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DEMONTRE'E. qu'au point D où fe trouve le rayon CD quand le point mobile C fe trouve en même temps au point B de la spirale, comme le rayon CD que parcourt le point mobile Ĉ pendant que le rayon CD ou CA parcourt la circonference entiere, eft à la partie CB du même rayon que parcourt le même point C pendant que le rayon CA ou CD parcourt

l'arc AED.

Ainfi nommant le rayon r; fa partie CB prife pour abfciffe, x; la circonference AEDA, c; & chacun des arcs AED pris pour ordonnées, y; la proportion précedente s'exprimera ainfi, c. y :: r. x ; ce qui donne l'équation à la spirale cx—ry,

ou x=1.

REMARQUES.

I.

451. On remarquera que quand le point mobile C est arrivé ON N en A, il peut conttnuer de fe mouvoir; & dans une feconde revolution, il décrira une feconde partie de la spirale; dans une troifiéme revolution, une troifiéme partie de la spirale, & ainfi à l'infini, ce qui eft caufe que le rayon prolongé CA rencontre la fpirale en une infinité de points; & que l'abfciffe x peut avoir une infinité de valeurs par raport à tous ces points.

452.

453.

I I.

On peut encore concevoir que le point mobile C peut fe mouvoir de C jufqu'à A, de maniere que le raport de la circonference AEA (c) à l'arc AED (y), foit le même que celui d'une puiffance quelconque m (m reprefente un nombre quelconque entier ou rompu) du rayon CA(r") à une femblable puiffance de l'abfciffe CB (x") ; & l'on aura pour l'équation de ces fpirales à l'infini cx =ry, ou x

I I I.

m

m

m

m

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Outre ces fpirales, l'on en peut encore imaginer d'autres d'une infinité de fortes, parmi lesquelles on fera feulement ici remarquer la fpirale logarithmique, dont la proprieté eft que la tangente BT à un point quelconque B, fait toujours le même angle au point B avec le rayon BC. Mais l'équation neceffaire pour exprimer cette spirale, employe le calcul differentiel dont on ne parlera que dans la partie qui fuit.

On remarquera feulement que cette fpirale ne commence
pas au centre C d'où partent les rayons CA, CD, comme
les précedentes.

DES CYCLOÏDES.

454. Si l'on imagine que le cercle AFE roule fur la droite ED, FIG. XXXV. & fi l'on conçoit que le point A décrit en même temps une courbe AfD fur le même plan où eft la ligne ED & le cercle AFE qu'on appelle generateur, cette courbe fe nomme cycloïde. Si l'on tire par tous les points F de la demi-circonference AFE, une droite Ff parallele à la base ED, jusqu'à la cicloïde en f, la droite Ff eft toujours égale à la longueur de l'arc AF, & la base ED eft égale à la demi-circonference AFE. Car il est évident que quand le point A eft arrivé au point D, tous les points de la demi-circonference AFE, à commencer du point E, ont été appliqués fucceffivement fur les points de la bafe ED, & qu'ainfi toute la demi-circonference EFA a été, pour ainfi dire, mèfurée par la base ED, qui lui eft par confequent égale, & que quand le point A eft arrivé au point ƒ de la cycloïde, fi l'on trace le demicercle generateur afe par ce point f, en faifant ae perpendiculaire fur ED, Ee eft la mesure de l'arc qui en roulant s'eft, pour ainfi dire, mesuré fur Ee, lequel arc eft visiblement égal à l'arc AF, ou af qui eft celui qu'a décrit pendant ce mouvement le point A depuis A jufqu'en F, ou depuis a jufqu'en f, en tournant fur fon centre, pendant qu'en avançant, le cercle generateur roulant toujours, le même point A a décrit la partie de cycloïde Af. Or Bb étant égale à Ee, & BF à bf, il est évident que Ff=Ee=à l'arc AF ou af.

Ainfi prenant la demi-circonference AFE pour la ligne
des coupées, & les droites Ff pour les ordonnées, & nom-
mant la demi-circonference AFE (c), la base ED (b), cha-
que coupée AF (2), l'ordonnée Ff(y), l'on aura c. b :: 2.y»
::༢.,
ce qui donnera l'équation à la cycloïde y; ou bien,
parceque cb, l'équation fera y -༢.

455. Si l'on prolonge fF jufqu'à B, & qu'on nomme Bf(y),
AE(a), AB(x), AF(z), il est évident que l'ordonnée B
est égale à l'arc AF (z), & de plus à la perpendiculaire BF,
qui est égale * à√AB × BE =√ax —xx; ainsi l'on aura
encore y√ax
ax-xx pour l'équation à la cycloïde.

287.

456.

C'est encore une proprieté de la cycloïde, qu'on démontrera dans la feconde partie, que chacun des arcs de la cycloïde, comme Aƒ, eft double de la corde AF de l'arc correspondant AF; ainsi nonimant toujours AE (a), AB(x); 288. l'arc Af(s); la corde AF fera égale à Vax, & l'on aura pour une troisième équation de la cycloïde s = 2Vax.

A

*

REMARQUES.

I.

457. La cycloïde a beaucoup de proprietés & d'usages qui ont été découverts de notre temps; & de plus l'on a diftingué trois fortes de cycloïdes à qui convient l'équation y=; I", quand b=c, c'eft la cycloïde ordinaire; 2°, quand 6 furpaffe c, c'eft la cycloïde allongée ; 3°, quand b eft moindre que c, c'eft la cycloïde racourcie.

