486. #482. obtus, & l'on aura XI. zz — »uz + » 2+ uu + ķ+ 2 + kk q aa น mkks =o, qui eft l'équation au cercle dont on a befoin. On remarquera que le dernier terme de la propofée doit avoir quand on fe fert de l'équation de l'hyperbole aux afymptotes, afin que uu ait dans l'équation du cercle qu'il faut joindre à l'hyperbole pour la refolution de l'équation; on remarquera auffi que quand le fecond terme des équations à refoudre eft évanoui, il n'y a qu'à fuppofer dans toutes les équations les grandeurs où eft n égales à zero, & les mêmes équations ferviront pour le cas où le fecond terme eft évanoui. Avertiffement. Pour faire clairement concevoir la conftruction des équa tions à ceux qui commencent, on en mettra ici deux exemples. EXEMPLE I. La conftruction des équations du troifiéme & du quatrième degré par le moyen d'une parabole donnée & d'un cercle, en fe fervant de la Ire & de la III' équation du fecond cas *. 487. POUR = OUR ne faire qu'un cas des équations du troisième & du quatrième degré par la methode de l'art. 477, on fuppofera que y +ny3 → aqyy ✦ aary+aasso, reprefente toute équation qu'on veut refoudre du troifiéme ou du quatrième 481. degré, & qu'en fuppofant y 23, +23+* &c. en est la transformée, & qu'elle eft l'équation dont on fait la construction, aprés laquelle conftruction on aura les valeurs de y, en mettant celles de & de k dans y ༢. 쮸. Soit la parabole donnée O AC, dont l'axe eft AB, le parametre AP = a, & l'équation yy-axo; pour faire en forte que l'équation indéterminée à la parabole *+ FIG. XXXVIII. 482. = 24 kuo, convienne à la parabole donnée, il faut s'imaFIG, XXVII. giner que la parabole AC(fig. 27) eft la donnée, que les x fe prennent fur AB, que BC, BC font les ordonnées y, &AP(p) eft le parametre a: Le terme, marque que l'équation zz ku=0, exprime le raport des points de la bole donnée à une autre ligne que l'axe; & comme u z ne s'y trouve pas, cela marque que cette ligne eft parallele à 488. l'axe*; ainfi il faut s'imaginer que c'est OM qui est = u, * nk 24 para & que MN (g) eft zero, & ON(f) la même que OM (b), que 2/2 + 38 uu + 231 u MC=z; & l'équation* zz — F FF - Hu+ll + ip = 0, à cause de g = 0, & h=ƒ est zz 24 nk 44 212 ·pu + ll + ip = =o. Il faut fuppofer que c'est la même équation que zz+nk z — ku o, & que les termes correfpondants font égaux, ce qui donne AL (1)= pou ak, ce qui détermine k; le dernier terme + ll + ip o, puifque le terme connu eft zero dans zzz- ku ainfi mettant la valeur de ll, l'on a ipo;& mettant au lieu de k fa valeur p ou a (pétant ici nommée a), l'on trouve ZO ou Ai (i)= T & AL(I)=—; ainsi l'équation zz + nk z ku kuo devient l'équation de la parabole donnée (A) zz + z =,0; 24 nn 16a) nnkk au = o, en mettant au 427. lieu de k fa valeur as mais elle exprime le raport des points de la parabole à une ligne parallele à l'axe AB qu'on trouve ainfi. Soit menée AL perpendiculaire à l'axe AB, & égale FIG.XXXVIII. à 7, il faut la mener vers la gauche de l'axe, parcequ'elle eft négative, & que l'on prend ici la droite de l'axe pour les ordonnées pofitives; fi le fecond terme de la transformée avoit été négatif, auroit été pofitive, & il auroit falu mener AL vers la droite de l'axe. Il faut tracer par L, LO parallele à l'axe qui rencontre la parabole en 0; cette ligne fera la ligne des coupées (u), & ZO fera l'ordonnée Ob, le quarré de Ob ou de AL qui eft égal au produit de la coupée Ab ou OL qui eft par le parametre a. L'équation de la parabole donnée devient donc par raport à la ligne des coupées OZ, zz + % — au o. Les ordonnees z font les perpendiculaires fur OZ prolongées jufqu'à la parabole. Il faut à prefent joindre à cette parabole le cercle de la III équation, laquelle eft (en mettant au lieu de k fa valeur a) zz + r z + U U ✈ qu + ss = 0. la Il faut s'imaginer que le cercle de la figure 29* eft celui de cette équation, excepté que le terme uz manquant, ligne MN(g) eft zero, & ON (f) ne fait qu'une même ligne IIii ij 436. * 436. FIG. XXXVIII. avec OM (h); ainfi l'équation * zz — 2 lz — uu — 2iu + ll → ii — — dd = 0, eft la même que la précedente, & fuppofant leurs termes correfpondants égaux, on trouvera OZ (1) 4.LK ou OH (i) = - 1 ขใ 44 n3 16aa & le demi diametre Ka(d)=√1+ - 2 + 7 + 2 