feroient les racines pofitives, & celles que donneroient les interfections de l'hyperbole oppofée, feroient les négatives. 467. 3°. Si le cercle touchoit feulement l'hyperbole fans la couper, ce feroit une marque que deux interfections ou même les quatre feroient réunies en une; ce qui feroit connoître que les valeurs de z, ou du moins deux feroient éga 468. les. 4°. Si la corde OA=Vp étoit trop grande pour être infcrite à la demi-circonference décrite fur le diametre OK = √1nn + 1, ce feroit une marque que les racines feroient imaginaires; comme auffi fi le cercle, dont le rayon eft KA 4r 49 4r = √1 nn + 1/1/1 — p, étoit trop petit, & ne coupoit ni ne touchoit l'hyperbole BB, &c. Ces remarques font voir la conformité de la Geometrie & de l'Analyfe, & elles fervent, furtout les trois dernieres, dans toutes les conftructions des. équations. COROLLAIRE. 469. IL eft évident par le principe & par l'application qu'on en vient de faire, qu'on peut refoudre ou conftruire une équa tion déterminée quelconque, par le moyen d'une équation à la ligne droite, & d'une équation à une courbe du même degré que fera l'équation propofée: Qu'une équation du troifiéme ou du quatrième degré peut fe conftruire par le moyen de deux équations dont chacune eft celle d'une fection conique, (on y comprend le cercle & de même dans la fuite); que les équations du cinquième & fixiéme degré peuvent fe conftruire par une équation d'une fection conique & par l'équation d'une courbe du fecond genre: Que les équations du feptiéme & du huitième degré peuvent fe conftruire par une équation d'une fection conique & une autre d'une courbe du troifiéme genre. Les équations du 5o,, 6°, 7, 8 & 9° degré peuvent auffi fe conftruire par deux équations chacune d'une courbe du second genre. L'on L'on peut déduire aifément du principe & de l'application qu'on en a faite, de quel genre doivent être les courbes dont on pourra prendre les équations pour conftruire les équations déterminées des degrés plus élevés. Mais il faut remarquer que les conftructions des équations déterminées par les équations des courbes les plus fimples, doivent doivent être preferées aux constructions Il ne reste plus pour faire concevoir clairement comment Methode pour trouver les équations des courbes qui fervent I. Pour les équations déterminées du 3° & du 4° degré. 470. TOUTES les équations du troifiéme degré peuvent être HHhh *279 peut degré peuvent de même être representées par cette for- L Quand aucune des deux fections coniques n'eft déterminée. 471. 1o. Il faut supposer cette équation à la parabole, I", au=2 +nz; en quarrant chaque membre, on aura a au u = z+ +nz3 + — nnzz: aauu 2o. Il faut mettre dans chacune des formules précedentes = + qu ༢. ༢. qui eft une feconde équation à la parabole quand l'équation propofée eft du troifiéme degré. La feconde formule donnera, II, uu 123 +au+z+as = o, qui eft une feconde ชช 44 équation à la parabole quand la proposée est du quatriéme degré. 3°. Il faut ajouter ensemble la I & la 2o équation, & l'on aura, 3o, uu nn 4a + qu 8aa C'est l'équation au cercle pour la formule du troifiéme degré. On ajoutera de même la I & la II° équation, & l'on nn 713 =0» aura, III ̊, uu — 27 u + 22+ 87 Zas➡0. 4 C'est l'équation au cercle pour la formule du quatrième degré. 472. On peut trouver les racines de toute équation du troifiéme degré representée par la formule, en conftruifant la parabole de la I équation, & lui joignant le cercle de la 3° équation qui la coupera en quatre points, dont un fera au fommet de la parabole, auquel point o; & menant des trois autres points de ces interfections trois ordonnées à la ligne des abfciffes u de la parabole, elles feront les trois valeurs des racines de l'équation du troifiéme degré. Si le cercle ne coupoit la parabole qu'en un point outre celui du fommet, il y auroit deux racines imaginaires; & s'il la coupoit en un point & la touchoit en un autre, il y auroit deux racines qui feroient égales à cause de l'union de deux interfections dans le point touchant. . 473. 474. น On peut de même trouver les racines de toute équation du quatrième degré reprefentée par la formule, en traçant la parabole de la I" équation, & lui joignant le cercle de la III équation. Mais pour ne pas groffir ce Traité inutilement, on n'en donnera un exemple que dans le fecond cas. Si l'on vouloit fe fervir, pour trouver les racines des équa tions du troifiéme & du quatrième degré reprefentées par les formules précedentes, du cercle de la 3 ou III équation, & d'une ellipfe ou d'une hyperbole, voici la manierė de trouver leurs équations. 4°. Il faut retrancher la I" équation de la 2o, & l'on 84a ༢ C'est une équation à l'hyperbole équilatere par raport au diametre pour la formule du troifiéme degré. HHhh ij On retranchera de même la I" équation de la II, & l'on aura ༢༢ Baaz+as = O. ห - 1<. ༩༢ +༢. bn 20 C'est une équation à l'hyperbole équilatere par raport au diametre pour la formule du quatrième degré. 475. 5. Pour trouver des équations à l'ellipfe & à l'hyperbole qui n'est pas équilatere, il faut multiplier la I" équation par la fraction arbitraire mais connue, & l'on aura zz + bz abo. Il faut enfuite ajouter cette équation à la 2o, & la fomme sera une équation à l'ellipfe pour la formule du troifiéme degré; & enfuite la retrancher de la 2°, & la dif ference fera une équation à l'hyperbole non équilatere par raport au diametre, pour la formule du troifiéme degré. On ajoutera de même cette équation à la II°, & enfuite on l'en retranchera, & la fomme fera une équation à l'ellipfe pour la formule du quatrième degré, & la difference fera une équation à l'hyperbole pour la formule du 4° degré. 476. L'on peut trouver de differentes façons les lignes qui font les racines de la formule du troifiéme & du quatrième degré, en joignant deux à deux les équations précedentes qui répondent à la formule du troifiéme degré, quand la propofée eft du troifiéme degré, & celles qui répondent à la formule du quatrième degré, quand la propofée eft du quatrième degré, puis traçant les courbes de ces deux équations de maniere que les a de l'une foient fur les « de l'autre, ou leur foient paralleles & ayent la même origine, & que ce foit la même chofe des z; mais il vaut mieux dans la pratique se fervir de l'une des équations aux fections coniques avec l'équation du cercle, parceque le cercle eft plus facile à décrire; & dans ce cas il faut fe fervir des axes des fections coniques, parceque les ordonnées du cercle font toujours perpendiculaires aux coupées. 477. 6. Si l'on veut une équation à l'hyperbole par raport aux afymptotes, pour ne faire qu'un même cas des équations du troifiéme & du quatrième degré, on multipliera la formule du troifiéme degré z✦nzk + aqz + aur = 0, par, quand le dernier terme aura, & par |