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46 8.

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seroient les racines positives , & celles que donneroient les

intersections de l'hyperbole opposée, seroient les négatives. 467. 3o. Si le cercle touchoit feulement l'hyperbole sans la

couper, ce seroit une marque que deux intersections ou
même les quatre seroient réunies en une; ce qui feroit con-
noître

que les valeurs de %, ou du moins deux seroient éga-
les.

4°. Si la corde O A=Vp étoit trop grande pour être inscrite à la demi-circonference décrite sur le diametre OK Enn + ce seroit une marque que les racines seroient imaginaires; comme aussi si le cercle, dont le rayon

est KA =Vinn +*

-p, étoit trop petit, & ne coupoit ni ne touchoit l'hyperbole BB, &c. Ces remarques font voir la conformité de la Geometrie & de l’Analyse, & elles servent, surtout les trois dernieres, dans toutes les constructions des. équations.

COROLLAIR E.
469. Il est évident par le principe & par l'application qu'on en

vient de faire, qu'on peut resoudre ou construire une équa-
rion déterminée quelconque, par le moyen d'une équation
à la ligne droite, & d'une équation à une courbe du même
degré que sera l'équation proposée : Qu'une équation du
troisième ou du quatrieme degré peut le construire par le
moyen de deux équations dont chacune est celle d'une fec-
tion conique, ( on y comprend le cercle & de même dans
la suite); que les equations du cinquiéme & fixiéme degré
peuvent se construire par une équation d'une section conique
& par l'équation d'une courbe du: second genre : Que les
équations du septiéme & du huitiéme degré peuvent se
construire par une équation d'une section conique & une
autre d'une courbe du troisiéme genre. Les équations du s',
6o, 7, 8 & 99 degré peuvent aussi se construire

par

deux équations chacune d'une courbe du second genre. L'on peut déduire aisément du principe & de l'application qu'on en a faite, de quel genre doivent être les courbes dont on pourra prendre les équations pour construire les équations déterminées des degrés plus élevés.

Mais il faut remarquer que les constructions des équations déterminées par les équations des courbes les plus simples,

doivent

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doivent être preferées aux constructions par les équations
des courbes plus composées; ainfi (fans parler de la construc.
tion des équations déterminées du second degré où le cer-
cle & les lignes droites fuffisent ) l'on construit les équations
du troisiéme & du quatriéme degré par les équations de
deux sections coniques, dont l'une est ordinairement celle
du cercle, comme étant tres facile à décrire ; celles du
cinquiéme & sixiéme degré par une équation d'une section
conique & unie d'une courbe du fecond

genre;

les équations du septiéme, huitiéme & neuviéme degré, par deux équations de deux courbes du second

genre,

&c.
Il ne reste plus pour faire concevoir clairement comment
l'Analyse se fert des courbes pour trouver les racines des
équations déterminées, qu'à expliquer la methode dont il
faut se servir pour trouver, quand on a une équation déter-
minée, les deux équations aux deux courbes qui servent à
la construire.

279

Methode pour trouver les équations des courbes qui servent
à construire les équations déterminées.

I.
Pour les équations déterminées du z da du 4 degré.
470. Toutes les équations du troisiéme degre peuvent être

representées par cette formule z + n2k + aqx + aar'= 0;
on peut toujours donner une semblable preparation aux
grandeurs connues d'une équation *; on suppose que les *
lignes + representent ceux des équations particulieres; ainsi
quand il y a quelques termes de ces équations qui ont —
les signes + des termes correspondants de la formule

repre.
sentent ces signes. Quand le second terme manque, n est
égale à zero. Pour ne faire qu'un cas des équations du troi-
sieme & du quatrième degré, il faut multiplier les équations
du troisiéme degré par l'inconnue , & la formule sera
** +ng' + aqz + aarz = 0; & alors l'une des racines sera
égale à zero. On n'employe pas la lettre p, parcequ'on s'en
est servi dans les équations des sections coniques par rapore
à leurs diametres & aux lignes differentes de leur diametre;
pour marquer le parametre. Les équations du quatrieme

HHhh

ز

CAS.

degré peuvent de même être representées par cette for-
mule x + ng! + aqzz + aara + a's = 0. L'on

peut
refoudre ces équations par deux équations ; la première à
une section conique quelconque sans qu'elle soit déterminée,
c'est à dire , par une parabole quelconque , par une ellipse
quelconque, & par une hyperbole quelconque ; la seconde
par un cercle aussi quelconque. L'on peut aussi les resoudre
par deux équations à deux sections coniques, dont l'une soit
déterminée, c'est à dire une telle parabole déterminée, une
telle ellipse, ou une telle hyperbole déterminée, ou un tel
cercle déterminé, & dont l'autre ne soit pas

déterminée.
PREMIER
Quand aucune des deux sections coniques n'est déterminée.
471. 1°. Il faut supposer cette équation à la parabole, I", au= ༢༨