nn 8a 2 u Les coupées a de la parabole donnée ayant leur origine au point L, & fe prenant fur ZO, & les ordonnées commençant à la ligne ZO des abfciffes, à laquelle elles font perpendiculaires comme Obc, il faut prendre fur ZO la ligne OD= — — + = +4, laquelle OD répond à OH (i) de la fig. 29 quand cette quantité eft pofitive, mais quand elle fe trouve négative, il faut prendre Od égale à cette quantité sur OL prolongée de l'autre côté. Il faut enfuite élever au point D la perpendiculaire DK —— , laquelle DK répond à HK (1) de la figure 29; mais quand elle est négative, il faut prendre Dk égale à cette quantité de l'autre côté: Le point K ou k est le centre du cercle, qu'il faut décrire avec le rayon, qu'on nommerad, égal à cette quan ng 44 tirer des points C, C, où il coupera la parabole des perpen. diculaires fur la ligne LOD; ces perpendiculaires feront les valeurs des racines de la transformée: car prenant la valeur de u dans l'équation A de la parabole donnée, & la substituant dans l'équation B du cercle, on trouvera l'équation transformée propofée à refoudre, REMARQUES. I. 488. QUAND le fecond terme manque dans la proposée, la même construction fert en fuppofant no dans toutes les grandeurs où elle fe trouve, & la conftruction eft bien plus facile, la parabole donnée n'ayant nul befoin de préparation; il faut feulement y joindre le cercle: mais on a voulu rendre la construction generale, I I. 489. Quand l'équation proposée n'est que du troifiéme degré, 490. 491. III. Quand on a tiré les lignes OD, DK pour construire le cercle, la ligne qui eft la valeur du rayon se trouve comme à l'art. 465. I V. Comme l'on a averti que les fignes des termes de la formule des équations du troifiéme & du quatrième degré representoient les fignes → ou — des équations particulieres qu'on aura à réfoudre, le Lecteur y doit faire attention, & trouvera aisément les fignes convenables aux cas particuliers. EXEMPLE II. La conftruction des équations du troifiéme & du quatrième degré 492. L'EQUATION à resoudre est la transformée ✩ +2 FIG. XXXIX. + łཏཾ༡ ལྱཱལཱ + ཏཾ' ༢ + k =0; l'équation à l'hyperbole donnée aa a eft uz; on fuppofe que les hyperboles oppofées CC, cc nk mkks= aa = IIii iij de Il faut pour décrire ce cercle s'imaginer que c'est celui de la figure 29, & que l'équation précedente est la même que 436. l'équation * z Buz — 2lz +uu + 231u ✦ ll m ~/dd & fuppofer les termes correfpondants égaux; ainfi, 1°,- 3 +". On fuppofera pour profiter de l'indéterminée m, FIG. XXIX, qu'elle est égale à g (GF fig. 29); ainfi l'on aura OF(ƒ) = 2a, & FG(g)=m; d'où il fuit que OG (h)=√4aa—mmi on fuppofera pour abreger h= √4aa mm = c; & comme ici OF (ƒ) ou 2a fe trouve négative, & FG (m) positive, OG (—bou —c) sera négative. 2°.OZ(I)= k. 3°. Mettant dans 231-2 les valeurs de f, g, h,l, on trouvera OH ou KL(i) mnk kr. 4. L'équation des derniers termes fera trouver le demi diametre Ka (d)= V nnkk 4aa + mnk akr 2ac = akk9+mkks a a 24 Il faut joindre à prefent le cercle à l'hyperbole donnée dans laquelle on fuppofe que les coupées a fe prennent fur u FIG. XXXIX. l'afymptote AB, & que les ordonnées font paralleles à l'afymptote AD: Pour le joindre, il faut que les coupées du cercle fe prennent auffi fur la même AB, & les ordonnées du cercle foient paralleles à AD; c'est ༢. on prendra AF =— 2a; on menera FG parallele à AD,& pourquoi du point A on tirera AG perpendiculaire à AD & à FG ; on nommera FG (m); & c'eft l'avantage qu'on tire de l'indéterminée m qu'on a introduite, de ce qu'étant indéterminée, il est libre de la déterminer à la ligne FG qui faffe un angle droit avec AG, ce qui eft neceffaire pour le cercle où les ordonnées doivent être perpendiculaires à cette ligne AG & paralleles à FG ; on nommera GA(c=√4aa mm); on prolongera GA vers N. Le triangle rectangle AFG répond au triangle OFG de la figure 29, mais il eft de l'autre côté à caufe des quantités négatives. Pour trouver le centre du cercle, il faut prendre du point A fur l'afymptote 4D parallele aux ordonnées %, AL ——TM dụ côté opposé à AD, parceque cette quantité est négative; cette ligne répond à Oz de la figure 29. Il faut enfuite mener par Zune parallele LM à la ligne GAN; cette parallele ZM répond à la ligne nk 24 - |