Suppofons à prefent que DPA eft une cycloïde dont le cercle generateur eft AFE, la base DE égale à la demicirconference AFE, & qu'il faille trouver la longueur PK du rayon de la developée au point P, & enfuite qu'elle eft la nature de la courbe DKS qui eft la developée de la cycloïde DPA.

508.

Pour trouver la longueur du rayon PK, il faut concevoir que PG eft une partie infiniment petite de la cycloïde, que PK eft la perpendiculaire de la cycloïde au point P, & que GK l'est au point G; à caufe qu'on fuppofe GP infiniment petite, les deux perpendiculaires PK, GK peuvent être confiderees comme partant du même point K de la developée qui eft comme le centre autour duquel le fil ou le rayon PK eft conçu tourner lorsqu'il forme la particule PG; qu'on mene les ordonnées PFB, GHM, qui rencontrent le cercle generateur aux points F & H par où il faut mener les cordes EF, FA, EH, HA; enfin qu'on conçoive décrits des centres K & E les petits arcs fl, FL, les petits triangles rectangles FLH, flh feront femblables & égaux; car, 1o, les hypothenufes HF, bf font égales, puifque par la formation de 454. la cycloïde * Ef = FP ( à cause des paralleles ƒP,FE), & que FP eft égale à l'arc AHF, & par la même raifon Eh HG= à l'arc AH; ainfi Ef- Eh bf = à l'arc AF Eb 1 l'arc AH l'arc FH. 2°. bl=Gh— Pf= à la corde EH- la corde EF = HL; par confequent le petit côté ou le petit arc fl est égal au petit côté ou au petit arc FL. D'où il fuit que les rayons de ces petits arcs qui font Kf & EF font égaux: mais fP par la formation de la cycloïde eft égale à la corde EF; par confequent le rayon KP eft double de la corde EF. Et comme la même démonftration convient à tout autre rayon representé par KP, il est évident que chaque rayon PK de la developée de la cycloïde est toujours double de la corde correfpondante EF du cercle generateur, & que par confequent SA eft double du diametre AE. 509. Pour trouver la nature de la developée DKS de la cycloïde, il faut mener De perpendiculaire à la bafe DE de la cycloïde & égale à EA ou à son égale ES, décrire fur le diametre De le demi-cercle DIe; tirer la corde DI parallele à Pf & à FE, qui fera par consequent l'angle fDI égal à son alterne DEF, ce qui fera caufe (les cercles DIe, AFE étant égaux), que

ces cordes D1, EF feront égales, & leurs arcs égaux, & que
DI fera auffi égale à ƒK qui est égale à EF; & menant IK,
elle fera égale & parallele à Df. Ces chofes fuppofées:

La bafe ED étant égale à la demi - circonference AFE,
& FP ou fon égale Efétant égale à l'arc AHF*, le refte fD *454.
de la base est égal à l'arc EF & à l'arc DI qui eft égal à EF;
l'ordonnée KI de la developée DKS menée d'un point quel-
conque K au cercle DIe, étant égale à Df, eft parconfequent
égale à l'arc DI; & comme il eft évident que la démonftra-
tion peut s'appliquer à tout autre point de la developée, la
proprieté de cette developée eft que chaque ordonnée K1 est
égale à l'arc correspondant DI du cercle DIe. Et comme
c'est la propriété de la cycloïde dont DIe eft le cercle ge- *454.
nerateur, la developée DKS de la cycloïde DPA, eft elle-
même une cycloïde égale à la premiere DPA, puifque le
cercle generateur de l'une eft égal à celui de l'autre: Elle est
feulement dans une autre fituation, le point D de la deve-
lopée répond au point A de la cycloïde DPA, & le point $
de la premiere au point D de la feconde.

Comme l'on a démontré que chaque partie KP du fil developé eft double de la corde correfpondante DI, & comme la partie KP du fil developé est égale à la partie developée DK de la cycloïde DKS; il s'enfuit que chacun des arcs DK d'une cycloïde eft double de la corde correfpondante DI du cercle generateur, & que la cycloïde DKS eft double du diametre De du cercle generateur.

REMARQUES.
I.

Où l'on explique ce qui reftoit à faire pour donner la regularité
aux horloges.

511. Il est à present évident que fi l'on donne à deux lames de
cuivre SK, Sk la courbure SK d'une cycloïde SKD, dont le
cercle generateur DIe ait pour diametre De la moitié de
la longueur du pendule SP ou de fon égale SA, qu'on sup-
pofe être la longueur du pendule dont les vibrations font
precifément d'une feconde; & que l'on fufpende le pendule
SA ou SP au point S entre ces deux lames de cuivre par une
foie déliée, de façon que quelque mouvement que le poids

de l'horloge imprime au pendule SP, ce pendule foit toujours la tangente de la cycloïde SK ou Sk; il eft, dis-je, évident que le centre de pefanteur ou d'ofcillation P, décrira dans toutes fes vibrations des arcs de cycloïde AP, lefquel499. les par confequent* feront toutes d'une égale durée. Ce qui reftoit à demontrer de ce qu'il faut faire pour donner toute la jufteffe poffible aux horloges; & c'est pour cela qu'on a choifi ici ces Exemples de la cycloïde.

I I.

