde.

ولا :7 ::

456.

*

A

e

458.

C'est encore une proprieté de la cycloïde, qu'on démontrera dans la seconde partie , que chacun des arcs de la cycloïde, comme Af, est double de la corde AF de l'arc

correspondant AF ; ainsi nonimant toujours AE (a), AB(x); 288. l'arc Afls); la corde AF sera égale * à Vax, & l'on aura pour une troisiéme équation de la cycloïde s = 2Vax.

REMARQUES.

I. 457. La cycloïde a beaucoup de proprieres & d'usages qui ont

été découverts de notre temps ; & de plus l'on a distingué trois fortes de cycloïdes à qui convient l'équation y=42;

à 1", quand b=i, c'est la cycloïde ordinaire ; 2°, quand 6 furpasse c, c'est la cycloïde allongée ; 3.', quand' b est moindre que c, c'est la cycloïde racourcie. c

I I. Il y a même une infinité d'autres fortes de cycloïdes, qui ont pour base ED une courbe ; elles se forment en concevant que le cercle generateur roulant sur une circonference ou sur une autre courbe , un point pris dans la circonference du cercle generateur, ou dans un des rayons au dehors ou au dedans du cercle , décrit fur le plan où est ce cercle une espece de cycloïde, qu'on appelle epicycloïde. On doit bientốt voir un sçavant traité de toutes ces cycloïdes composé par M. Nicole.

ΙΙ Ι. 459.

On
peut concevoir

que le cercle generareur fair une infinité de rours sur la base prolongée à l'infini; ainsi chaque cycloïde peut s'étendre à l'infini, excepté une espece d'epicycloïde autour de la circonference pour base, qui revenant aux mêmes points, est bornée à n'avoir qu'un nombre déterminé de parties toutes semblables, & elle est geometrique.

DE LA COURBE LOGARITHMIQUE. 460. Soit une droite AL prolongée de côté & d'autre à l’infic, XXXVI. fini , & conçue partagée en parties égales les plus petites

qu'on puisse imaginer, AC, CĒ, EG, &c. & qu'il y ait fur les divisions les droites paralleles AB, CD, EF, &c. qui fassene une progression geometrique ; la courbe BDFH, &c. qui

OIT

passe par toutes les extremités de ces droites proportionelles,
s'appelle la logarithmique , dont les coupées sont sur la droite
AL, & les ordonnées sont AB, CD, &c. Cette courbe a
plusieurs proprietés de grand usage ; mais comme l'on ne
peut gueres les exprimer que par le calcul differentiel, on
fera leulement remarquer ici que comme les parties de la
ligne des coupées font une progression arithmetique, & les
ordonnées correspondantes une progression geometrique; &
que quand tous les termes d'une progression arithmetique
sont correspondants pris de suite aux termes d'une progres-
sion geometrique aulli pris de suite, les termes de la progress
fiori arithmetique s'appellent les logarithmes des termes de
la progression geometrique ; la courbe logarithmique con-
tient les uns & les autres, & c'est delà qu'elle tire son nom.
Ainsi prenant A B pour l'unité, & A pour le point où com-
mencent les logarithmes, la partie A BML contient les
nombres qui surpassent l'unité & leurs logarithmes corres-
pundants; & l'autre partie AghB contient les nombres moin-
dres
que

l'unité & leurs logarithmes correspondants, & le
logarithme de l'unité est zero.

Avertissement.
Ce que l'on vient de dire des courbes mechaniques suffit
pour en donner ici une idée aux Lecteurs ; & pour n'oublier
aucune des courbes qu’on a imaginées jusqu'à present : on va
expliquer en peu de mots les courbes qu'on appelle exponen-
tielles & parcourantes.
DES COURBES QU'ON APPELLE exponentielles

ET parcourantes,
461. Les grandeurs comme a, **, *", x,&c. qui sont des conf-

tantes comme a, ou des changeantes comme x, y, &c. éle-
vées à des puissances, dont l'exposant x, y, z est une gran-
deur changeante, s'appellent exponentielles ou parcourantes. Les
équations qui contiennent de ces sortes de grandeurs, ont le
même nom, comme aussi les courbes dont le raport com.
mun à tous les points de leur contour s'exprime par ces
sortes d’équations.

Par exemple, en nommant x les abscisses AC, AE, &c. Fig. XXXVI.
depuis l'origine A, & y les ordonnées CD, EF, &c. & une
grandeur constante a ; supposé que la courbe BDFH, &c.

GGg.

a

=y

s'exprime par cette équation a* =y, quelques-uns la nomment exponentielle , d'autres parcourante ; de même x* =y, ou x=9,x=y, sont des équations de courbes parcourantes, =y

, Pour le former une idée distincte de ces courbes, li a:=y est l'équation de la courbe BDF, il faut concevoir que la premiere ordonnée CD (y) est égale à la constante a élevée à la puissance dont l’exposant est l'abscisse correspondante AC(*). La seconde EF (y) est égale à la constante a élevée à la puissance de la seconde abscisle AE(x); & ainsi des ordonnées suivantes,

Si ** =y est l'équation de la courbe, il faut concevoir que CD() = AC(x) élevée à la puissance dont l'exposant est AC(x), que EF (y) = AE (x) élevée à la puissance dont l'exposant est AE(X), & ainsi des autres. D'où l'on conçoit aisément la courbe dont xy = y seroit l'équation : Mais quand l'équation est, par exemple, x=y, dans laquelle l'exposant z est une changeante differente de x & de y, l'on conçoit une autre courbe Adpe, dont l'une des coordonnées ACE,&c. est commune avec celle de la courbe parcourante, & dont on sçait le raport dechacune des ordonneesCS, E$,&c, qui sont les z, avec les abscisses correspondantes communes

༢ AC, AE, &c. qui sont les x.

Les équations exponentielles peuvent avoir plusieurs termes, comme x* + x = y + y.

Les exposants changeants x, y, &c. des grandeurs expo. nentielles peuvent eux-mêmes être élevés

à des puissances dont les exposants soient aussi changeants, ce qui fait distinguer ces grandeurs exponentielles & leurs courbes en plu. sieurs

genres, dont celles qui précedent font le premier : Le fecond est, par exemple, ***=yy',& ainsi à l'infini,

siv