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tion A, on trouve l'équation D. yy — "'y — 2dzwy + dzuu + *** =0, laquelle équation détermine le point d'intersection C, (qui par l'équation B étoit le point d'intersection de deux paraboles quelconques, dont les axes & les ordonnées aux axes étoient simplement paralleles) à être le point d'intersection C de deux paraboles quelconques d'un même jet, c'est à dire de deux paraboles quelconques parmi celles dont les fommers des axes sont tous dans la même ellipse AMMH.

Pour déterminer à present l'équation D à exprimer le point d'intersection C de deux de ces paraboles d'un même jer, qui ont leur point d'intersection © dans la courbe touchante qu’on cherche , il ne faut plus que fupposer que ces deux paraboles A MC, Am C deviennent une même parabole; ce qui se fera en supposant que AO(y) a deux valeurs

égales ou deux fois la même valeur dans l'équation D. Et *75. alors multipliant * l'équation D par la progression arithme

I valeur de y. & son quarré à place de y & de yy dans l'équation D, elle deviendra l'équation E, uu + 402 4dd 0, qui est l’équation de tous les points d'intersection Ċ de toutes les paraboles d'une même force de poudre prises deux à deux, qui se coupant dans un point C de la courbe touchante qu'on cherche, deviennent deux à deux une même parabole, & font par là que l'équation E exprime le rapport de chaque point C de cette courbe touchante par le moyen des deux coordonnées changeantes A B(u) & BC(z). Et comme l'équation E est celle d'une parabole, on voit que la courbe touchante est une parabole, dont les Lecteurs trouveront aisément le parametre. Ce qu'il falloit trouver.

14 + dzu Mettant cette

44 + zz

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A

Usage de l’ellipse & de l'hyperbole

. PROBLEM E. Fig. XXV. TROUVER la nature de la courbe AC, dont l'axe eft la ligne AB,

qui soit telle que si l'on donne à la surface d'un morceau de verre 498. la courbure AC, il rassemble en un seul point f ou O tous les rayons

de lumiere comme EC, qui seront paralleles à l'axe AB.

& XXVI.

SUPPOSITION. On suppose, 1°, qu’un rayon de lumiere comme EC passant d'un milieu dans un autre different comme de l'air dans le verre, s'il est perpendiculaire à la surface des deux milieux, il continue dans le second son chemin dans la même ligne droite; mais que s'il est oblique à la surface des deux milieux, il ne continue pas son chemin dans la même ligne droite, mais qu'il se rompt à l'entrée du second milieu, & qu'il continue ensuite son chemin dans une autre ligne droite Cf ou CQ. 2o. Que si l'on tire une perpendiculaire pcp à la surface CS qui separe les deux milieux, (quand la surface est courbe , la perpendiculaire à la tangente de la courbe au point Coù passe le rayon de lumiere, est la perpendiculaire à la surface des deux milieux en ce point C qui est le point touchant,) l'angle EC p que forme le rayon EC avec la partie Cp de la perpendiculaire qui est dans le premier milieu, s'appelle l'angle d'incidence, & l'angle fC P ou QCP que forme le rayon rompu Cf ou co dans le second milieu avec la perpendiculaire CP, s'appelle l'angle de refraétion. 3°. Que quand plusieurs rayons de luniiere passent ainsi obliquement d'un milieu dans un autre, c'est une loi prouvée par l'experience, &dont on donne la raison dans la Dioptrique & dans la Physique, que le raport du sinus de l'angle d'incidence & du sinus de l'angle de refraction est le même par raport

