517. = geante AB(x); l'ordonnée changeante BCy); l'arc de courbe changeant AC (u); l'on marquera ainfi les differences, Bb Cd (dx), dc(dy), Cc (du); & comme le petit arc Cc (du) eft conçu comme une droite infiniment petite qui eft en cet endroit une partie de la courbe, & qui étant prolongée en 7, est la tangente aux points C &c, qu'on suppose infiniment proches l'un de l'autre, les raports des trois petites differences Cc (du), Cd(dx), de (dy) dans le petit triangle Ccd, font égaux aux raports des trois côtés correfpondants CT(t), BT (s), BC(y) du triangle femblable TCB formé par la tangente CT(t), la foutangente BT(s), & l'ordonnée BC (y). On peut auffi confiderer la courbe AC comme formée par le point C qu'on fuppofe partir du point A pris comme un centre ou pole dans un point de la courbe, ou en quel endroit on voudra du plan de la courbe, lequel point C fe meut de telle maniere le long de la droite AC pendant que cette droite tourne autour du pole fixe A, qu'il se trouve toujours dans la courbe AC qu'il décrit par fon mouvement. Suppofé que la partie finie AC de la courbe foit déja décrite par le point C, & qu'il décrit en un inftant par une vitesse infiniment petite l'arc infiniment petit Cc, & qu'on tire Ac & du centre A le petit arc de cercle Cr, qui à cause de fon infinie petiteffe peut être regardé comme une petite droite, & qu'on nomme le rayon AC(2) & l'arc AC (u), & le petit arc de cercle Cr(dx), Cc fera du, rc fera dz; & en concevant la petite partie cC prolongée qui fera la tangente de la courbe au point C, & par le pole A une perpendiculaire At au rayon Ac mené de A à qui rencontre la tangente en 75 le petit triangle Cer formé par les trois differentielles Cc (du), Cr(dx), cr (dz), sera semblable au triangle fini cAt, & les trois differences auront entr'elles les mêmes raports que les trois côtés de ce triangle cAt. COROLLAIRE I. 518. On voit par ces formations des courbes, qu'on peut regarder une courbe comme un polygone, ou quand elle ne rentre pas en elle-même, comme une partie de polygone qui a une infinité de côtés dont chacun eft infiniment petit, & chacun de ces petits côtés fait en même temps une partie MMmm j de la courbe, une partie de la tangente de la courbe en ce point là, & pour ainfi dire le côté infiniment petit d'un polygone d'une infinité de côtés inscrit à la courbe. COROLLAIRE I I. 519. ON N peut confiderer chaque partie infiniment petite d'une courbe, par exemple Cc, comme formée par le mouvement d'un point C qui eft pouffé par deux forces, l'une fuivant la direction Cd, & l'autre fuivant de dans la premiere forma. *516. tion,* de façon que la vitesse de la premiere foit à celle de la feconde, comme Cd à cd; & fuppofé qu'on achevât le parallelograme dont Cd & cd font les côtés angulaires, il doit * 316. décrire Ce qui eft la diagonale de ce parallelograme *, & chaque viteffe par les côtés eft à la viteffe par la diagonale, comme chacun de ces côtés eft à la diagonale décrite dans le même temps; ainsi la vitesse (u) par Cd(dx) est à la vitesse(u) par Ce(du), comme dx à du; & de même la viteffe (v) par cd(dy) eft à la viteffe (u) par Cc (du), comme dy à du; & lès vitesses par les côtés font entr'elles comme ces côtés Cd (dx), cd (dy). 304. Et, à caufe de l'égalité du temps, T. Ce qu'on peut facilement appliquer à la feconde formation. N REMARQUE. 520. On pourroit auffi nommer par une lettre toute autre quanFIG. XLII. tité variable, comme une partie des figures des furfaces ou des folides qui vont en augmentant ou en diminuant infenfiblement, comme le fegment CAC, l'efpace ABC, le folide formé par cet efpace en tournant autour de l'axe AB, &c. par exemple nommant une partie de figure variable, fa difference qui feroit une partie infiniment petite comme CAc du fegment CAC, comme CBbc de l'efpace ABC, feroit dz Mais comme les figures s'expriment en Algebre par le produit de plufieurs lettres, comme un rectangle par le produit ab de fes deux côtés; un prifme par le produit abc de fa base par fa hauteur; il eft plus utile dans les Problêmes fur ces figures, de marquer leurs differences par des produits, par exemple BCx Bbydx marquera le petit efpace CBbc qui eft la difference de l'espace changeant ABC, PROBLEME, QUI CONTIENT LE CALCUL DIFFERENTIEL. TROUVER la difference d'une quantité quelconque qui contient PREMIER CAS. 521. QUAND les changeantes font fimplement lineaires, & ne font point multipliées les unes par les autres, (il n'importe pas qu'elles foient multipliées par des conftantes, puifque les conftantes n'ont point de differences), & qu'elles font fimplement jointes les unes aux autres par les fignes &—; il ne faut que prendre les differences de toutes les changeantes, & les joindre ensemble par les mêmes fignes, & l'on aura la difference que l'on cherchoit. =0; +cdz aa Ainfi la difference de x-y+za, est dx ·dy+dz REMARQUE. 