478.

& l'on aura

x-a=0, quand le dernier terme aura-;
l'équation du 4° degré z†+nz3 +aqzz + aarz + a3r=0;
+a2+ anzz + aaqz

༣

e

on comprendra enfuite cette formule, c'est à dire toutes les
équations du 3° degré ainfi élevées au 4° avec toutes les équa-
tions du 4° fous cette formule commune du 4° degré + nz2
✦ aqzz + aarz ✦ aass = 0; l'on fuppofe que dans toutes
les équations du 4° degré de cette formule, le dernier terme
a; il n'importe pas quel figne ayent les termes moyens
entre le premier & le dernier. On fuppofera cette équation
à l'hyperbole entre les afymptotes I. az -
aso; en la
quarrant on aura uuzz aass; on mettra dans le dernier
terme de la formule la valeur de aass, & l'on aura en divi-
fant par KK, KK+nz + aq ✦ aat + nuo; & mettant dans
le terme a la valeur de z prise de la I" équation, l'on
aura II. z+nz✦ uu + u + aq= o, qui eft une équa-
tion au cercle, que l'on trouveroit encore en mettant sim-
plement au lieu de as, fa valeur ༧༢. dans le dernier terme de
la formule, car l'on auroit en divifant par z, z3 + nzz + aqz
✦ aar✦ asu = 0; & multipliant par u, & mettant enfuite
pour uz la valeur as, puis divifant par as, l'on auroit { +nz
✦ uu+ + u + aq= o. Si l'on décrit l'hyperbole de la I
équation, & qu'on décrive enfuite le cercle de la II' équa-
tion de maniere que l'origine des u & celle des foient com-
munes, & que les « du cercle foient paralleles aux u de l'hy-
perbole, & que ce foit la même chofe des ; les intersections
du cercle & de l'hyperbole ou des hyperboles oppofees,
quand il y a des racines pofitives & négatives, donneront
les points de l'hyperbole, d'où menant les ordonnées de
l'hyperbole, l'on aura les racines de la propofée qui feront
ces ordonnées. Si le dernier terme de la formule étoit né-
gatif, il eft évident que le terme u de l'équation au cercle
auroit le figne ainfi elle feroit l'équation d'une hyper-
bole équilatere, & non pas d'un cercle.

น

Si le dernier terme de la formule étoit négatif, il faudroit transformer l'équation du quatrième degré de maniere que le dernier terme fût pofitif dans la transformée, ce qui est toujours poffible: car le dernier terme n'étant négatif dans le quatrième degré que parcequ'il y a quelque racine néga,

HHhh ij

45. tive, en les rendant toutes pofitives*, le dernier terme deviendra positif.

REMARQUE.

479. QUAND l'équation donnée n'a pas de fecond terme, il n'y a qu'à fuppofer toutes les grandeurs des équations préce dentes où eft n égales à zero, & elles ferviront pour réfoudre cette équation.

SECOND CAS,

Quand l'une des fections coniques eft donnée. 480. IL faut, quand l'on veut employer une fection conique donnée pour réfoudre une équation du troifiéme ou du quatriéme degré, introduire dans les équations qui y doivent fervir des grandeurs indéterminées, de maniere que par le moyen de ces indéterminées, l'on puiffe déterminer l'équation de la parabole ou de l'ellipfe, ou du cercle ou de l'hyperbole qu'on aura trouvée par la methode être l'une des deux équations qui doit réfoudre l'équation propofée, l'on puiffe, dis-je, la déterminer à être l'équation de cette section conique donnée. Comme l'on a déja employé dans les équations aux fections coniques qui expriment leur raport à d'autres lignes que leur diametre les lettres d, p, f, g, h, i, l, on fe fervira ici de deux autres indéterminées k & m. On ne fera, pour abreger, qu'un cas des équations du troifiéme & 477. du quatrième degré, comme dans l'article 6*du premier cas. METHOD E,

481. SOIT la formule de toutes les équations du troisième degré élevées au quatrième, & de toutes les équations du 4° degré,

y* + ny3 + aqyy ✦ aary → aass = 0.

=

覽 , k est une

1o. Il faut la transformer en fuppofant y indéterminée; & fubftituant cette valeur de y, on aura la transformée ལྟ+ + k ༧ + ł༡༢.༢ + ཏཾ ༢ +

.a

na

=0; on re

= les

gardera cette transformée comme l'équation propofée à refoudre ; & quand on aura déterminé k, & trouvé les racines, on aura les valeurs de y en mettant dans y valeurs de & de k. 482. 2°. Il faut fuppofer cette équation à quelle parabole on voudra, & même à une parabole donnée à caufe de l'indéterminée k, I. zz + 1kzku, ou zzz — ku○,

22+

1

qui eft une feconde équation à la parabole.

On ajoutera la I" & la II° équation, & l'on aura III. 22 +12 + uu + 12u + kkss =0,

a

a

qui eft une équation à quel cercle on voudra à cause de l'indéterminée k, & même à un cercle donné, à cause de la même indéterminée.

