Imágenes de páginas
PDF
EPUB
[blocks in formation]

De l'usage que fait l'Analyfe des courbes pour réfoudre les équations déterminées, & les Problêmes des fciences Phyfico-Mathematiques.

Ufage que l'Analyse fait des courbes geometriques, pour réfoudre les équations déterminées.

Principe d'où l'Analyse déduit cet ufage.

462. EN fuppofant que

N fuppofant que les équations à la ligne droite & à toutes les courbes geometriques de tous les genres ont leurs coupées representées par la même inconnue, par exemple x ou u, &c. & leurs ordonnées auffi exprimées par la même inconnue, comme y ou z, &c. fi en fe fervant de deux de ces équations quelconques, on fait évanouir l'inconnue de la coupée, de maniere que la troifiéme équation que l'on formera de ces deux autres, n'ait que la feule inconnue y de ey l'ordonnée, les deux lignes dont on a pris les équations pour faire évanouir x, fe peuvent couper en autant de points que l'inconnue y a de dimenfions dans le premier terme de la troifiéme équation dont y eft la feule inconnue.

Par exemple, fi l'on prend la valeur de x dans l'équation à la ligne droite x= ty, & qu'on la fubftitue dans une équation de laquelle on voudra des fections coniques, comme dans px=yy, qui eft l'équation à la parabole; on aura la troifiéme équation yyyo, dans laquelle y étant au fecond degré, marque qu'une ligne droite peut couper une parabole en deux points, & comme il y a une valeur de yo, cela marque que les coupées de l'équation à la ligne droite commençant au même point où commencent les coupées de l'équation à la parabole, auquel point y=0; le premier point où la ligne droite coupe la parabolé eft au fommet, c'eft à dire à l'origine des x & desy, puifque y s'y trouve égal à zero. Mais fi l'origine des coupées de l'équation de la ligne droite étoit à un autre point qu'à l'origine des x & des y, y auroit deux valeurs réelles dans la troifiéme équation qu'on trouveroit en faifant évanouir x par les deux GG gg ij

autres.

PP

=

De même prenant la valeur de x dans l'équation de la parabole px =yy, qui eft x = 22; & la substituant dans l'équation par exemple du cercle, qui eft yy dx — xx, on trouve la troifiéme équation dyyyy=0, dans laquelle y a quatre dimenfions; ce qui fait voir ce qui fait voir que le cercle peut couper la parabole en quatre points, dont il y en a deux de confondus au fommet de la parabole où eft l'origine des x & des y, parceque y a deux valeurs égales à zero dans la troifiéme équation précedente: mais quand l'origine des coupées eft differente dans la parabole & le cercle, y a quatre valeurs réelles dans la troifiéme équation que l'on le moyen des deux équations à la parabole & au

trouve par

cercle.

On trouvera de même qu'en prenant deux équations de deux fections coniques quelconques, y aura quatre dimenfions dans le premier terme de la troifiéme équation qui naîtra de l'évanouiffement de x par leur moyen; ainfi deux fections coniques peuvent fe couper en quatre points; que y aura fix dimensions dans le premier terme de la troifiéme équation qui naîtra de l'évanouiffement de x par le moyen de deux équations, l'une d'une fection conique quelconque, & l'autre d'une courbe du fecond genre, & qu'ainfi une courbe du premier genre en peut couper une du fecond en fix points.

On peut de la même maniere trouver en combien de points une courbe geometrique quelconque peut être coupée par une ligne droite, par une courbe du premier genre, par une courbe du troifiéme, &c.

EXEMPLE.

