Imágenes de páginas
PDF
EPUB

ils doivent être parcourus sont égaux, est égale à une gran-
deur constante; on peut donc la supposer égale à la grandeur
constante 2Va; par consequent l'on aura = 2Va, qui se
réduit à sa
2Vax, qui est l'équation de la courbe

que

l'on cherche. Or c'est l'équation de la cycloïde*. Ainsi li l'on * 456. fait décrire au centre de pesanteur ou d'oscillation des arcs de cycloïde, les durées des vibrations du pendule seront toujours égales, soit

que

le poids de l'horloge agissant plus fort, falle décrire de plus grands arcs de cycloïde , soit

que le poids de l'horloge agissant moins fort, en falle décrire de plus petits.

D'où l'on voit que pour donner une entiere justesse aux
horloges, il ne reste plus qu'à trouver le moyen de faire
décrire au centre de pesanteur ou d'oscillation du pendule,
des arcs de cycloïde; ce que l'on enseignera dans la seconde
Partie.

Avertissement.
Les courbes ont une infinité d'autres beaux usages, mais

l'on en a dit suffit pour faire voir aux Lecteurs com-
ment l'Analyse les fait découvrir par le calcul ordinaire de
l’Algebre, quand cela est poslībie.

[ocr errors][ocr errors]

ce que

[ocr errors]
[merged small][merged small][ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors]

SECONDE PARTIE.
Usage de l'Analyse dans la résolution des Problemes de la
Geometrie & des sciences Physico-mathematiques,
en employant le calcul differentiel

.

[blocks in formation]

l'on explique le calcul differentiel & les principes dont il

dépend.
PRINCIPE DU CALCUL DIFFERENTIEL

ANCIENS GEOMETRES.

DES

Chegar

'Est une chose ordinaire aux anciens Geometres de soo.

regarder deux quantités comme étant égales quand elles different moins entr'elles qu'aucune grandeur finie & déterminée, tant petite qu'elle puisse être, en demeurant finie ou bornée.

C'est sur ce principe qu'en concevant des polygones infcrits & circonscrits au cercle, dont les côtés allant en dimi. nuant de plus en plus à l'infini, font que le perimetre & l'aire de ceux de ces polygones qui ont les côtés les plus petits, approchent le plus du perimetre & de l'aire du cercle; ils supposoient qu'on pouvoit concevoir un polygone inscrit & un autre circonscrit de tant de côtés , & par consequent de côtés si petits, que la difference entre ces deux polygones, & à plus forte raison la difference de l'un & de l'autre d'avec le cercle, fût moindre qu'aucune grandeur finie & déterminée; Et ils regardoient le dernier, pour ainsi dire, de ces polygones

inscrits & le dernier de ces circonscrits comme égaux entr'eux & au cercle ; ce qu'ils n'auroient pû faire qu'en concevant les côtés de chacun de ces polygones comme infiniment petits, & comme y en ayant une infinité; puisque pendant qu'ils demeureroient finis & déterminés, la difference du polygone inscrit & du circonscric seroit finie, & de

que leurs

[ocr errors]

même leur difference d'avec le cercle seroit aussi finie, & l'on ne pourroit pas supposer ces trois figures égales, comme il leur étoit necessaire de le faire , afin

preuves fussent démonstratives. C'est par ce principe que sont dé

montrées la plupart des propositions du 12° Liv. d'Euclide. Soi.

On s'est heureusement avisé de notre temps de donner des expressions propres à ces differences infiniment petites, lesquelles differences pendant qu'elles sont réelles ont des raports entr'elles tres réels, & qui sont égaux aux raports des grandeurs finies, par le moyen desquelles ces raports des differences

peuvent être exprimés. Là methode de trouver les expressions des differences & de leurs rapports, est ce qu'on appelle le calcul des differences, ou le calcul differentiel; par

le moyen duquel on trouve d'une maniere courte & facile une infinité de raports entre les lignes droites & courbes geometriques & méchaniques qu'on auroit bien de la peine à trouver par

d'autres
voyes;

& comme les grandeurs entieres

que
l'on

peut comparer ont des differences qui ont des expressions qui les leur rendent propres, on peut retourner de ces differences aux grandeurs entieres qu'on appelle sommes ou integrales, & les trouver par le moyen de leurs differences:Ce retour des differences aux grandeurs integrales dont elles sont les differences, est ce qu'on nomme le calcul integrale. Par le calcul differentiel on trouve les expressions des differences des grandeurs integrales, & l'on fait sur ces expressions les operations que fait l’Algebre sur les grandeurs algebriques; par le calcul integral

le calcul integral on trouve les expressions des grandeurs integrales dont on a l'expression des differen

UTILITE'S DE CES 502. Depuis qu’on a employé ces calculs dans l'usage de

l’Analyse, on a non seulement refolu d'une maniere plus courte & plus aisée la plupart des plus difficiles Problêmes qu’on avoit resolus par le calcul ordinaire ; mais on a fait des découvertes surprenantes dans la Geometrie composée & dans les sciences physico-mathematiques, comme on le peut voir dans les Memoires de l'Academie, dans les Aftes de Leipsic, dans l'Analyse des Infiniment Petits, dans les Ouvrages de M. Newton , & dans tous les autres où l'on employe ces calculs.