Comme l'on peut regarder des grandeurs infiniment petites par raport aux grandeurs finies dont elles font les differences, on peut regarder de même des grandeurs comme infiniment grandes par raport à d'autres finies qui deviennent égales à zero par raport à ces grandeurs infiniment plus grandes, on démontre facilement par là plufieurs propofitions de Geometrie, par exemple on a déterminé par là la fituation des afymptotes de l'hyperbole art. 400, en supfant qu'elles font des tangentes de l'hyperbole à des points infiniment éloignés du centre de l'hyperbole. De même dans les Problêmes où entrent les triangles rectangles dont un côté augmente toujours pendant que l'autre demeure le même, ou bien diminue toujours, en fuppofant que ce dernier côté est égal à zero par raport à l'autre, ou que celui-ci devient infini, alors le côté infini & l'hypotenufe deviennent paralleles. De même quand un angle aigu va toujours en diminuant, en le fuppofant égal à zero, ou infiniment petit, & fes côtés infiniment grands; on a le cas où les deux côtés deviennent paralleles.

C'est ainsi qu'en fuppofant qu'un des foyers de l'ellipfe demeurant immobile, l'autre s'éloigne à l'infini, l'ellipfe devient une parabole, & qu'on trouve par le même calcul plufieurs proprietés communes à ces deux figures.

Ces fuppofitions, dont l'efprit apperçoit la verité, abregent en plufieurs cas les refolutions du Problême, & les rendent generales.

Explication

Explication du calcul differentiel.

PREMIERE SUPPOSITION OU DEMANDE.

le

513. TOUTES les lignes droites & courbes, & toutes les figures des furfaces & des folides, peuvent être regardées comme formées ou décrites par le mouvement; les lignes droites par le mouvement d'un point qui n'est point détourné dans fa direction; les courbes par le mouvement d'un point qui étant détourné à chaque instant de fa direction, ne décrit aucune ligne droite finie, mais une infinité de petites lignes droites chacune infiniment petite, & qui font ensemble deux à deux des angles qui ne different de la ligne droite, ou de l'angle de 180 degrés, que d'un angle infiniment petit. Les angles font formés par le mouvement d'une ligne droite mobile autour du fommet, & de même les triangles; les figures des furfaces par le mouvement d'une ligne droite ou courbe qui fe meut le long d'une autre droite, de façon que pendant tout le mouvement la ligne droite ou courbe qui fe meut, demeure toujours parallele à elle-même; par exemple, un rectangle peut être regardé comme formé par mouvement de la ligne qui en fait la hauteur le long de la bafe; la furface d'un cylindre par le mouvement d'une circonference qui fe meut toujours parallele à elle-même fuivant la direction de l'axe du cylindre; les figures folides par le mouvement d'une figure plane qui fe meut toujours parallele à elle-même fuivant une ligne droite; les prifmes & les cylindres font ainfi formés par le mouvement de leur base. Une infinité de surfaces courbes & les folides qu'elles comprennent, peuvent auffi être regardés comme formés par le mouvement d'une figure plane autour d'une ligne droite, comme la Sphère pår le mouvement d'un demi-cercle autour de fon diametre, & la furface de la Sphère par le mouvement de la demi-circonference; de même les cylindres par le mouvement d'un rectangle autour de fa base regardée le comme axe; les folides paraboloïdes, ellipfoïdes, &c. par mouvement d'une demi-parabole & d'une demi-ellipse au- · tour de fon axe. C'est ainsi que les anciens Geometres ont confideré les formations des lignes & des figures.

M M m m

CHACUNE des quantités (il fuffit de confiderer ici les lignes
droites & courbes) qui augmente infenfiblement ou qui di-
minue infenfiblement dans la formation des lignes & des
figures, s'appelle variable ou changeante ; & les lignes qui
n'augmentent ou ne diminuent point, & demeurent égales
pendant que les autres changent, s'appellent conftantes.

SECONDE SUPPOSITION OU
OU DEMANDE.

514. CHAQUE partie de temps finie, quelque petite qu'elle foit, eft divisible à l'infini comme l'étendue, & ces parties de temps infiniment petites, dont il en faut une infinité pour faire une partie finie de temps, s'appellent des inftants. Îl en eft de même de la viteffe, du mouvement, & de toute grandeur.

SECONDE DEFINITIO N..

SIS. L'AUGMENTATION ou la diminution infiniment petite que reçoit une quantité changeante à chaque inftant par une viteffe infiniment petite, dans la formation d'une ligne ou d'une figure, eft ce qu'on appelle une difference. Les lignes changeantes droites & courbes font marquées par les lettres des inconnues x, y, z, u, &c. les lignes conftantes par les lettres des connues a, b, c, &c. & l'on fe fervira de la lettre d pour marquer les differences; ainfi dx fera la difference de la ligne changeante x; dy fera la difference de la ligne changeante y; & ainfi des autres.

516. Par exemple, que l'on conçoive la ligne droite BC à l'oriFIG. XLII. gine A de là droite A BbH, & que cette ligne BC fe meut toujours parallelement à elle-même fuivant ABbH, & qu'en même temps un point C qui part de A fur la droite BC se meut auffi le long de BC en allant de B vers C, de maniere qu'il fe trouve toujours dans une courbe quelconque AC c qu'il décrit par fon mouvement; qu'on fuppofe aufsi la partie finie AC de la courbe déja décrite par le point C, & qu'il décrit en un instant par une vitesse infiniment petite la partie infiniment petite Ce de la courbe, & en même temps que la droite BC parcourt la partie infiniment petite Bb = ( en menant Cd parallele à BbjCd. Qu'on nomme la coupée chan