De l'usage que fait l'Analyfe des courbes pour réfoudre les équations déterminées, & les Problêmes des fciences Phyfico-Mathematiques. Ufage que l'Analyse fait des courbes geometriques, pour réfoudre les équations déterminées. Principe d'où l'Analyse déduit cet ufage. 462. EN fuppofant que N fuppofant que les équations à la ligne droite & à toutes les courbes geometriques de tous les genres ont leurs coupées representées par la même inconnue, par exemple x ou u, &c. & leurs ordonnées auffi exprimées par la même inconnue, comme y ou z, &c. fi en fe fervant de deux de ces équations quelconques, on fait évanouir l'inconnue de la coupée, de maniere que la troifiéme équation que l'on formera de ces deux autres, n'ait que la feule inconnue y de ey l'ordonnée, les deux lignes dont on a pris les équations pour faire évanouir x, fe peuvent couper en autant de points que l'inconnue y a de dimenfions dans le premier terme de la troifiéme équation dont y eft la feule inconnue. Par exemple, fi l'on prend la valeur de x dans l'équation à la ligne droite x= ty, & qu'on la fubftitue dans une équation de laquelle on voudra des fections coniques, comme dans px=yy, qui eft l'équation à la parabole; on aura la troifiéme équation yyyo, dans laquelle y étant au fecond degré, marque qu'une ligne droite peut couper une parabole en deux points, & comme il y a une valeur de yo, cela marque que les coupées de l'équation à la ligne droite commençant au même point où commencent les coupées de l'équation à la parabole, auquel point y=0; le premier point où la ligne droite coupe la parabolé eft au fommet, c'eft à dire à l'origine des x & desy, puifque y s'y trouve égal à zero. Mais fi l'origine des coupées de l'équation de la ligne droite étoit à un autre point qu'à l'origine des x & des y, y auroit deux valeurs réelles dans la troifiéme équation qu'on trouveroit en faifant évanouir x par les deux GG gg ij autres. PP = De même prenant la valeur de x dans l'équation de la parabole px =yy, qui eft x = 22; & la substituant dans l'équation par exemple du cercle, qui eft yy dx — xx, on trouve la troifiéme équation dyyyy=0, dans laquelle y a quatre dimenfions; ce qui fait voir ce qui fait voir que le cercle peut couper la parabole en quatre points, dont il y en a deux de confondus au fommet de la parabole où eft l'origine des x & des y, parceque y a deux valeurs égales à zero dans la troifiéme équation précedente: mais quand l'origine des coupées eft differente dans la parabole & le cercle, y a quatre valeurs réelles dans la troifiéme équation que l'on le moyen des deux équations à la parabole & au trouve par cercle. On trouvera de même qu'en prenant deux équations de deux fections coniques quelconques, y aura quatre dimenfions dans le premier terme de la troifiéme équation qui naîtra de l'évanouiffement de x par leur moyen; ainfi deux fections coniques peuvent fe couper en quatre points; que y aura fix dimensions dans le premier terme de la troifiéme équation qui naîtra de l'évanouiffement de x par le moyen de deux équations, l'une d'une fection conique quelconque, & l'autre d'une courbe du fecond genre, & qu'ainfi une courbe du premier genre en peut couper une du fecond en fix points. On peut de la même maniere trouver en combien de points une courbe geometrique quelconque peut être coupée par une ligne droite, par une courbe du premier genre, par une courbe du troifiéme, &c. EXEMPLE. FIG. XIX. LA parabole ACc dont l'axe eft ABb, le parametre AP =p, les x = AB, Ab ; les y — BC, be, a pour équation yy -pxo. La ligne droite SCc, en fuppofant SA= a; AT parallele à BC menée par A égale à b; & prenant les x fur AB du même point A d'où l'on prend les x de la parabole, aura pour abfciffe SB = a + x, & pour ordonnée BC =y, & pour équation ab+bx =y; d'où l'on tire x = fi l'on met cette valeur