ils doivent être parcourus font égaux, eft égale à une grandeur conftante, on peut donc la fuppofer égale à la grandeur conftante 2Va; par confequent l'on aura- =2Va, qui fe réduit à s= 2Vax, qui eft l'équation de la courbe que l'on cherche. Or c'est l'équation de la cycloïde*. Ainsi si l'on * 456. fait décrire au centre de pefanteur ou d'ofcillation des arcs de cycloïde, les durées des vibrations du pendule seront toujours égales, foit que le poids de l'horloge agiffant plus fort, fafle décrire de plus grands arcs de cycloïde, foit que le poids de l'horloge agiffant moins fort, en faffe décrire de plus petits.

D'où l'on voit que pour donner une entiere justesse aux horloges, il ne reste plus qu'à trouver le moyen de faire décrire au centre de pefanteur ou d'ofcillation du pendule, des arcs de cycloïde, ce que l'on enfeignera dans la feconde

Partie.

Avertiffement.

Les courbes ont une infinité d'autres beaux ufages, mais ce que l'on en a dit fuffit pour faire voir aux Lecteurs comment l'Analyfe les fait découvrir par le calcul ordinaire de l'Algebre, quand cela eft poffible.

**

Ufage de l'Analyse dans la réfolution des Problêmes de la
Geometrie & des fciences Phyfico-mathematiques,
en employant le calcul differentiel.

Où l'on explique le calcul differentiel & les principes dont il

dépend.

PRINCIPE DU CALCUL DIFFERENTIEL PRIS
DES ANCIENS GEOMETRES.

'EST une chofe ordinaire aux anciens Geometres de regarder deux quantités comme étant égales quand elles different moins entr'elles qu'aucune grandeur finie & déterminée, tant petite qu'elle puiffe être, en demeurant finie ou bornée.

C'eft fur ce principe qu'en concevant des polygones infcrits & circonfcrits au cercle, dont les côtés allant en diminuant de plus en plus à l'infini, font que le perimetre & l'aire de ceux de ces polygones qui ont les côtés les plus petits, approchent le plus du perimetre & de l'aire du cercle; ils fuppofoient qu'on pouvoit concevoir un polygone infcrit & un autre circonfcrit de tant de côtés, & par confequent de côtés fi petits, que la difference entre ces deux polygones, & à plus forte raison la difference de l'un & de l'autre d'avec le cercle, fût moindre qu'aucune grandeur finie & déterminée; Et ils regardoient le dernier, pour ainfi dire, de ces polygones infcrits & le dernier de ces circonfcrits comme égaux entr'eux & au cercle; ce qu'ils n'auroient pû faire qu'en concevant les côtés de chacun de ces polygones comme infiniment petits, & comme y en ayant une infinité, puifque pendant qu'ils demeureroient finis & déterminés, la difference du polygone infcrit & du circonfcrit feroit finie, & de

même leur difference d'avec le cercle feroit auffi finie, & l'on ne pourroit pas fuppofer ces trois figures égales, comme il leur étoit neceffaire de le faire, afin que leurs preuves fuffent démonstratives. C'est par ce principe que font démontrées la plupart des propofitions du 12° Liv. d'Euclide.

On s'eft heureusement avifé de notre temps de donner des expreffions propres à ces differences infiniment petites, lefquelles differences pendant qu'elles font réelles ont des raports entr'elles tres réels, & qui font égaux aux raports des grandeurs finies, par le moyen defquelles ces raports des differences peuvent être exprimés. La methode de trouver les expreffions des differences & de leurs rapports, eft ce qu'on appelle le calcul des differences, ou le calcul differentiel; par le moyen duquel on trouve d'une maniere courte & facile une infinité de raports entre les lignes droites & courbes geometriques & méchaniques qu'on auroit bien de la peine à trouver par d'autres voyès; & comme les grandeurs entieres que l'on peut comparer ont des differences qui ont des expreffions qui les leur rendent propres, on peut retourner de ces differences aux grandeurs entieres qu'on appelle fommes ou integrales, & les trouver par le moyen de leurs differences: Ce retour des differences aux grandeurs integrales dont elles font les differences, eft ce qu'on nomme le calcul integrale. Par le calcul differentiel on trouve les expreffions des differences des grandeurs integrales, & l'on fait fur ces expreffions les operations que fait l'Algebre fur les grandeurs algebriques; par le calcul integral on trouve les expreffions des grandeurs integrales dont on a l'expreffion des differen

ces.

UTILITE'S DE CES CALCULS.

502. DEPUIS qu'on a employé ces calculs dans l'ufage de l'Analyse, on a non feulement refolu d'une maniere plus courte & plus aifée la plupart des plus difficiles Problêmes qu'on avoit refolus par le calcul ordinaire; mais on a fait des découvertes furprenantes dans la Geometrie compofée & dans les fciences phyfico-mathematiques, comme on le peut voir dans les Memoires de l'Academie, dans les Actes de Leipfic, dans l'Analyfe des Infiniment Petits, dans les Ouvrages de M. Newton, & dans tous les autres où l'on employe ces calculs.

