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SECTION I V.
De l'usage que fait l'Analyse des courbes pour résoudre
les équations déterminées, ég les Problemes des

sciences
Physico-Mathematiques.
Usage que l'Analyse fait des courbes geometriques, pour

résoudre les équations déterminées.

Principe d'oue l'Analyse déduit cet usage.
462. En supposant que les équations à la ligne droite & à toutes

les courbes geometriques de tous les genres ont leurs cou-
pées representées par la même inconnue, par exemple x ou
*, &c. & leurs ordonnées aulli exprimées par la même incon-
nue, comme y ou 2, &c, si en se servant de deux de ces
équations quelconques, on fait évanouir l'inconnue de la
coupée, de maniere que la troisiéme équation que l'on for-
mera de ces deux autres, n'ait que la seule inconnue y de
l'ordonnée ; les deux lignes dont on a pris les équations pour
faire évanouir x, se peuvent couper en autant de points que
l'inconnue y a de dimensions dans le premier terme de la
troisiéme équation dont y est la seule inconnue.

Par exemple, si l'on prend la valeur de x dans l'équation
à la ligne droite x=y, & qu'on la fubstitue dans une
équation de laquelle on voudra des sections coniques, com-
me dans px=yy, qui est l'équation à la parabole ; on aura
la troisiéme équation yy - y=0, dans laquelle y étant
au second degré, marque qu'une ligne droite peul couper
une parabole en deux points;, & comme il y a une valeur

cela

marque que les coupées de l'équation à la ligne droite commençant au même point où commencent les coupées de l'équation à la parabole, auquel pointy=0; le premier point où la ligne droite coupe la parabole est au fommer , c'est à dire à l'origine des x & des 9, puisque y s’y trouve égal à zero. Mais si l'origine des coupées de l'équation de la ligne droite étoit à un autre point qu'à l'origine des x & des y, y auroit deux valeurs réelles dans la troisième équation qu'on trouveroit en faisant évanouir x par les deux autres,

GGgg ij

de y=0,

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De même prenant la valeur de x dans l'équation de la parabole px=yy, qui est *=*; & la substituant dans l'équation par exemple du cercle, qui est yy=dx — xx, on trouve la troisiéme équation - $yy + yy=0, dans laquelle gi a quatre dimensions ; ce qui fait voir que le cercle peut couper la parabole en quatre points , dont il y en a deux de confondus au sommet de la parabole où est l'origine des * & des y, parceque y a deux valeurs égales à zero dans la troisiéme équation précedente: mais quand l'origine des coupées est differente dans la parabole & le cercle, ya quatre valeurs réelles dans la troisiéme équation que l'on trouve par le moyen des deux équations à la parabole & au cercle.

On trouvera de même qu'en prenant deux équations de deux sections coniques quelconques, y aura quatre dimensions dans le premier terme de la troisiéme équation qui naîtra de l'évanouissement de x par leur moyen ; ainsi deux sections coniques peuvent

se

couper en quatre points; que y aura six dimensions dans le premier terme de la troisieme équation qui naîtra de l'évanouissement de x par le moyen de deux équations, l'une d'une section conique quelconque, & l'autre d'une courbe du second genre; & qu'ainsi une courbe du premier genre en peut couper une du second en six points,

On peut de la même maniere trouver en combien de points une courbe geometrique quelconque peut être coupée par une ligne droite, par une courbe du premier genre, par une courbe du troisiéme , &c,

E x E M P L E. FIG. XIX. LA parabole ACc dont l'axe est AB b, le parametre AP

=p, les x = AB, Ab; les y BC, bc, a pour équation yy - px=o. La ligne droite SCc, en supposant SA=A; AT parallele à BC menée par A égale à b; & prenant les x sur AB du même point À d'où l'on prend les x de la parabole, aura pour abscisse SB=a + x, & pour ordonnée BC Sy, &

=y; d'où l'on tire

x = si l'on met cette valeur de x dans l'équation de la parabole, on aura la troisiéme équation yg

pour équation abxbx

ay - ab

b j

apy + abp

=o, dans

39.

laquelle y a deux valeurs positives, * qui sont celles des deux *
ordonnées BC(y), bc(y), menées des deux points C, coù 8. Cor.
la droite SCC, dont l'équation est x=%*, coupe la para-
bole ACC, dont l'équation est yy — px=0; lesquelles deux
ordonnées communes à la droite & à la parabole, sont deve.
nues déterminées par la commune intersection de la droite
& de la parabole.
Cet exemple suffit pour

faire clairement concevoir le prina
cipe, & pour faire voir en même temps qu'elle en est la
raison; avec quelle justesse l’Analyse s'accorde avec la Geo-
metrie, & comment elle fait découvrir avec le seul calcul
les proprietés des figures les plus compofées jointes les unes
avec les autres, & comment reciproquement la Geometrie
exprime par ses figures les resolutions des Problêmes décou-
vertes par l'Analyse; c'est ce qu'on verra mieux par l'usage ring
que l’Analyse fait de ce principe.