+ inz; en quarrant chaque membre, on aura aauu=
+nzł + 4nnza.
2o. Il faut mettre dans chacune des formules précedentes

Innzz=2+nz à la place de z*+ nzi, & au--
27 à la place de 27: & la premiere formule donnera aauu

annu + ý n?r=0; qui devient en divisant par aa,
+ aaqu į anga

2°, uu
taarn

to 1.2
qui est une seconde équation à la parabole quand l'équation
proposée est du troisiéme degré. La seconde formule don-
nera, II", un an u + maak + as = 0, qui est une seconde

ha 삁 일

dauu

- NZ

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*

+ qu

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1

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équation à la parabole quand la proposée est du quatrieme
degré.

3". Il faut ajouter ensemble la 15€ & la 2° équation, & l'on
aura, 3', uu — tou + 27 +2=0.

-ha
+ 12

to inz
C'est l'équation au cercle pour la formule du troisiéme
degré.

et que

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On ajoutera de même la I" & la II équation, & l'on aura, III', uu u + **+ ***+ 85-'0.

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+ inz C'est l'équation au cercle pour la formule du quatrieme

degré. 472. On peut trouver les racines de toute équation du troisiéme

degré representée par la formule, en construisant la parabole de la I" équation , & lui joignant le cercle de la 3* équation qui la coupera en quatre points, dont un sera au sommet de la parabole, auquel point q=0;& menant des trois autres points de ces intersections trois ordonnées à la ligne des abscisses u de la parabole, elles seront les trois valeurs des racines de l'équation du troisiéme degré. Si le cercle ne coupoir la parabole qu'en un point outre celui du sommet, il y auroit deux racines imaginaires ; & s'il la coupoit en un point & la touchoit en un autre, il y auroit deux racines qui seroient égales à cause de l'union de deux inter

sections dans le point touchant. 473 On

peut de même trouver les racines de toure équation du quatrieme degré representée par la formule, en traçant. la parabole de la I" équation , & lui joignant le cerele de la III° équation. Mais pour ne pas grossir ce Traité inutile

ment, on n'en donnera un exemple que dans le second 474 Si l'on vouloit se servir, pour trouver les racines des équa

tions du troisiéme & du quatriéme degré represencées par
les formules précedentes, du cercle de la 3ou III' équa-
tion, & d'une ellipse ou d'une hyperbole ; voici la maniere
de trouver leurs équations.
4°. Il faut retrancher la l" équation de la 2*, & l'on

༢༢
+ qu

+,12591",

- inkloos. Di C'est une équation à, l'hyperbole équilatere par raport au diametre pour la formule du troisiéme degrés

HH h hij

cas.

ز

aura Hu

nn

•U 4a

+

0.

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kura xH

0.

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be

20

On retranchera de même la I' équation de la II“, & l'on

發, ut qu

+ 12

- 1 nz C'est une équation à l'hyperbole équilatere par raport au

diametre pour la formule du quatriéme degré. 475. 5. Pour trouver des équations à l’ellipse & à l'hyperbole

qui n'est pas équilatere, il faut multiplier la I' équation par la fraction arbitraire mais connue , & l'on aura $ 22+

abu=o. Il faut ensuite ajouter cette équation à la 2, & la somme sera une équation à l’ellipse pour la formule du troisiéme degré; & ensuite la retrancher de la 2*, & la difference sera une équation à l'hyperbole non équilatere par raport au diametre, pour la formule du troisième degré.

On ajoutera de même cette équation à la 11°, & ensuite on l'en retranchera, & la somme sera une équation à l'ellipse pour la formule du quatrieme degré, & la difference sera

une équation à l'hyperbole pour la formule du 4' degré. 476. L'on peut trouver de differentes façons les lignes qui sont

les racines de la formule du troisiéme & du quatrième degré, en joignant deux à deux les équations précedentes qui répondent à la formule du troisiéme degré, quand la proposée est du troisiéme degré, & celles qui répondent à la formule du quatrième degré, quand la proposee est du quatrieme degré; puis traçant les courbes de ces deux équations de maniere

que

les a de l'une soient sur les « de l'autre, ou leur soient paralleles & ayent la même origine, & que ce soit la même chose des ; mais il vaut mieux dans la pratique se servir de l'une des équations aux sections coniques avec l'équation du cercle , parceque le cercle est plus facile à décrire ; & dans ce cas il faut se servir des axes des sections coniques, parceque les ordonnées du cercle font toujours

perpendiculaires aux coupées. 477.

6°. Si l'on veut une équation à l'hyperbole par raport aux asymptotes, pour ne faire qu'un même cas des équations du troisiéme & du quatrième degré, on multipliera la formule du troisiéme degré zł + 25 + aqx + dur = 0, par 2 +6=0, quand le dernier terme aura +, & par

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