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tra=o, quand le dernier terme aura — ; & l'on aura l'équation du 4 degré **+ nz' + aqua + aara + a'r=0;

+an + anz3 + aaga on comprendra ensuite cette formule, c'est à dire toutes les équations du 3° degré ainsi élevées au 4' avec toutes les équations du 4° sous cette formule commune du 4 degré **+ nz? + aqua + aarz + aass = 0; l'on suppose que dans toutes les équations du 4' degré de cette formule, le dernier terme a+; il n'importe pas quel signe ayent les termes moyens entre le premier & le dernier. On lupposera cette équation à l'hyperbole entre les asymptotes I. az quarrant on aura uuzk=aass ; on mettra dans le dernier terme de la formale la valeur de aass, & l'on aura en divisant par 27, 32+nz + aq +* + x=0;& mettant dans le çerme dar la valeur de z=* prise de la I' équation, l'on aura II. *+ ng + uu + 4 + aq=o, qui est une équation au cercle , que l'on trouveroit encore en mettant simplement au lieu de a s, la valeur uz dans le dernier terme de la formule, car l'on auroit en divisant par 2, z + n2z+ a92

+ aar + asu=0; & multipliant par u, & mettant ensuite pour uz sa valeur as, puis divisant par as, l’on auroit 27+n2 + uu+ *** + aq=0. Si l'on décrit l'hyperbole de la Ile équation, & qu'on décrive ensuite le cercle de la II équation de maniere que l'origine des u & celle des z soient communes, & que les u du cercle soient paralleles aux u de l'hyperbole, & que ce soit la même chose des 7; les intersections du cercle & de l'hyperbole ou des hyperboles opposées, quand il y a des racines positives & négatives, donneront les points de l'hyperbole , d'où menant les ordonnées 7 de l'hyperbole, l'on aura les racines de la proposée qui seront ces ordonnées 7. Si le dernier terme de la formule étoit négatif, il est évident que le terme u x de l'équation au cercle auroit le fignę -- ; ainsi elle seroit l'équation d'une hyper

bole équilatere, & non pas d'un cercle. 478. Si le dernier terme de la formule étoit négatif, il faudroit

transformer l'équation du quatriéme degré de maniere que le dernier terme fût positif dans la transformée, ce qui est toujours possible: car le dernier terme n'étant négatif dans le quatriéme degré que parcequ'il y a quelque racine néga

HHhh iij

45. tive, en les rendant toutes positives * , le dernier terme deviendra positif.

REMARQUE. 479. Quand l'équation donnée n'a pas de second terme, il n'y

a qu’à supposer toutes les grandeurs des équations préce. dentes où est négales à zero, & elles serviront pour reloudre cette équation.

SECOND CAS,

Quand l'une des sections coniques est donnée. 480. Il faut, quand l'on veut employer une section conique donnée

pour

résoudre une équation du troisiéme ou du quatriéme degré, introduire dans les équations qui y doivent servir des grandeurs indéterminées; de maniere que par le moyen de ces indéterminées, l'on puisse déterminer l'equation de la parabole ou de l’ellipse, ou du cercle ou de l'hyperbole qu'on aura trouvée par la methode être l'une des deux équations qui doit résoudre l'équation proposée, l'on puisse, dis-je, la déterminer à être l'équation de cette section conique donnée. Comme l'on a déja employé dans les équations aux sections coniques qui expriment leur raport à d'autres lignes que leur diametre les lettres d, p, f, g, h, i, l, on se servira ici de deux autres indéterminées k &m. On ne

fera , pour abreger, qu’un cas des équations du troisiéme & 477. du quatriéme degré, comme dans l'article 6*du premier cas.

METHODE. 48 1. Soit la formule de toutes les équations du troisiéme degré

élevées au quatrieme, & de toutes les équations du 4' degré, gu* + nyi + agyy + aary + aass = 0.

1°. Il faut la transformer en supposant y=*, k est une indéterminée ; & substituant cette valeur de y, on aura la transformée xt + ok 22 + kk? ༢༢ + * ༢ +

=0; on regardera cette transformée comme l'équation proposée à resoudre; & quand on aura déterminé k, & trouvé les racines, on aura les valeurs de y en mettant dans y = * les valeurs de 7 & de k.

2'. Il faut supposer cette équation à quelle parabole on voudra , & même à une parabole donnée à cause de l'indéterminée k , I. zz + en z=ku, ou zz ten z ku=0,

ķ455

482.

nnkk zz. On mer

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qui donnera z* + hoe zi + more zz =

Zz = kkuu ; ainsi l'on aura 22 = ku

- z, & z+ z = kkuu tra dans la proposée les valeurs de x* + momenzi, & de zz ; & l'on aura II. uu +

materiale + nik

+ en z
qui est une seconde équation à la parabole.

On ajoutera la I" & la II° équation , & l'on aura
III. zz + Z to u u + 24 +

8a3

kkss

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244
nik

Z

nuk

1 4a. ku

8.13

24

+

nk qui est une équation à quel cercle on voudra à cause de l'indéterminée k, & même à un cercle donne, à cause de la

même indéterminée. 48 3.

