u3y — zdzuy ➜ dzuu ➡+ —u+ tion A, on trouve l'équation D. yy - Mettant cette Pour déterminer à prefent l'équation D à exprimer le point d'interfection C de deux de ces paraboles d'un même jet, qui ont leur point d'interfection C dans la courbe touchante qu'on cherche, il ne faut plus que fuppofer que ces deux paraboles AMC, Am C deviennent une même parabole; ce qui fe fera en fuppofant que 40 (y) a deux valeurs égales ou deux fois la même valeur dans l'équation D. Et *75. alors multipliant * l'équation D par la progreffion arithmędzu tique 2, 1, 0, on trouvera y =+ valeur de y & fon quarré à place de y & de vy dans l'équation D, elle deviendra l'équation E, uu+4dz-4dd qui eft l'équation de tous les points d'interfection C de toutes les paraboles d'une même force de poudre prifes deux à deux, qui fe coupant dans un point C de la courbe touchante qu'on cherche, deviennent deux à deux une même parabole, & font par là que l'équation E exprime le rapport de chaque point C de cette courbe touchante par le moyen des deux coordonnées changeantes AB(u) & BC(z). Et comme l'équation E eft celle d'une parabole, on voit que la courbe touchante eft une parabole, dont les Lecteurs trouveront aifément le parametre. Ce qu'il falloit trouver. & XXVI. ร Ufage de l'ellipfe de l'hyperbole, A PROBLEM E. FIG. XXV. TROUVER la nature de la courbe AC, dont l'axe eft la ligne AB, qui foit telle que fi l'on donne à la furface d'un morceau de verre 498. la courbure AĆ, il rassemble en un feul point fou tous les rayons de lumiere comme EC, qui feront paralleles à l'axe AB. SUPPOSITION. ON N fuppofe, 1°, qu'un rayon de lumiere comme EC paffant d'un milieu dans un autre different comme de l'air dans le verre, s'il eft perpendiculaire à la furface des deux milieux, il continue dans le fecond fon chemin dans la même ligne droite; mais que s'il eft oblique à la furface des deux milieux, il ne continue pas fon chemin dans la même ligne droite, mais qu'il fe rompt à l'entrée du second milieu, & qu'il continue enfuite fon chemin dans une autre ligne droite Cf ou Co. 2°. Que fi l'on tire une perpendiculaire pCP à la furface CS qui fepare les deux milieux, (quand la furface eft courbe, la perpendiculaire à la tangente de la courbe au point Coù paffe le rayon de lumiere, eft la perpendiculaire à la furface des deux milieux en ce point C qui eft le point touchant,) l'angle ECP que forme le rayon EC avec la partie Cp de la perpendiculaire qui eft dans le premier milieu, s'appelle l'angle d'incidence, & l'angle fCP ou CP que forme le rayon rompu Cf ou Co dans le fecond milieu avec la perpendiculaire CP, s'appelle l'angle de refraction. 3°. Que quand plufieurs rayons de lumiere paffent ainfi obliquement d'un milieu dans un autre, c'est une loi prouvée par l'experience, & dont on donne la raifon dans la Dioptrique & dans la Phyfique, que le raport du finus de l'angle d'incidence & du finus de l'angle de refraction eft le même par raport à tous les rayons, quelque difference qu'il y ait entre les angles d'incidence; c'eft ce raport conftant qu'on appelle le raport de la refraction. Quand les rayons paffent de l'air dans le verre, ce raport eft ; & quand ils paffent du verre dans l'air, ce raport eft. 4°. Que dans les courbes AC le rayon incident eft FIG. XXV. EC; la tangente au point C eft CS; la perpendiculaire à ce & XXVI. point eft pCP qui rencontre l'axe AB en Poup; le rayon rompu eft Cf ou Co; par confequent l'angle d'incidence eft ECP(à caufe des paralleles EC, AB) à l'angle CPA ou CpA, qui (ou fon complement) dans le triangle CPf ou Cpq, a pour côté oppofé le rayon rompu Cf ou Co; & l'angle de refraction eft PCƒ ou pCo, qui dans le même triangle CPf ou Cp a pour côté oppofé la ligne Pf ou po; ainfi le finus de l'angle d'incidence eft au finus de l'angle de refraction, comme le rayon rompu Cfou Co eft à la distance ƒP ou ops KK kk ij où eft le point fou, auquel se raffemblent les rayons, de la perpendiculaire PCp ou pCP; ainfi quand les rayons CE paralleles à l'axe AB, paffent de l'air dans le verre, comme on le fuppofe dans la figure 25, Cf. fP :: 3.2; quand ils paffent du verre dans l'air, comme on le fuppofe (fig. 26), po. Co :: 2.3. Ces chofes fuppofées, voici l'état de la question. Il s'agit de trouver la courbe AC(fig. 25 & 26), qui foit telle que menant des