LLll ij

ces.

CALCULS.

On applique ces calculs aux courbes méchaniques, comme aux courbes geometriques, & l'on découvre par leur moyen les proprietés des unes & des autres avec la même facilité.

Il n'est point necessaire dans ces calculs d'ôter les signes radicaux, ce qui ôte l'un des plus grands embarras du calcul ordinaire , outre que ces calculs font ordinairement plus courts d'eux- mêmes que ne sont les ordinaires.

Ces calculs suivent la nature dans la resolution des Problêmes physico-mathematiques, laquelle n'agissant que par le mouvement & les figures, commence & agit ordinairement par des degrés infiniment petits à chaque instant du temps, chacun de ces instants étant aussi infiniment petit.

Enfin on réduit par ces calculs la Geometrie composée ou la Geometrie de toutes les courbes à la Geometrie simple des figures rectilignes, ce qui la réduit à toute la fimplicité poslible, & ce qui met les Geometres en état de la porter à toute la perfection possible. Le principe du calcul differentiel sert à démontrer sans calcul

plusieurs propositions de la Geometrie composée. E principe que dans la comparaison des grandeurs finies on peut regarder des differences qu'elles ont entr'elles, plus petites qu'aucune grandeur déterminée, ou infiniment petites (on n'entend que la même chose par ces deux expresions); ce principe, dis-je, suffit pour démontrer sans calcul & d'une maniere tres simple plusieurs propositions de la Geometrie composée, que Pon ne démontre qne par de longs circuits.

En voici quelques exemples sur la cycloïde. So 3 Si l'on mene par un point quelconque f de la cycloïde Fig. xxxv. l'ordonnée fFB parallele à la base DE qui rencontre le cer

cle generateur en F, qu’on tire la corde FA, & qu'on mene par f la droite fa parallele à la corde FA, fa sera la tangente au point fi Car en mettant le cercle generateur dans la situation eaf, où son point f décrit la partie finfiniment petite de la cycloïde, il est évident qu'en menant la corde fe, on peut concevoir que cette corde fe tournant à cet instant sur le point e, comme sur un centre, décrit par son extremité f un arc f infiniment petit, qui fait la petite partie f de la cycloïde : or ef étant le rayon de ce petit arc, est perpendiculaire à la tangente de ce petit arc fi fa perpendiculaire

à ef, & parallele à F A, est donc la tangente de ce petit arcf
ou de ce point f de la cycloïde; d'où il suit ausli que fe est

parallele à FE.
504 Pour entendre les propositions suivantes, il faut remar- Fig.XLI.

quer que si l'on envelope la courbe SKD d'un fil également
tendu par tout, qui soit comme colé sur cette courbe, & qui
lui foit égal en longueur , qu'on develope ensuite la courbe
en commençant au point D , & que l'extremicé D du fil
pendant le developement insensible que l'on fait de la courbe
DKS, décrive la seconde courbe DPA; la premiere courbe
DKS s'appelle le developée de la seconde courbe DPA;
chacune des parties du fil comme PK détachées les unes
aprés les autres de dessus la develope DKS, s'appellent les
rayons de la developée ; & la courbe DPA est la courbe formée
par le developement du fil de la developée. Ces choses sup-

posées :
sosi Il est évident que chaque rayon KP de la developée est

égal à la partie developee DK de la courbe DKS, si ce n'est
quand le fil qui envelope la developée est plus long ou plus
court que la courbe qu'il envelope; car dans le premier cas

rayon de la developée est égal à la partie de cette courbe
qui est developée, & de plus à la ligne droite dont on suppose
que le fil surpasle la courbe qu'il envelope ; & dans le second
cas il n'est égal qu'à la partie de la courbe qu’on suppose

qu'il envelopoit.
506. Que chaque rayon RKP de la developée est une tangente

de la developée ; car le reste ska du rayon K P demeurant
comme collé à la developee, le point K est la particule de
la developée du point K, & le rayon KP ne fait qu'une ligne
droite avec cette particule & en est le prolongement; ainsi

le rayon K P est la tangente de la developée en ce point K.
507. Que chaque rayon KP de la developée est perpendiculaire
au point P à la courbe DP A. Car on peut concevoir que

le rayon KP à l'instant qu'il forme la particule P de la courbe DPA, se meut sur le centre K , & qu'il forme un arc infiniment petit P qui est la particule P de la courbe PDA. Or le rayon KP est perpendiculaire au petit arc P ou à la petite partie de la tangente au point P, laquelle petite partie est en même temps le petit arc formé par le rayon KP, particule P de la courbe DPA, & la petite partie de la tangente.

LLll iij

le

[ocr errors]

la

« AnteriorContinuar »