493. =4 mnk 2 ac LKBa de la figure 29, & c'eft la ligne du diametre du cercle, laquelle paffe par fon centre: Pour avoir ce centre, il faut prendre fur ZM la ligne LK + mat akr vers la droite de l'afymptote DAL où font les coupées & pofitives quand LK eft pofitive, du côté oppofé quand elle eft négative: cette ligne ZK répond à la ligne ZK de la figure 29, & le point K est le centre du cercle. Enfin de ce centre K avec akkq +mkks dont on trou le mnk 2ac akr CS 44 V. rayon vera la longueur comme ci- deffus*; on tracera un cercle* 465. qui coupera les hyperboles données en des points, defquels menant les ordonnées BC (z) à l'asymptote AB, elles feront les racines de la transformée propofée à refoudre; les ordonnées de l'hyperbole CC feront les racines pofitives, & les ordonnées de l'oppofée feront les négatives: voici comme on le démontre. 2 En concevant le rayon KC, l'on aura par la proprieté du cercle, ou à cause du triangle rectangle KMC, MC2 + KM KC Mais MCBC (z)+BN(+u) + NM(+); &KM=+LK(+ — a) — LM(—); par confe = mnk 2 ac - fe reduit à ༢༨. akr 4aa nk ༢༢. + * z a mm 4aa mnk 2ac uz + nk z✦u u + ! Tu + kks nk kka akk 9 → mkks qui O, qui eft l'équation X du cercle qu'on a conftruite. Mettant Il eft à propos de remarquer auffi que quand on réfout en les deux inconnues u & z, & qui de plus contiennent toutes les connues du Problême, & c'est en se servant de ces deux équations particulieres pour faire évanouir l'une des inconnues z, qu'on arrive à l'équation déterminée; alors on peut conftruire le Problême par le moyen de ces deux équations particulieres, c'est à dire, qu'en conftruifant les deux fections. coniques de ces deux équations, & les uniffant ensemble, les points d'intersection donneront les lignes qui fatisfont au Problême. Mais quand l'une de ces deux équations particulieres n'eft pas celle du cercle qui eft plus facile à décrire que les autres fections coniques; on peut préferer la methode qu'on a donnée où le cercle eft employé. I I. La methode pour trouver les équations des courbes qui fervent à conftruire les équations déterminées qui furpassent le 4 degré. 494. LA methode est semblable à celle que l'on a donnée pour les équations déterminées du troifiéme & du quatrième degré, il faut feulement faire évanouir le fecond terme des équations à réfoudre. On peut se servir de la premiere parabole cubique y3 = =aax pour les équations du se, 6, 70, 8° & 9° degré, comme on s'eft fervi de la parabole du premier genre pour le 3 & 4° degré, & elle fera trouver une ou plufieurs équations des courbes du fecond genre, dont l'une étant jointe avec la parabole cubique la coupera en des points, d'où menant les ordonnées y de la parabole cubique, elles feront les racines de l'équation propofée. Comme l'on n'entrera pas ici dans le détail comme l'on a fait pour les équations du 3o & du 4° degré, & qu'on fera obligé d'em ployer plufieurs lettres qui reprefentent les coéficients connus, on fe fervira pour cela des lettres i, k, l, m, n, p, q, ", s, t; & l'on emploira a pour tenir lieu d'unité, & rendre tous les termes homogenes. La propofée eft par exemple yaly' + a my ✦ a3ny's → aˆpy* + a3qy3 + a3ryy ✦ a'sy → ato: On fuppofera + as ky3 + pour l'équation y3aax; on mettra au lieu de y fa valeur, excepté dans l'une des grandeurs du terme y3, & l'on aura x3 +1yxx+ mxx +2yyx → pyx + 2y3 ✦akx ✦ ryy ✦ asy ✈✈aat =0, qui eft une équation à une courbe du fecond genre, genre, qu'on peut décrire par points, en fuppofant pour Si l'on mettoit au lieu de y' fa valeur aax dans le terme y3, Si la propofée eft du douzième degré comme y11 * aiy1o aaky&c. en fuppofant l'équation y' =aax, on trouvera, en mettant partout aax au lieu de y3, une équation d'une courbe du troifiéme genre, qui étant jointe avec la parabole cubique, fera trouver les racines de la propofée. On pourra dans les équations des degrés plus élevés, employer les équations à la parabole d'un genre auffi plus élevé, comme y = a3x, y' = a* x &c. du On pourroit au lieu de l'équation à la parabole, employer l'équation à une espece d'hyperbole du second genre, troifiéme genre, &c. comme yyx = = a3, y3x = x at &c. Enfin l'on pourroit même employer pour premiere équa- Ufage des courbes pour la réfolution des Problêmes USAGE DE LA PARABOLE. 