Usage que l'Analyse fait du principe précedent, pour former

la methode de trouver exactement par les figures de la
Geometrie, les lignes qui sont les valeurs des racines des
équations déterminées qui donnent la résolution des
Problêmes déterminés' de quelque degré que puissent être
ces équations. C'est cette methode qu'on nomme la cons-

truction des équations.
463. Il suit du principe précedent, que pour trouver les lignes

qui sont les valeurs des racines d'une équation déterminée
quelconque, c'est à dire de quelque degré qu'elle puisse être,
dont l'inconnue est par exemple R; r°, il faut trouver deux
équations dans chacune desquelles l'une des inconnues, par
exemple celle qui marque les ordonnées, soitz ; & l'autre
qui exprime les coupées, soit une autre inconnue comme u
aussi commune à ces deux équations'; & que ces équations
comprennent aussi, non chacune, mais les deux ensemble,
toutes les grandeurs connues de l'équation qu'on veut resou.
dre , & enfin qu'elles soient telles qu'en faisant évanouir 1,520 vite
l'inconnue u par leur moyen, la troisiéme équation qui en
viendra soit precisément Péquation proposée à resoudre s';

GGgg iij

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zu +

ad

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464. Par exemple fi on veut resoudre l'équation du quatrieme

degré zt -- nz + 72 - 92+?= 0, il faut trouver deux
équations comme zu — V1=, qui est une équation à l'hy-
perbole par raport aux asymptotes , & m— nz + p - men
+ uu=0, qui est une équation au cercle, qui font telles
qu'en met:cant dans la seconde les valeurs de u, uu, qui font
*=, nu = e l'on a pour troisiéme équation la pro-
posée.

2°. Il faut tracer les courbes des deux équations qu'on a
trouvées en commençant par laquelle on voudra, par exem-
ple on tracera d'abord l'hyperbole équilatere de l'équation

Vr = 0; ou bien (en fuppofant, pour ne pas se servir d'incommensurables, Vr=aa) de l'équation zu

en cirant les deux droites perpendiculaires OR, OH; &
Fic.XXXVII. prenant OR & la perpendiculaire Rr à OR, chacune = a, &

traçant par r l'hyperbole dont OR, OH seront les asympto-
tes; aprés quoi nommant 0C (6), & BC(), l'on aura BC *
OC (zu) = OR * Rr(aa=Vr)

L'hyperbole étant ainsi tracée, il faut ensuite décrire le
cercle dont l'équation est za nz + Bu — v.+p=0;
& il le faut faire de telle maniere, que les ordonnées z du
cercle soient sur les ordonnées BC(z)de l'hyperbole, ou bien
qu'elles leur soient paralleles, & qu'elles ayent la même ori-

gine ; & qu'il en foit de même des coupées du cercle & de
436. ' 'hyperbole. Mais les termes nz, Liu, marquant*que l'équa-

tion est à une ligne parallele au diametre , il faut
F16. XXIX. cette équation du cercle avec l'équation indéterminée du
436. cercle ** 212 + uu

ziu t ll + ii Add = 0,& sup-
poser que ces deux équations font la même équation, c'est
à dire, que leurs termes correspondants sont égaux ; ' s'il y
avoit eû le terme uz dans l'équation du cercle, il auroit falu
la comparer avec l'équation indéterminée du cercle où le
trouve uz*)certe supposition donnera les équations particu-
lieres propres à déterminer les valeurs de la i, d, par raport
à l'équation zz --- 12 + xu - +p=0;& l'on trou-
vera l=ini=wind=Vll+ i-p=Vinn+

Vinn+1-P

PE
Fic.XXXVII. Pour décrire à prefent le cercle de cette équation de la

maniere propre à donner les facines de la proposée, il faut
de Porigine o prendre sur la ligné OH des ordonnées 2 de

il faut comparer

*

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436

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99
41

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l'hyperbole, qu'on suppose aussi être la ligne des ordonnées
du cercle, la ligne OH =l=in; si la valeur de l=in
eût été négative, il auroit falu prendre O H= -n für HO.
prolongée de l'autre côté de l'origine O; ce qu'il faut remar-
quer pour la suite: Aprés cela il faut élever par le point H
la perpendiculaire HK=i= wrflaai le point K sera le
centre du cercle qu'il faut décrire. C'est pourquoi du cen-
cre K avec le rayon vinn + p, il faut décrire la cir-
conference BBBA, & mener des quatre points B, B, &c.
où elle coupe l'hyperbole, les quatre lignes BC perpendicu-
laires sur la ligne OH des 2, & ces quatre lignes BC déter-
mineront les
quatre lignes OC, OC, &c. qui seront les

quatre
valeurs exactes de z dans l'équation proposée «*, &c. ou, fi
l'on veut , leurs quatre paralleles & égales BC, BC, &c.
car le cercle BBBA B a pour équation par la construction,
22 n2+ uuou +p=0;& on peut encore le démon
trer ainsi, FB=OC OH=2-N, KF=KH - FH
3 -- H; & le rayon du cercle KB= =Vinn +

Vinn +

- p. Or à cause du triangle rectangle KFB, (on imagine facile. ment la ligne KB, qui n'est pas marquée dans la figure 37) KB* =KF* + FB?; ce qui donne en mettant les valeurs de ces quarrés, l'équation précedente du cercle. L'équation de l'hyperbole est ausli zu Vr=o par la construction ; d'où prenant la valeur de u=*, & la substituant dans l'équation precedente du cercle, on trouve precisément l'équation proposée 2*, &c.

On remarquera sur cette construction, 1°, qu'on peut trouver sur la figure même le rayon KB=vion +

Von + P fans en faire d'autre à part; car il n'y a qu'à imaginer l'hypothenuse OK du triangle rectangle oH K qui sera égale à Vinn +91; faire ensuite le demi - cercle dont elle sera le diametre, & y inscrire la corde 0 A=VP, & l'autre corde KA, étant le côté du triangle rectangle dont l'hypothenuse est OK =VInn + 14, & le côté OA=vp; l'autre côté KA sera égal à Vin + p, & sera par consequent le rayon

du cercle de l'équation precedente. 466. 2°. Si le cercle coupoir ses hyperboles opposées, les valeurs

de & qus donneroient les intersections de l'hyperbole BB,

465.

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