à tous les rayons, quelque difference qu'il y ait entre les angles d'incidence ; c'est ce raport constant qu'on appelle le raport de la refraction. Quand les rayons passent de l'air dans le verre, ce raport est ; & quand ils passent du verre dans l'air, ce raport est . 4o. Que dans les courbes AC le rayon incident est Fig. XXV. EC; la tangente au point c est CS; la perpendiculaire à ce & XXVI. point est pCP qui rencontre l'axe AB en P ou p; le rayon rompu est Cfou co; par consequent l'angle d'incidence est ECP (à cause des paralleles EC, AB) à l'angle CPA ou CpA, qui(ou son complement)dans le triangle CPF ou Cpq,a pour côté opposé le rayon rompu Cf ou CQ; & l'angle de refraction est PCf ou po, qui dans le même triangle CPF ou Cpo a pour côté opposé la ligne Pf ou po; ainsi le sinus de l'angle d'incidence est au sinus de l'angle de refraction, comme le rayon rompu C fou Cg est à la distance fP ou qp.

KKkk iij

où est le point fou Q, auquel se rassemblent les rayons, de la perpendiculaire PCp ou PCP; ainsi quand les rayons ce paralleles à l'axe AB, passent de l'air dans le verre, comme on le suppose dans la figure 25, Cf. fP :: 3.2; quand ils passent du verre dans l'air, comme on le suppose (fig. 26), PQ.CQ :: 2. 3. Ces choses supposées, voici l'état de la question.

Il s'agit de trouver la courbe AC (fig. 25 & 26), qui soit telle que menant des lignes droites Cf,co de tous les points de la courbe d un point fixe f ou o de l'axe AB, & menant ausli

par tous les points C de la courbe des perpendiculaires fCP, à la tangente de ces points C, jusqu'à l'axe en P ou P, le raport de chaque Cf ou Co à la distance correspondante fP ou op soit toujours le même raport, & qu'on puisse le rendre égal au raport į fig. 25, į fig. 26.

RESOLUTION.
LES

Es figures 25 & 26 font voir d'une maniere si claire & fi courte que

la courbe AC doit être une ellipse quand les rayons passent de l'air dans le verre, & une hyperbole quand ils passent du verre dans l'air, qu'il est inutile de chercher

ces courbes par l'Analyse. Car MF & CP ou Cp étant supFig. XXV. posées perpendiculaires à la tangente CS, & par consequent

& XXVI. étant paralleles, l'axe Aa ou Av, ou la ligne égale à l'axe *421& 422. * Mf ou MQ est à la distance des foyers Ff ou FP, comme

chaque rayon rompu Cf ou co est å Pf ou po distance où est le foyer f ou o de la perpendiculaire C P ou Cp; d'où l'on voit qu'en faisant une ellipse dont l'axe Aa foit à la distance des foyers Ff comme 3 à 2, & une hyperbole dont l'axe An foit à la distance des foyers FQ comme 2 à 3,

deux courbes seront celles que l'on cherche. FIG. XXV. C'est pourquoi fi aprés avoir tracé une ellipse AC dont

l'axe Aa foit à la distance des foyers Ff comme 3 à 2, on décric un arc de cercle du centre f avec quel rayon on voudra fc moindre que f A, qui rencontre l’ellipse aux deux points C, c, l'un au dessus, l'autre au dessous de l'axe, & que l'on fasse tourner la figure comprise entre l'arc de l’ellipse & l'arc du cercle autour de l'axe AB, elle décrira la figure convexe d'un côté & concave de l'autre qu'il faut donner à un verre, afin que les rayons paralleles à l'axe AB comme EC,

3, ces

tombant de l'air sur la surface convexe CA, ils aillent tous
se rassembler au foyer f.

Aprés avoir de même tracé une hyperbole AC (fig. 26),
dont la distance des foyers FQ soit à l'axe A a comme 3 à 2,
si l'on tire une perpendiculaire C B à l'axe AB, & qu'on
fasse tourner la figure ACB autour de l'axe AB, elle décrira
la figure qu'il faut donner à un morceau de verre, afin que
les

rayons EC paralleles à l'axe qui entreront dans le verre au travers de la ligne droite BC sans y souffrir de refraction lui étant perpendiculaires, soient détournés par la refraction qu'ils souffriront au sortir du verre par la surface hyperbolique du verre aux points C, c, de maniere qu'ils aillent tous se raslembler au foyer 0. Ce qu'il falloit trouver.

