tre au numerateur en mettant le figne axn n axn n-m sant; ainfi * = xy=', byn = {x"y-", bx =†x"—";& ainfi des autres. D'où l'on voit que la difference de ces fractions qui ont des changeantes au dénominateur, fe trouve comme celle des produits; ainfi la difference de IX x =x est — Ix-'-'dx=-xdx ; la difference de xy-1 eft y ̄'dx — 1xy-2dy; la difference de *** eft 2xxy^dx — — x3y ̃3dy ; an a am la difference dex"y-" eft 4 x"-"y-"dx - ax"y-"-1dy. COROLLAIRE III. 527. LES racines des puiffances des changeantes pouvant être regardées comme des puiffances elles mêmes, dont les expofans font des fractions, on en trouve les differences comme celles des puissances (premier Corollaire); ainfi la difference de Vx = x2, = x2, est 1 x − 1 dx = xdxdx; la diffe rence de Vaxi=ax1, cft {a}x—1dx = {a} x + dx I = 1⁄2 dx√x ; en general la difference de ax eft ; x-'dx; 528. QUAND il arrive que quelques-unes des grandeurs changeantes vont en diminuant, pendant que les autres augmentent, les differences de celles qui diminuent étant néga* 522. tives*, il faut changer le figne de chaque produit particulier où 529. 530. où se trouvent ces differences négatives. Par exemple fi les y I I. Quand on a une fois l'expreffion des differences des grandeurs changeantes, on fait enfuite fur ces expreffions les operations ordinaires de l'Algebre; ainfi le produit de dx par dy eft dxdy; le quarré de dx eft dx2; fa troifiéme puiflance est dx3; & ainfi des autres operations. III. Où l'on explique quelques principes du calcul integral. I 3 =x 1 l'integrale ded; Vax3 =ax eft l'integrale de dx√ax; autres. AVERTISSEMENT. 531. LA methode de retrouver les integrales dont on a les differentielles, eft ce qu'on nomme le calcul integral, dont on parlera dans la troifiéme Partie. Quand on refout des Problêmes de Geometrie & des fciences Phyfico-mathematiques, qui font foumis à ce calcul, on trouve d'abord des équations qui contiennent des differences; & remontant enfuite de ces differences à leurs integrales, on a les refolutions de ces Problêmes. Ceux qui veulent faire ufage du calcul integral, doivent fe rendre tres familieres les metho des qu'on vient de donner, pour trouver les differences des quantités quelconques qui contiennent des changeantes, en faire eux-mêmes beaucoup d'exemples, & bien remarquer les integrales d'où ils ont tiré ces differences; ils acquiereront par là une tres grande facilité de retrouver tout d'un coup, fans avoir befoin des regles, les integrales de beaucoup de differences qui fe prefenteront dans la réfolution des NNnn 1 Problêmes, & qui leur donneront tout d'un coup les refolu- $32. Ce feul exemple ax" eft l'integrale de la difference nax”— 'dx, 533. n par Ainfi pour trouver l'integrale reprefentée par ax" de la difference adz 2zdz Vaz- 122 fera a༢.— ༢༨. adz 2zdz ༧༢ — ༢༢ 2 플 =n-1; par confequent −/+1=+1=n—1+1=n, ཨ༢ — ༢༢ x". Pour avoir la grandeur à diviser, il faut mettre dans la difference propofée cette valeur de x", & la grandeur à divifer fera na x"dx = adz le divifeur fera ndx = 1 × adz — 2zdz ; & faisant la division, on trouvera l'integrale ax" — az—zz2 = √az — zz. On n'a mis ici la remarque précedente & l'avertiffement, que pour donner à ceux qui commencent une idée du calcul integral. IV. REMARQUE. 134. Les grandeurs conftantes n'ayant pas de difference, quand des grandeurs changeantes font égales à une conftante, leurs differences font égales à zero; si x + y = a, dx dy = ce qui donne dx ==dy; si dy; fi axy = abb, aydx ± axdy ce qui donne ydx == xdy, & dz ==xdy, & 1/3 ==*; sixy' = a2, y ̄'dx = 0; ainfi dx = xy dy, & d . Certe xy-2dy remarque sert dans la refolution de plufieurs Problêmes. 535. V. dx Quand on compare une integrale, c'eft à dire une gran-. deur changeante finie qui a fa difference comme y+dy, avec une autre grandeur finie; il faut en ôter la difference, qui étant infiniment petite, ne peut point être comptée avec son integrale; ainfi dy doit être ainfi marquée 2: Car il faut une infinité de differences ou de grandeurs infiniment petites pour faire une grandeur finie. ༢ COROLLAIRE IV. Où l'on explique la maniere de trouver les differences des fuites, ce qui fervira dans la 3 Partie à en trouver les integrales, & à en faire des formules generales. PREMIER CAS. $36. Pour trouver la difference d'une fuite qui n'a qu'une même OUR n 211 30P I m grandeur changeante,ordonnée comme on la voit ici (A) xTM × x' 3n + &c.7 2018 → pnbx" + 2 pncx2" + 3pnex3" + &c. } dxxx" - 'K?—1. N Nnnij Il est évident que c'est la difference de la fuite ou de l'integrale A que l'on cherchoit. SECOND CAS. n m 30 P 211 537. Pour trouver la difference d'un produit de plufieurs fuites, comme de A. xTM × a + bx" +cx2” xa + bx" +cx2 + ex312 + &c. x ƒ + 8 x " + b x 2 π 9 f+gx" bx +&c. 1°. il faut fuppofer B. K=a+bx® vi CX cx 2.11 +ex3“+ &c. & C. l = ƒ+gx2 + bx2" + &c. & l'expreffion A fera changée en celle-ci D. xTM × Ko 1%. 2°. Il faut en prendre la difference, & l'on aura E. mxTM-1 K3 l9dx ➡pxTMK2−1lad® + qxTM K3la—1 dl, qu'il faut changer en cette équivalente E. mx-IK x KP-1 l × 19-1 dx + px × xTM-1 KP-1 / × 11−1dK +qx × xTM−1K × Ko ― 1 [9~1 dl, & lui don. ner cette forme F. mKldx+pxldK +qxKdl × x 3°. Il faut prendre les valeurs de Kldx, de xldK, & de xKal dans B & C, (c'eft à dire, multiplier la valeur de K prife dans B, par la valeur de / prise dans C, & multiplier leur produit par dx; prendre la valeur de dK dans B, & la multiplier par xl, & prendre la valeur de dl dans C, & la multiplier par xK), & fubftituer ces valeurs dans les termes m Kldx ✦ pxldK + qxKdl de F, & l'on aura maf +magx" + mahx 2" +mbfx" + mcf x2o +mbgx 21 × ➜pbfnx" + 2pcfnx2" >dxxxTM-1KP-1/9-1 ̧ +qagnx" + zqahnx11 211 +qbgnx2 11 C'est la difference de la fuite A que l'on cherchoit. OUR TROISIEME CAS. m 311 538. Pour trouver la difference de A. "K3 ×f+8xa+hx2TM &C; où l'on fuppofe B. Ka+ bx" + cx2 + ex311+&c. & que l'expofant de la fuite ƒ+ gx" + bx2+ &c. eft l'unité, il· ne faut pas fuppofer cette derniere fuite égale à une feule lettre, mais il faut changer l'expreffion A en cette équiva 20 |