3°. Si l'on veut des équations à une ellipfe donnée, & à une hyperbole donnée par raport au diametre, il faut introduire une nouvelle indéterminée m, ce qui fe fera en multipliant la I équation par, & l'on aura IV. zz +

km

u = 0.

a

kmn

244

On ajoutera cette IV équation à la II°, & l'on aura V. uu + 11⁄2 u + mzz +

kmn

2aa

nak

kkss =0,

༤

2aa

nik

8a3

qui eft une équation à une ellipfe qui peut être donnée à caufe des deux indéterminées k & m, dont k fervira à déterminer le diametre de cette équation à être le diametre donné de l'ellipfe donnée, & m à déterminer le parametre de cette équation à être le parametre donné de l'ellipse donnée.

On retranchera la IV équation de la II°, & l'on aura VI. uu + a

qui est une équation à une hyperbole par raport au diame

tre, qui peut être donnée à cause de deux indéterminées &

& m.

Comme il n'y a point de terme uz dans la V° & la VIa *439. équation, eft le raport du parametre au diametre*; par confequent nommant d le diametre de l'ellipse & de l'hyper. bole donnée, & p le parametre, l'on aura toujours m = = 1; ce qui détermine m par raport à l'ellipfe donnée ou à l'hyperbole donnée.

484.

485.

On peut trouver les racines de la propofée par la V équation, après l'avoir déterminée à être l'équation de l'ellipse donnée, & par la III qui eft l'équation du cercle; mais alors le cercle ne peut plus être donné, parcequ'il ne reste plus d'indéterminées pour déterminer l'équation IIIa à être l'équation d'un tel cercle donné. On peut auffi trouver ces mêmes racines par la VI équation aprés l'avoir déterminée à être l'équation de l'hyperbole donnée, & par la III équa tion qui eft celle du cercle, mais qui ne peut plus être donné par la raison qu'on vient de dire. Il y a pourtant des cas quand le diametre de l'hyperbole donnée eft moindre que fon parametre, dans lefquels, lorfqu'on veut détermi ner k, on ne trouve que des valeurs imaginaires de k; ainsi dans ces cas de quelques équations particulieres qu'on peut trouver à réfoudre: on ne le peut pas par une telle hyperbole donnée avec le cercle; mais on le peut toujours avec une hyperbole donnée par raport aux afymptotes, comme on le va expliquer, en faifant remarquer auparavant que l'angle des ordonnées du cercle étant toujours droit, il faut auffi toujours fe fervir de l'axe ou de l'un des axes dans la fection conique à laquelle on joint le cercle pour refoudre P'équation; & quand l'hyperbole entre les afymptotes est arbitraire, & qu'on veut l'employer avec le cercle, il faut prendre l'équilatere à cause de l'angle droit que font les afymptotes.

4. Si l'on veut refoudre la propofée par une hyperbole donnée entre les afymptotes & par un cercle, il faut fuppofer la racine quarrée du dernier terme de la transformée égale à uz, & l'on aura VII. uz = kks, ou uz — kks = 0, qui eft une équation à l'hyperbole entre les afymptotes, qui peut être donnée à caufe de l'indéterminée k; car suppose

que

que l'équation de l'hyperbole donnée soit uz =bb, l'on
aurakk bb; par confequent k=bV÷; ce qui détermine
la valeur de k de maniere que l'équation indéterminée uz
-kis
ko, devient l'équation particuliere de l'hyperbole
donnée.

Pour trouver l'équation au cercle qui doit être joint à l'hyperbole donnée pour trouver les racines de la propofée, il faut diftinguer deux cas; le premier, quand l'hyperbole donnée eft équilatere, le fecond, quand elle ne l'eft pas; alors l'angle des afymptotes eft aigu ou obtus.

PREMIER CAS.

Quand l'hyperbole donnée eft équilatere.

Il faut quarrer chaque membre de la VII' équation, met

L

aa

<=

kks

tre dans la transformée au lieu du dernier terme 4, fa valeur uuzz, diviser enfuite l'équation par zz, & mettre dans le terme, la valeur de z prife de la VII° équation —, & l'on aura VIII. +++ ku+uu = 0, qui eft l'équation du cercle, qu'il faut joindre à l'hyperbole donnée pour trouver par les intersections avec l'hyperbole les

racines de la transformée.

re 29,

SECOND CAS.

Quand l'angle des afymptotes eft aigu ou obtus. IL faut introduire une nouvelle indéterminée m, par le moyen de laquelle on pourra faire en forte que quoique l'équation exprime le raport du cercle comme dans la figuà une droite ON qui ne fait pas un angle droit avec les ordonnées du cercle, cependant on puiffe avoir une autre ligne OM parallele au diametre Aa du cercle, à laquelle les ordonnées du cercle foient perpendiculaires. Pour introduire cette indéterminée m, il faut multiplier la VII ̊ équation par, & l'on aura IX. #uz- =o. Il faut l'ajouter à la VIII' quand l'angle des afymptotes eft aigu, & l'on aura X. zz+uz+z+uu+kru + kk¶ =0, qui eft

m

mkks

aa

a

mkks

aa

l'équation du cercle dont on a befoin. Il faut retrancher la IX équation de la VIII quand l'angle des afymptotes est