522. D'où l'on voit que quand une changeante y va en décroiffant, c'eft la premiere y qui furpaffe la feconde y de la difference dy, ainfi la feconde y eft y-dy; & dans ce cas il faut changer le figne de la difference de la feconde y; par exemple fi x augmente, & que y diminue, la difference de x+y fera dx -dy, & la difference de x -y fera dx dy. Neanmoins en suivant la regle du premier cas dans la résolution d'un Problême, on retrouve ordinairement les grandeurs négatives qui avoient des differences négatives, ce qui les doit faire prendre du côté oppofé*. Cependant il eft plus à* 281. & propos de fuivre la remarque. 182. M M m m iij SECOND CAS. 523. QUAND plufieurs changeantes font multipliées les unes par les autres, &, fi l'on veut, qu'il y ait auffi des constantes dans leurs produits; il faut multiplier la difference de chacune feparément par le produit des autres, & la fomme des produits fera la difference que l'on cherchoit. Pour trouver la difference de xy=ab, il faut multiplier la difference dx de x par y, & la difference dy de y par x; & la fomme ydx + xdy o, fera la difference de xy=ab, ou fimplement ydx + xdy fera la difference de xy. De même si l'on a le produit xyz=abc, la difference fera yzdx+xzdy + xydzo; ou yzdx+xzdy + xydz fera la difference de ཚ༡༢ ; la difference de axy fera aydx axdy; & ainfi des autres. La raison de cette regle eft que pour multiplier les differences de x & de y l'une par l'autre, il faut concevoir que x est devenue x + dx, & y eft devenue y + dy; & le produit de ces deux quantités eft xy + ydx + xdy + dxdy; & comme l'on ne veut que les differences, il faut ôter la grandeur finie & il reste pour la difference du produit xy, la fomme ydx + xdy + dxdy; mais dx dy eft une grandeur infiniment petite par raport à ydx + xdy, c'est pourquoi il la faut aussi négliger, & il ne refte que ydx + xdy pour la difference de l'on cherchoit. que xy, ху En voici une autre démonstration. On peut concevoir chaque difference dx & dy de x & de y partagée par la moitié, & concevoir, 1°, que x eft diminuée de la moitié de fa difference, & qu'elle eft devenue x — dx; & de même que y eft devenue y-dy, & leur produit fera xy-ydx xdy+dxdy. On peut auffi concevoir, 2°, que x & y font augmentées chacune de la moitié de leur difference, que x eft devenue x + dx, & que y eft devenue y + dy; & leur produit fera xy+ydx+xdy+dxdy. Or il eft clair qu'en retranchant la premiere fomme des produits de la feconde, on aura pour refte exact ydx+xdy, & que ce reste est égal à la difference du produit xy. Pour le reprefenter à l'imagination, il n'y a qu'à faire un rectangle qui aille en augmentant, dont x foit la bafe & y la hauteur, & prendre d'abord x — dx & y — dy, & y diftinguer les rectangles que donne leur produit, & prendre enfuite x+1dx &y+dy, & marquer les rectangles que donne leur produit, & l'on verra que les deux petits rectangles ydxxdy font la difference du rectangle entier xy. Cette démonstration fuppofée, il eft évident que la difference de xyz, ou du produit de tant de changeantes qu'on voudra, eft la fomme des produits de la difference de chacune de ces changeantes par le produit des autres changeantes; car il n'y a qu'à prendre le produit des deux xy comme une feule grandeur, & la difference de xyz fera égale à la difference de uz. Or la difference de uz eft zdu +udz; & mettant les valeurs de du & de u à leur place, on aura la difference de xyz égale à xzdy →yzdx + xydz; & ainfi des autres, L COROLLAIRE I. แ 52 4. Ix fuit de là que la difference d'une puissance quelconque d'une changeante x, eft le produit de la difference dx de cette changeante par la puiflance de la même changeante dont l'expofant eft moindre d'une unité que celui de la premiere, multiplié par l'expofant de la premiere; ainfi la difference de xx eft 2xdx; la difference de x3 eft 3xxdx; celle de x* est 4x3dx ; & en general celle de x" est nx”-'dx. 525. Car y dx+xdy étant par le fecond cas la difference du produit de xy, il est évident qu'en fuppofant y=x, ce qui donne dy dx, & en mettant dx au lieu de dy, & x au lieu dey, dans ydx + xdy, on aura xdx + xdx=2xdx. Ce qu'il eft facile d'appliquer aux puiffances plus élevées. = Quand il y a des conftantes pour les coéficients des puiffances des changeantes, elles demeurent dans les differences de ces puiffances; ainfi la difference de ax3 est zaxxdx; la difference de ax" est nax" -'dx; la difference de xx est 1 × 2xdx = xdx; la difference de x" eft ax"-'dx; la difference de * eft x-1 dx; la difference de x"y" est nx"-1y"dx ➡mx"y"- 'dy ; & ainfi des autres. a 526. QUAND a n COROLLAIRE II. U AND une fraction a au dénominateur une ou plufieurs changeantes ou leurs puiffances, on fçait qu'on les peut met-. |