FIG. XIX. LA parabole ACc dont l'axe eft ABb, le parametre AP =p, les x = AB, Ab ; les y — BC, be, a pour équation yy -pxo. La ligne droite SCc, en fuppofant SA= a; AT parallele à BC menée par A égale à b; & prenant les x fur AB du même point A d'où l'on prend les x de la parabole, aura pour abfciffe SB = a + x, & pour ordonnée BC =y, & pour équation ab+bx =y; d'où l'on tire x = fi l'on met cette valeur de x dans l'équation de la parabole, on aura la troisième équation yy

a

apy + abp

ay-ab

[ocr errors]

o, dans

b

39.

laquelle y a deux valeurs pofitives,* qui font celles des deux **
ordonnées BC (y), bc (y), menées des deux points C, c où 8 Cor.
la droite SCc, dont l'équation eft x=4, coupe la para-
bole ACc, dont l'équation eft yy px=0; lefquelles deux'
ordonnées communes à la droite & à la parabole, font deve-
nues déterminées par la commune interfection de la droite
& de la parabole.

[ocr errors]

Cet exemple fuffit pour faire clairement concevoir le prin cipe, & pour faire voir en même temps qu'elle en est la raison; avec quelle jufteffe l'Analyfe s'accorde avec la Geometrie, & comment elle fait découvrir avec le feul calcul les proprietés des figures les plus compofées jointes les unes avec les autres, & comment reciproquement la Geometrie exprime par fes figures les refolutions des Problêmes décou vertes par l'Analyfe, c'eft ce qu'on verra mieux par l'usage que l'Analyse fait de ce principe.

Ufage que l'Analyse fait du principe précedent, pour former
la methode de trouver exactement, par les figures de la
Geometrie, les lignes qui font les valeurs des racines des
équations déterminées qui donnent la réfolution des
Problêmes déterminés de quelque degré que puiffent être
équations. C'est cette methode qu'on nomme la conf-
truction des équations.

463. IL fuit du principe précedent, que pour trouver les lignes
qui font les valeurs des racines d'une équation déterminée
quelconque, c'est à dire de quelque degré qu'elle puiffe être,
dont l'inconnue est par exemple ; 1o, il faut trouver deux
équations dans chacune defquelles l'une des inconnues, par
exemple celle qui marque les ordonnées, foit & l'autre
qui exprime les coupées, foit une autre inconnue comme z
auffi commune à ces deux équations; &n
que ces équations
comprennent auffi, non chacune, mais les deux enfemble,
toutes les grandeurs connues de l'équation qu'on veut resou

dre, & enfin qu'elles foient telles qu'en faisant évanouir JVEYAN
l'inconnue z par leur moyen, la troifiéme équation qui en
viendra foit precifément l'équation proposée à refoudré. .')

GG gg iij

464.

Par exemple fi on veut refoudre l'équation du quatriéme degré z+-- nz zt nz2 + PZZ — qzro, il faut trouver deux équations comme zu-Vro, qui eft une équation à l'hyperbole par raport aux afymptotes, & zz―nz+P -14 →uu=o, qui eft une équation au cercle, qui font telles qu'en mettant dans la feconde les valeurs de u, uu, nu = , l'on a pour troifiéme équation la pro

=

pofée.

[ocr errors]

qui font

2°. Il faut tracer les courbes des deux équations qu'on a trouvées en commençant par laquelle on voudra, par exemple on tracera d'abord l'hyperbole équilatere de l'équation ༢% - V; o; ou bien (en fuppofant, pour ne pas fe fervir d'incommenfurables, Vraa) de l'équation zu — aa=0, en tirant les deux droites perpendiculaires OR, OH; & FIG.XXXVII. prenant OR & la perpendiculaire Rr à OR, chacune = a, & traçant par l'hyperbole dont OR, OH feront les afymptotes; après quoi nommant OC (), & BC (2), l'on aura BC × OC(༢@) OC (zu) = OR × Rr(aa=√r) x

*

r

[ocr errors]
[ocr errors]