458.

459.

re

I I.

Il y a même une infinité d'autres fortes de cycloïdes, qui ont pour base ED une courbe; elles fe forment en concevant que le cercle generateur roulant fur une circonference ou fur une autre courbe, un point pris dans la circonference du cercle generateur, ou dans un des rayons au dehors ou au dedans du cercle, décrit fur le plan où eft ce cercle une efpece de cycloïde, qu'on appelle epicycloïde. On doit bientôt voir un fçavant traité de toutes ces cycloïdes compofé par M. Nicole.

I I I.

On peut concevoir que le cercle generateur fait une infinité de tours fur fa bafe prolongée à l'infini; ainfi chaque cycloïde peut s'étendre à l'infini, excepté une espece d'epicycloïde autour de la circonference pour base, qui revenant aux mêmes points, eft bornée à n'avoir qu'un nombre déterminé de parties toutes semblables, & elle est geometrique.

DE LA COURBE LOGARITHMIQUE.

460. SOIT une droite AL prolongée de côté & d'autre à l'inF16, XXXVI, fini, & conçue partagée en parties égales les plus petites

qu'on puiffe imaginer, AC, CE, EG, &c. & qu'il y ait fur les divifions les droites paralleles AB, CD, EF, &c. qui faffent une progreffion geometrique, la courbe BDFH, &c. qui

paffe

paffe par toutes les extremités de ces droites proportionelles,
s'appelle la logarithmique, dont les coupées font fur la droite
AL, & les ordonnées font AB, CD, &c. Cette courbe à
plufieurs proprietés de grand ufage; mais comme l'on ne
peut gueres les exprimer que par le calcul differentiel, on
fera feulement remarquer ici que comme les parties de la
ligne des coupées font une progreffion arithmetique, & les
ordonnées correfpondantes une progreffion geometrique; &
que quand tous les termes d'une progreffion arithmetique
font correspondants pris de fuite aux termes d'une progref-
fion geometrique auffi pris de fuite, les termes de la progref
fiort arithmetique s'appellent les logarithmes des termes de
la progreffion geometrique; la courbe logarithmique con-
tient les uns & les autres, & c'eft delà qu'elle tire fon nom.
Ainfi prenant AB pour l'unité, & A pour le point où com-
mencent les logarithmes, la partie A B ML contient les
nombres qui furpaffent l'unité & leurs logarithmes corres-
pondants; & l'autre partie Agh B contient les nombres moin-
dres que l'unité & leurs logarithmes correfpondants, & le
logarithme de l'unité est zero.

Avertiffement.

Ce que l'on vient de dire des courbes mechaniques fuffit
pour en donner ici une idée aux Lecteurs ; & pour n'oublier
aucune des courbes qu'on a imaginées jufqu'à prefent: on va
expliquer en peu de mots les courbes qu'on appelle exponen-
tielles & parcourantes.

DES COURBES QU'ON APPELLE exponentielles
ET parcourantes,

461. LES grandeurs comme a*, **, **, **, &c. qui font des conf-
tantes comme 4, ou des changeantes comme x, y, &c. éle-
vées à des puiffances, dont l'expofant x,y,z eft une gran
deur changeante, s'appellent exponentielles ou parcourantes. Les
équations qui contiennent de ces fortes de grandeurs, ont le
même nom; comme auffi les courbes dont le raport com-
mun à tous les points de leur contour s'exprime par ces
fortes d'équations.

Par exemple, en nommant x les abfciffes AC, AE, &C. F16,XXXVI. depuis l'origine A, & y les ordonnées CD, EF, &c. & une grandeur conftante as fuppofé que la courbe BDFH, &c.

GG gg

s'exprime par cette équation a*=y, quelques-uns la nom. ment exponentielle, d'autres parcourante ; de même x*=y, ou x=y, x2=y, font des équations de courbes parcourantes.

Pour le former une idée distincte de ces courbes, fi a2= y eft l'équation de la courbe BDF, il faut concevoir que la premiere ordonnée CD (y) eft égale à la conftante a élevée à la puiffance dont l'expofant eft l'abfciffe correfpondante AC(x). La feconde EF (y) est égale à la constante a élevée à la puissance de la feconde abfcifle AE( x); & ainsi des ordonnées fuivantes,

Si x*y eft l'équation de la courbe, il faut concevoir que CD (y)= = AC (x) élevée à la puiffance dont l'expofant eft AC (x), que EF (y) = AE (x) élevée à la puiffance dont AE(x) l'expofant eft AE(x), & ainfi des autres. D'où l'on conçoir aifément la courbe dont xy feroit l'équation : Mais quand l'équation eft, par exemple, xy, dans laquelle l'expofant eft une changeante differente de x & dey, l'on conçoit une autre courbe Ade, dont l'une des coordonnées ACE, &c. eft commune avec celle de la courbe parcourante, & dont on fçait le raport de chacune des ordonnées C,E4,&c, qui font lesz, avec les abfciffes correfpondantes communes AC, AE, &c. qui font les x.

Les équations exponentielles peuvent avoir plusieurs termes, comme x2 + x2 = y¥ +y.

Les expofants changeants x, y, &c. des grandeurs expo. nentielles peuvent eux-mêmes être élevés à des puiffances dont les expofants foient auffi changeants, ce qui fait distin guer ces grandeurs exponentielles & leurs courbes en plu. fieurs genres, dont celles qui précedent font le premier: Le second est, par exemple, x**— y›', & ainsi à l'infini,

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