LLII ij

503.

On applique ces calculs aux courbes méchaniques, comme aux courbes geometriques, & l'on découvre par leur moyen les proprietés des unes & des autres avec la même facilité.

Il n'eft point neceffaire dans ces calculs d'ôter les fignes radicaux, ce qui ôte l'un des plus grands embarras du calcul ordinaire, outre que ces calculs font ordinairement plus courts d'eux-mêmes que ne font les ordinaires.

Ces calculs fuivent la nature dans la refolution des Problêmes phyfico-mathematiques, laquelle n'agiffant que par le mouvement & les figures, commence & agit ordinairement par des degrés infiniment petits à chaque inftant du temps, chacun de ces inftants étant auffi infiniment petit.

Enfin on réduit par ces calculs la Geometrie compofée ou la Geometrie de toutes les courbes à la Geometrie fimple des figures rectilignes, ce qui la réduit à toute la fimplicité poffible, & ce qui met les Geometres en état de la porter à toute la perfection poffible.

Le principe du calcul differentiel fert à démontrer fans calcul plufieurs propofitions de la Geometrie compofée.

CE

E principe que dans la comparaifon des grandeurs finies on peut regarder des differences qu'elles ont entr'elles, plus petites qu'aucune grandeur déterminée, ou infiniment petites (on n'entend que la même chofe par ces deux expreffions); ce principe, dis-je, fuffit pour démontrer fans calcul & d'une maniere tres fimple plufieurs propofitions de la Geometrie compofée, que l'on ne démontre que par de longs circuits. En voici quelques exemples fur la cycloïde.

f

Si l'on mene par un point quelconque ƒ de la cycloïde FIG. XXXV. l'ordonnée ƒFB parallele à la base DE qui rencontre le cercle generateur en F, qu'on tire la corde FA, & qu'on mene par f la droite fa parallele à la corde FA, fa fera la tangente au point f; Car en mettant le cercle generateur dans la fituation eaf, où fon point ƒ décrit la partie ƒ infiniment petite de la cycloïde, il eft évident qu'en menant la corde fe, on peut concevoir que cette corde fe tournant à cet inftant fur le point e, comme fur un centre, décrit par fon extremité fun arc finfiniment petit, qui fait la petite partie ƒ de la cycloïde: or ef étant le rayon de ce petit arc, eft perpendiculaire à la tangente de ce petit arc ƒ; fa perpendiculairę

504.

à ef,& parallele à FA, eft donc la tangente de ce petit arc f
ou de ce point f de la cycloïde, d'où il fuit auffi que fe est
parallele à FE.

Pour entendre les propofitions fuivantes, il faut remar- F1G.XLI.
quer que fi l'on envelope la courbe SKD d'un fil également
tendu par tout, qui foit comme colé fur cette courbe, & qui
lui foit égal en longueur, qu'on develope enfuite la courbe
en commençant au point D, & que l'extremité D du fil
pendant le developement infenfible que l'on fait de la courbe
DKS, décrive la feconde courbe DPA; la premiere courbe
DKS s'appelle la developée de la feconde courbe DPA;
chacune des parties du fil comme PK détachées les unes
aprés les autres de deffus la develope DKS, s'appellent les
rayons de la developée ; & la courbe DPA eft la courbe formée
par le developement du fil de la developée. Ces chofes fup-
pofées :

le

505. Il est évident que chaque rayon KP de la developée est égal à la partie developée DK de la courbe DKS, fi ce n'est quand le fil qui envelope la developée eft plus long ou plus court que la courbe qu'il envelope; car dans le premier cas rayon de la developée eft égal à la partie de cette courbe qui eft developée, & de plus à la ligne droite dont on suppose que le fil furpaffe la courbe qu'il envelope; & dans le fecond cas il n'eft égal qu'à la partie de la courbe qu'on fuppose qu'il envelopoit.

506. Que chaque rayon KP de la developée eft une tangente de la developée, car le refte S du rayon K P demeurant comme collé à la developée, le point K eft la particule de la developée du point K, & le rayon KP ne fait qu'une ligne droite avec cette particule & en eft le prolongement; ainsi le rayon KP eft la tangente de la developée en ce point K. 507. Que chaque rayon KP de la developée eft perpendiculaire au point P à la courbe DPA. Car on peut concevoir que le rayon KP à l'instant qu'il forme la particule P de la courbe DPA, fe meut fur le centre K, & qu'il forme un arc infiniment petit P qui eft la particule P de la courbe PDA. Or le rayon KP eft perpendiculaire au petit arc P ou à la petite partie de la tangente au point P, laquelle petite partie est en même temps le petit arc formé par le rayon KP, la particule de la courbe DPA, & la petite partie de la tangente. LL11 iij