0

Usage de la cycloide pour donnet la regularité

aux Horloges.
499. TROUVER quelle est la nature de la courbe DPGA que le cen- Fig. XLI.

tre de pesanteur P d'un pendule fimple SP, ou le centre d'oscilla-
tion P d'un pendule SP qu’on suppose composé , doit décrire par sa
pesanteur, afin que chacune de ses vibrations ou chacune des descen-
tes de ce centre depuis quel point on voudra de la courbe , comme
du point D, ou du point P, ou du point G, ou de tout autre point
jusqu'au point le plus bas A, se fasse toujours dans un temps égal.

SUPPOSITIONS.

I. On suppose que quand un corps pesant descend par le Fig. VIII. mouvement de la seule pesanteur, soit par une ligne verticale FA, soit par un plan incliné comme GA, terminé par les mêmes horizontales FG, AL, la vitesse qu'il aura acquile par la descente inclinée GA, sera égale à la vitesse qu'il auroit acquise par la descente FA terminée par

les mêmes horizontales FG, AL. Ainsi la vitesse acquise par F A étant =VFA*, la vitesse acquise par GA est aussi égale à VFA * 308. Mais le temps est different ; car

car le temps T par FA= * 301&310, & le temps t par GA=

2GA * ; ainsi T.t::FA.GA. D'où l'on déduit aisément que si differens corps pesants descendoient par plusieurs plans differemment inclinés qui fussent

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2 FA * V )

VFA

ز

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compris entre les mêmes horizontales, les temps employés
à descendre par ces plans differens seroient proportionels
aux longueurs de ces plans.

D'où il suit que les temps des descentes d'un corps pesant
tombant librement par les cordes GA, EA, CA, &c. d'un
cercle dont le diametre AH est vertical, sont tous égaux
entr'eux, & égaux chacun au temps de la descente par le
diametre HA. Car nommant la constante HA(d),chacune

des changeantes AF, AD, AB, &c.(x), l'on aura chacune • 288. des cordes GA, EA, CA, &c.= Vdx* ; les temps des def*301 & 310. centes par ces cordes seront égaux chacun * à 20 2Vd

,
qui
est le temps de la descente par le diametre HA.

I I.
FIG, XLI. Si un même corps pesant defcendoir de suite par plusieurs

plans inclinés contigus qui fissent les uns avec les autres des
angles qui ne differassent de la ligne droite ou de 180 degrés
que par des angles infiniment petits, comme font les côtés
infiniment petits dont on conçoit que sont formées les lignes
courbes, la vitesse acquife parla descente de ces plans comme
par DPG (fig. 41), est aulli égale à la vitelle acquise par la
descente de la verticale EM comprise entre les mêmes hori-
zontales ED, MG; ainsi la vitesse par DPG=VEM; la

vitesse acquise par DPGA=VEA; & le temps T de la def* 301 & 310. cente par DPG est ?EMO *; le temps t de la descente par DP A est 2 XEIA. Ces choses supposées, voici la résolution.

RESOLUTION
CONCevant l'origine de la courbe au point A, on mar-
quera chacun des arcs AG, AP, AD, &c. qui doivent être
parcourus dans un même temps par la changeante s; & ce
temps égal & constant de la descente par chaque s sera nom-
T ; & chacune des verticales AM, AB, AE, &c. cor-
respondante à chaque s, s'exprimera par la changeante x.

Or la vitesse acquise par la descente de chaque s est égale 308. à Vx*, ainsi le temps i de la descente par chaque s sera

ou bien , parceque cette expression convient au temps de
chacun des arcs, on peut la diviser par 2, & la
ainsi hoi cette expression du temps devant être la même
pour chacun des arcs, puisque les temps.pendant lesquels

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& la marquer

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