495. LA courbe que décrit une bombe lorsqu'elle fort du mortier, quelqu'inclinaifon que l'on donne au mortier, est une parabole. Car fi l'on imagine dans la figure 8°, que la ver- F16. VIII. ticale HA prolongée au deffous de A eft le diametre, que les points N, 2K dans les lignes MO, PR, SK font ceux par où paffe la bombe, & par consequent ceux de la courbe qu'elle décrit, que les lignes menées de chacun de ces points au prolongement de HA, qui foient paralleles à la direction du jet ACMPS, font les ordonnées: il fuit de ce qu'on a démontré art. 329, fecond cas, & 330, fecond cas, que le KK kk quarré de AM égale à l'ordonnée du point N, est au quarré de AP égale à l'ordonnée du point Q, comme MN égale à la partie du diametre ou à la coupée qui répond à l'ordonnée du point N, est à PQ égale à la partie du diametre qui répond au point ; & comme il est évident par les art. 329 &330, feconds cas, que cette proprieté convient à tous les points de la courbe que décrit la bombe, & que c'eft la pro368. prieté de la parabole,* cette courbe est une parabole: ainsi nommant MN (x), PQ(u), AM(y), AP(z), on a cette proportion de la parabole yy. zz :: x. u. Avertissement. On déduit ordinairement la résolution des Problêmes de l'art de jetter les bombes des proprietés de la parabole; mais comme l'on a donné cette résolution fans l'employer, il eft inutile de s'y arrêter ici: on mettra au lieu de cela les deux Problêmes fuivants. 496. TROUVER l'équation de la courbe qui passe par les fommets FIG. VIII. des axes de toutes les paraboles décrites par une bombe jettée par une mème force de poudre, en donnant au mortier toutes les inclinaifons possibles des cordes AC, AE, AG, &c. L Il faut s'imaginer que l'horizontale AOK & la verticale HA font les lignes des coordonnées de cette courbe que l'on cherche; on prendra les coupées fur AH, ainfi les AB, AD, AF, & leurs paralleles comme ON &c. feront les x; & les ordonnées fur AOK, ainsi AO & les paralleles à 40 feront les y; la force du jet HA eft donnée, & on fuppofe HA=d. Il est évident que le point le plus élevé de chaque 324. jet, comme le point N* du jet par AC, eft le fommet de la parabole de ce jet. Or par l'art. 324 l'on a =2Vdx ay ce qui donne yy - 4dx + 4xx = 0, qui eft l'équation qui convient à tous les points des fommets des paraboles d'une même force de poudre, c'est à dire à tous les points les plus élevés de ces paraboles, puifque la changeante y marque l'éloignement 40 où eft chacun de l'axe HA, & la changeante x exprime la hauteur AB, AD, &c. fur l'axe AH de chacun de ces points. Mais yy —4dx+4xx = 0 est xx, l'équation d'une ellipfe*; ainfi la courbe qui paffe par tous 497. TROUVER l'équation de la courbe qui touche toutes les paraboles d'une même force de poudre. POUR 377. OUR refoudre ce Problême, il fuffit de confiderer deux FIG. XL. de ces paraboles AMC, AmC, dont les axes OM, om ont leurs fommets M, m par le Problême précedent dans la même ellipfe AMmH; ces deux paraboles fe coupent toujours en un point C, lequel point C eft toujours au dedans de la courbe touchante, excepté ce feul cas, qui eft que ce point d'interfection C eft dans la touchante, lorsque les deux paraboles AMC, AmC deviennent une feule & même parabole, c'est à dire, quand les deux axes OM, om, deviennent un même axe OM, & par confequent les deux ordonnées AO, Ao deviennent une même ordonnée. Ces chofes fuppofées : Soit la connue AH= d, l'ordonnée AO, Aoy, la coupée ou la partie de l'axe OM, om, depuis le fommet, = x A. yy - 4dx+4xxo eft l'équation commune aux fommets de toutes les paraboles par le Problême précedent; fuppofant à prefent que le point d'interfection C'est dans la courbe touchante; AB, qu'on nommera u, fera une ordonnée de la courbe touchante, & BC, qu'on nommera z, en fera la coordonnée ; & l'on aura par la proprieté de la parabole AMC cette proportion*, le quarré de AO ( yy) est à la *368. partie de l'axe OM(x), comme le quarré de CN ou OB (ay), qui eft uu — 2uy → yy, est à la partie correfpon น, dante de l'axe MN MO CB x — zuy |