de x dans l'équation de la parabole, on aura la troisième équation yy a apy + abp ay-ab o, dans b 39. laquelle y a deux valeurs pofitives,* qui font celles des deux ** Cet exemple fuffit pour faire clairement concevoir le prin cipe, & pour faire voir en même temps qu'elle en est la raison; avec quelle jufteffe l'Analyfe s'accorde avec la Geometrie, & comment elle fait découvrir avec le feul calcul les proprietés des figures les plus compofées jointes les unes avec les autres, & comment reciproquement la Geometrie exprime par fes figures les refolutions des Problêmes décou vertes par l'Analyfe, c'eft ce qu'on verra mieux par l'usage que l'Analyse fait de ce principe. Ufage que l'Analyse fait du principe précedent, pour former 463. IL fuit du principe précedent, que pour trouver les lignes dre, & enfin qu'elles foient telles qu'en faisant évanouir JVEYAN GG gg iij 464. Par exemple fi on veut refoudre l'équation du quatriéme degré z+-- nz zt nz2 + PZZ — qzro, il faut trouver deux équations comme zu-Vro, qui eft une équation à l'hyperbole par raport aux afymptotes, & zz―nz+P -14 →uu=o, qui eft une équation au cercle, qui font telles qu'en mettant dans la feconde les valeurs de u, uu, nu = , l'on a pour troifiéme équation la pro = pofée. ༢ qui font 2°. Il faut tracer les courbes des deux équations qu'on a trouvées en commençant par laquelle on voudra, par exemple on tracera d'abord l'hyperbole équilatere de l'équation ༢% - V; o; ou bien (en fuppofant, pour ne pas fe fervir d'incommenfurables, Vraa) de l'équation zu — aa=0, en tirant les deux droites perpendiculaires OR, OH; & FIG.XXXVII. prenant OR & la perpendiculaire Rr à OR, chacune = a, & traçant par l'hyperbole dont OR, OH feront les afymptotes; après quoi nommant OC (), & BC (2), l'on aura BC × OC(༢@) OC (zu) = OR × Rr(aa=√r) x * r ༡ Traa L'hyperbole étant ainfi tracée, il faut enfuite décrire le cercle dont l'équation eft zz-nz + Bu — r2 = 1 # + p = 0; & il le faut faire de telle maniere, que les ordonnées z du cercle foient fur les ordonnées BC (de l'hyperbole, ou bien qu'elles leur foient paralleles, & qu'elles ayent la même origine; & qu'il en foit de même des coupées du cercle & de 436. Phyperbole. Mais les termes nz, u, marquant*que l'équation eft à une ligne parallele au diametre, il faut comparer FIG. XXIX. cette équation du cercle avec l'équation indéterminée du 436. cercle*— 2lz + uu ziu + ll + ii — — dd = 0, & fuppófer que ces deux équations font la même équation, c'eft à dire, que leurs termes correfpondants font égaux; (s'il y avoit eû le terme uz dans l'équation du cercle, il auroit falu la comparer avec l'équation indéterminée du cercle où fe trouve #z*) cette fuppofition donnera les équations particulieres propres à déterminer les valeurs de 7, i, d, par raport à l'équation zz - nz + uu — ____√, u+po; & l'on trouveranid Vll → ii — p = √nn →→ 111 → p; 4r P Pour décrire à prefent le cercle de cette équation de la maniere propre à donner les racines de la propofée, il faut de l'origine O prendre fur la ligné OH des ordonnées de 436 FIG.XXXVII. 97 99 4r 9 ར༢. n l'hyperbole, qu'on fuppofe auffi être la ligne des ordonnées - ༡ 205 4r 2 9 2 99 4r 99 465. On remarquera fur cette construction, 1°, qu'on peut trouver fur la figure même le rayon KB =√1m+ 4r P fans en faire d'autre à part; car il n'y a qu'à imaginer l'hypothenuse OK du triangle rectangle OHK qui fera égale à Vinn; faire enfuite le demi- cercle dont elle fera le diametre, & y inscrire la corde OA =√p, & l'autre corde KA, étant le côté du triangle rectangle dont l'hypothenuse est OK =√4nn+, & le côté OA=√p; l'autre côté KA fera égal à vnn+p, & fera par consequent le rayon du cercle de l'équation précedente. 4r 466. 2°. Si le cercle coupoit les hyperboles oppofées, les valeurs de que donneroient les interfections de l'hyperbole BB, |