lignes droites Cf, Co de tous les points C de la courbe à un point fixe ƒ ou de l'axe AB, & menant auffi par tous les points C de la courbe des perpendiculaires FCP, à la tangente de ces points C, jufqu'à l'axe en Poup, le raport de chaque Cf ou Co à la distance correspondante fP ou op foit toujours le même raport, & qu'on puiffe le rendre égal au raport 2 fig. 25, fig. 26. LES RESOLUTION. Es figures 25 & 26 font voir d'une maniere fi claire & fi courte que la courbe AC doit être une ellipfe quand les rayons paffent de l'air dans le verre, & une hyperbole quand ils paffent du verre dans l'air, qu'il eft inutile de chercher ces courbes par l'Analyse. Car MF & CP ou Cp étant supFIG. XXV. pofées perpendiculaires à la tangente CS, & par confequent & XXVI, étant paralleles, l'axe Aa ou Aa, ou la ligne égale à l'axe 421&422. * Mf ou Mo est à la distance des foyers Ff ou F, comme chaque rayon rompu Cf ou Co eft à Pf ou pe distance où eft le foyer ƒ ou o de la perpendiculaire CP ou Cp; d'où l'on voit qu'en faifant une ellipfe dont l'axe Aa foit à la distance des foyers Ff comme 3 à 2, & une hyperbole dont l'axe A foit à la distance des foyers Fo comme 2 à deux courbes feront celles que l'on cherche. FIG. XXV. f 32 ces C'eft pourquoi fi aprés avoir tracé une ellipfe AC dont l'axe Aa foit à la diftance des foyers Ff comme 3 à 2, on décrit un arc de cercle du centre ƒ avec quel rayon on voudra fC moindre que fA, qui rencontre l'ellipfe aux deux points C, c, l'un au deffus, l'autre au deffous de l'axe, & que l'on faffe tourner la figure comprise entre l'arc de l'ellipfe & l'arc du cercle autour de l'axe AB, elle décrira la figure convexe d'un côté & concave de l'autre qu'il faut donner à un verre, afin que les rayons paralleles à l'axe AB comme EC, tombant de l'air fur la furface convexe CA, ils aillent tous. fe raffembler au foyer f. Aprés avoir de même tracé une hyperbole AC (fig. 26), Ufage de la cycloïde pour donner la regularité 499. TROUVER quelle eft la nature de la courbe DPGA que le cen- FIG. XLI. tre de pefanteur P d'un pendule fimple SP, ou le centre d'ofcilla- SUPPOSITIONS. I. ON fuppofe que quand un corps pefant defcend par le FIG. VIII. JFA 2. FA* VFA *308. *301 & 310. compris entre les mêmes horizontales, les temps employés à defcendre par ces plans differens feroient proportionels aux longueurs de ces plans. D'où il fuit que les temps des defcentes d'un corps pefant tombant librement par les cordes GA, EA, CA, &c. d'un cercle dont le diamètre AH eft vertical, font tous égaux entr'eux, & égaux chacun au temps de la defcente par le diametre HA. Car nommant la conftante HA (d), chacune des changeantes AF, AD, AB, &c. (x), l'on aura chacune des cordes GA, EA, CA, &c.— Vdx*; les temps des def*301 & 310. centes par ces cordes feront égaux chacun à 2dx=2Vd 24, qui eft le temps de la defcente par le diametre HA. #288. FIG. XLI.. * 2d I I. Si un même corps pefant defcendoit de fuite par plufieurs plans inclinés contigus qui fiffent les uns avec les autres des angles qui ne differaffent de la ligne droite ou de 180 degrés que par des angles infiniment petits, comme font les côtés infiniment petits dont on conçoit que font formées les lignes courbes, la viteffe acquife par la defcente de ces plans comme par DPG (fig. 41), eft auffi égale à la vitelle acquife par defcente de la verticale EM comprise entre les mêmes horizontales ED, MG; ainsi la vitesse par DPG = ✓ EM; la viteffe acquife par DPGA=√EA; & le temps 7 de la def301 & 310. cente par DPG est * ; le temps t de la defcente par DPA eft 2XDP. Ces chofes fuppofées, voici la réfolution. JEA 2 X DPG * RESOLUTION. la CONCEVANT l'origine de la courbe au point A, on marquera chacun des arcs AG, AP, AD, &c. qui doivent être parcourus dans un même temps par la changeante s; & ce temps égal & conftant de la defcente par chaque s fera nommé T; & chacune des verticales AM, AB, AE, &c. correfpondante à chaque s, s'exprimera par la changeante x. Or la viteffe acquife par la defcente de chaques eft égale *308. à Vx*, ainfi le temps 7 de la defcente par chaque s fera ; ou bien, parceque cette expreffion convient au temps de chacun des arcs, on peut la divifer par 2, & la marquer ainfi cette expreffion du temps devant être la même pour chacun des arcs, puifque les temps pendant lefquels ils |