3°. Si l'on veut des équations à une ellipse donnée, & à une hyperbole donnée par raport au diametre, il faut introduire une nouvelle indéterminée m, ce qui se fera en multi· pliant la I'' équation par m., & l'on aura IV. 22 +

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On ajoutera cette IV° équation à la II°, & l'on aura V. 4 + * u + zz +

og

kkss

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+ qui est une équation à une ellipse qui peut être donnée à cause des deux indéterminées à & m, dont k servira à déterminer le diametre de cette équation à être le diametre donné de l’ellipse donnée , & mà déterminer le parametre de cette équation à être le parametre donné de l’ellipse donnée.

On retranchera la IV“ équation de la II“, & l'on aura VI. uu + q* a uzz

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+ qui est une équation à une hyperbole par raport au diame

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tre, qui peut être donnée à cause de deux indéterminées & &m.

Comme il n'y a point de terme uz dans la Vo & la VF *439. équation, est le raport du parametre au diametre * ; par

consequent nommant d le diametre de l'ellipse & de l'hyper. bole donnée, & p le parametre, l'on aura toujours m= a ce qui détermine m par raport à l’ellipse donnée ou à l'hy

perbole donnée. 484. On

peut trouver les racines de la proposée par la Ve équation, après l'avoir déterminée à être l'équation de l’ellipse donnée, & par la III' qui est l'équation du cercle ; mais alors le cercle ne peut plus être donné, parcequ'il ne reste plus d'indéterminées pour déterminer l'équation III° à être l'é. quation d'un tel cercle donné. On peut aussi trouver ces mêmes racines par la VI® équation aprés l'avoir déterminée à être l'équation de l'hyperbole donnée, & par la III° équa. tion qui est celle du cercle, mais qui ne peut plus être donné par la raison qu'on vient de dire. Il y a pourtant des cas quand le diametre de l'hyperbole donnée est moindre que son parametre, dans lesquels, lorsqu'on veut détermi. ner k, on ne trouve que des valeurs imaginaires de k; ainsi dans ces cas de quelques équations particulieres qu'on peut trouver à résoudre: on ne le peut pas par une telle hyperbole donnée avec le cercle ; mais on le peut toujours avec une hyperbole donnée par raport aux asymptotes, comme on le va expliquer, en faisant remarquer auparavant que l'angle des ordonnées du cercle étant toujours droit, il faut aussi toujours se servir de l'axe ou de l'un des axes dans la fection conique à laquelle on joint le cercle Péquation ; & quand l'hyperbole entre les asymptotes est arbitraire , & qu'on veut l'employer avec le cercle, il faut prendre l'équilatere à cause de l'angle droit que font les asymptotes.

4. Si l'on veut refoudre la proposée par une hyperbole donnée entre les afymptotes & par un cercle , il faut supposer la racine quarrée this du dernier terme de la transformée égale à uz, & l'on aura VII. uz = **, ou uz — = 0, qui est une équation à l'hyperbole entre les asymptotes, qui peut être donnée à cause de l'indéterminée k; car supposé

que

pour resoudre

485

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CAS.

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kks

que l'équation de l'hyperbole donnée soir un=bb, l'on aura kk =bb; par confequent k=bvş; ce qui détermine la valeur de k de maniere que l'équation indéterminée uz

= 0, devient l'équation particuliere de l'hyperbole donnée.

Pour trouver l'équation au cercle qui doit être joint à l'hyperbole donnée pour trouver les racines de la proposée, il faut distinguer deux cas; le premier, quand l'hyperbole donnée est équilatere; le second, quand elle ne l'est pas ; alors l'angle des asymptotes est aigu ou obtus.

PREMIER

Quand l'hyperbole donnée est équilatere. Il faut quarrer chaque membre de la Vire équation, mertre dans la transformée au lieu du dernier terme 44ss, sa valeur diviser ensuite l'équation par 2, & mettre dans le terme , la valeur de z prise de la VII' équation <= & l'on aura VIII. K+ make 2 + tek u + uu=0, qui est l'équation du cercle , qu'il faut joindre à l'hyperbole donnée pour trouver par les intersections avec l'hyperbole les racines de la transformée.

SECOND Quand l'angle des asymptotes est aigu ou obtus. Il faut introduire une nouvelle indéterminée m, par le moyen de laquelle on pourra faire en sorte que quoique l'équation exprime le raport du cercle comme dans la figure 29, à une droite ON qui ne fait pas un angle droit avec les ordonnées du cercle, cependant on puisse avoir une autre ligne O M parallele au diametre Aa du cercle, à laquelle les ordonnées du cercle soient perpendiculaires. Pour introduire cette indéterminée m, il faut multiplier la VII équation par , & l'on aura IX. " uz — meitas = o. Il faut l'ajouter à la VIII quand l'angle des asymptotes est aigu, & l'on aura X. 22++ maz to uu + , 16 to kh9 = 0, qui est

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CAS.

mkks

l'équation du cercle dont on a besoin. Il faut retrancher la IX“ équation de la VIII' quand l'angle des asymptotes est

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