༡ Traa

L'hyperbole étant ainfi tracée, il faut enfuite décrire le cercle dont l'équation eft zz-nz + Bu — r2 = 1 # + p = 0; & il le faut faire de telle maniere, que les ordonnées z du cercle foient fur les ordonnées BC (de l'hyperbole, ou bien qu'elles leur foient paralleles, & qu'elles ayent la même origine; & qu'il en foit de même des coupées du cercle & de 436. Phyperbole. Mais les termes nz, u, marquant*que l'équation eft à une ligne parallele au diametre, il faut comparer FIG. XXIX. cette équation du cercle avec l'équation indéterminée du 436. cercle*— 2lz + uu ziu + ll + ii — — dd = 0, & fuppófer que ces deux équations font la même équation, c'eft à dire, que leurs termes correfpondants font égaux; (s'il y avoit eû le terme uz dans l'équation du cercle, il auroit falu la comparer avec l'équation indéterminée du cercle où fe trouve #z*) cette fuppofition donnera les équations particulieres propres à déterminer les valeurs de 7, i, d, par raport à l'équation zz - nz + uu — ____√, u+po; & l'on trouveranid Vll → ii — p = √nn →→ 111 → p; 4r P Pour décrire à prefent le cercle de cette équation de la maniere propre à donner les racines de la propofée, il faut de l'origine O prendre fur la ligné OH des ordonnées de

436

FIG.XXXVII.

[ocr errors]
[ocr errors]

97

99

4r

9
2r=2aa

ར༢.

n

l'hyperbole, qu'on fuppofe auffi être la ligne des ordonnées
du cercle, la ligne OH=1=n; fi la valeur de
eût été négative, il auroit falu prendre 0 H =
= n fur HO.
prolongée de l'autre côté de l'origine 0; ce qu'il faut remar-
quer pour la fuite: Aprés cela il faut élever par le point H
la perpendiculaire HK = i= ; le point K fera le
centre du cercle qu'il faut décrire. C'eft pourquoi du cen-
tre K avec le rayon vnn1-p, il faut décrire la cir-
conference BBBA, & mener des quatre points B, B, &c.
où elle coupe l'hyperbole, les quatre lignes BC perpendicu-
laires fur la ligne OH des z, & ces quatre lignes BC déter-
mineront les quatre lignes OC, OC, &c. qui feront les
quatre
valeurs exactes de z dans l'équation propofée z, &c. ou, si
l'on veut, leurs quatre paralleles & égales Bc, Bc, &c.
car le cercle BBBAB a pour équation par la construction,
༢༢. ཀ༢ .+ @w u+p=o; & on peut encore le démon
trer ainsi, FB=OC⋅ OH=2——n, KF= KH—FH
-u; & le rayon du cercle KB = Vinn
√12 nn + 11 — p.
Or à caufe du triangle rectangle KFB, (on imagine facile-
ment la ligne KB, qui n'est pas marquée dans la figure 37)
KB” — KF2 + FB'; ce qui donne en mettant les valeurs de
ces quarrés, l'équation précedente du cercle. L'équation de
l'hyperbole eft auffi
Vro par
༢༠
par la conftruction; d'où
prenant la valeur de z = r, & la fubftituant dans l'équa-
tion précedente du cercle, on trouve precifément l'équation
proposée z, &c.

-

205

4r

2

9

2

[ocr errors]

99

4r

99

465. On remarquera fur cette construction, 1°, qu'on peut trouver fur la figure même le rayon KB =√1m+ 4r P fans en faire d'autre à part; car il n'y a qu'à imaginer l'hypothenuse OK du triangle rectangle OHK qui fera égale à Vinn; faire enfuite le demi- cercle dont elle fera le diametre, & y inscrire la corde OA =√p, & l'autre corde KA, étant le côté du triangle rectangle dont l'hypothenuse est OK =√4nn+, & le côté OA=√p; l'autre côté KA fera égal à vnn+p, & fera par consequent le rayon du cercle de l'équation précedente.

4r

466. 2°. Si le cercle coupoit les hyperboles oppofées, les valeurs de que donneroient les interfections de l'hyperbole BB,

« AnteriorContinuar »