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devant leur expo

axn

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tre au numerateur en mettant le signe
fant ; ainsi = xy-",
;min = x*y**

m&
ainsi des autres. D'où l'on voit

que

la difference de ces fractions qui ont des changeantes au dénominateur, se trouve comme celle des produits; ainsi la difference de x-', eft - Ix-1-'dx=-*-*dx; la difference de xy-'est y-idx

- 1xy=+dy ; la difference de **y * est {xxy-4dx – 4 xiy-sdy; la difference de 6 x“y-n est vox"-'y-mdx — am x"y

x" y -m-'dy.
COROLLAIRE III.
$27. Les racines des puissances des changeantes pouvant être

regardées comme des puissances elles mêmes, dont les ex-
pofans sont des fractions, on en trouve les differences comme
celles des puissances (premier Corollaire); ainsi la difference
de (x=x, et xi-dx=;x-dx=., la dife.
rence de Vaxı? =a
=aixi, est {axi-

- Idx={a} xidx
= idxVax ; en general la difference de axă est axi-'dx;
la difference de axt est an

M

dx=anx m dx; la diffe. rence de ax"y9 est x ya dx + olx"y

*yf - dy; la dif. ference de Vx’

ya eft x 2xdx { x 2ydy * - ydy

; la difference de Vax I 을

est { xadx 1 x 2 xdx x ax — xx ; la difference de apa

=o, est y

ndx

nm

I

m

m

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גת

X

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I 2

2

- خود

x?

xdx
V* - y

-XX

I

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n-I

m-I mx

m

• dx x a IX

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REMARQUES.

I. 528. Quand il arrive que quelques-unes des grandeurs chan

geantes vont en diminuant, pendant que les autres aug

mentent, les differences de celles qui diminuent étant néga*522, tives*, il faut changer le signe de chaque produit particulier

1

où se trouvent ces differences négatives. Par exemple si les y
diminuent pendant que les x augmentent, la difference de xy
doit être yds -- xdy; c'est à dire, il faut changer le ligne du
produit particulier xdy où se trouve la difference negative
dy.

II.
529. Quand on a une fois l'expression des differences des

grandeurs changeantes, on fait ensuite sur ces expressions les operations ordinaires de l’Algebre; ainsi le produit de dx par dy est dxdy; le quarré de dx elt dx”; la troisiéme puislance elt dx'; & ainsi des autres operations.

III. l'on explique quelques principes du calcal integral. Les quantités dont on a enseigné à trouver les differencęs, sont les integrales de ces differences; ainfi x eft l'integrale de dx ; xy est l'integrale de ydx + xdy; V x = est l'integrale de diez Vax= a* x est l'integrale de { dxVaxı & en general ax" est l'integrale de nax"-'dx ; & ainsi des

530.

2

X

autres.

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AVERTISSEMENT. 531. L a methode de retrouver les integrales dont on a les dif

ferentielles, est ce qu'on nomme le calcul integral, dont on parlera dans la troisiéme Partie. Quand on resout des Problêmes de Geometrie & des sciences Physico-mathematiques, qui font foumis à ce calcul, on trouve d'abord des équations qui contiennent des differences; & remontant ensuite de ces differences à leurs integrales, on a les resolutions de ces Problêmes. Ceux qui veulent faire usage du calcul integral, doivent fe rendre tres familieres les metho. des qu'on vient de donner, pour trouver les differences des quantités quelconques qui contiennent des changeantes, en faire eux-mêmes beaucoup d'exemples, & bien remarquer les integrales d'où ils ont tiré ces differences ; ils acquiereront par là une tres grande facilicé de retrouver tout d'un coup, fans avoir besoin des regles, les integrales de beaucoup de differences qui se presenteront dans la résolution des

NNnn

ת

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ada - zdz

adz

izdz

I

2

Problêmes, & qui leur donneront tout d'un coup les resolu.

tions qu'ils cherchoient. 532. Ce seul exemple ax" est l'integrale de la difference nax"- 'dx,

peut servir de formule pour trouver la pluspart des integrales de chaque difference particuliere qui n'aura qu'une seule changeante x, en comparant la difference particuliere dont il faudra trouver l'integrale à la difference nax"-'dx , & fupposant qu'elle represente cette difference particuliere, & que l'integrale ax" represente l'integrale que l'on cherche. Car il est visible que pour retourner de la difference nax"-'dx à l'integrale ax", il faut, 1°, élever x à la puissance dont l'exposant surpasse d'une unité l'exposant n:-1, & l'on aura

=x“, & mettre dans la difference cette quantité à la place de x"-", & elle deviendra nax"dx. 2°. Il faut-diviser cette quantité par la difference dx de x lineaire, multipliée par n-1+1=n; c'est à dire, il faut diviser nax"dx par ndx, & le quotient sera l'integrale ax”.

Ainsi pour trouver l'integrale representée par ax" de la difference "

8 ཨ༢༢༢ ; on supposera az-*=*,1=a, -1=n

=n— 1; par consequent -{+ =+=n-1+1=n, adz 2zdz, &

2 ཚ༢ - ༢༢ =*". Pour avoir la grandeur à diviser, il faut mettre dans la difference proposée cette valeur de x", & la grandeur à diviser sera nax"dx

X ༧༢ - ༢༢ ; le diviseur sera ndx 1 x adz – 2zdz; & faisant la division, on trouvera l'integrale ax" = ar

12 / 533. Il est neceflaire de remarquer que les constantes n'ayant

point de difference, une integrale jointe par le signe + ou — avec une conitante, a la même difference qu'auroit cette integrale seule ; c'est pourquoi quand on retrouve l'integrale d'une difference, il faut quelquefois lui ajouter ou en retrancher une constante, afin d'avoir l'integrale exacte de cette difference. On donnera dans la troisiéme Partie la Regle qui sert à trouver cette grandeur constante.

On n'a mis ici la remarque précedente & l'avertissement, que pour donner à ceux qui commencent une idée du calcul integral.

dx =

2

adz

2zdz

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ܐܒ

xy-edy

=0;

.ر 3 کر

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IV. REMARQUE. 534. Les grandeurs constantes n'ayant pas de difference, quand

des grandeurs changeantes sont égales à'une constante, leurs
differences font égales à zero; si x+y=a, dx = dy=0,
ce qui donne dx = I dy; fi axy = abb, aydx + axdy = 0,
ce qui donne ydx=Fxdy, & id=*; fị xy-'=a', y-'dx
-
ainsi dx = xy-!dy, & de

= Certe remarque sert dans la resolution de plufieurs Problêmes.

V.
Quand on compare une integrale, c'est à dire une gran-
deur changeante finie qui a fa difference comme y+dy, avec
une autre grandeur finie; il faut en ôter la difference, qui
étant infiniment petite , ne peut point être comptée avec
son integrale ; ainsi "dy doit être ainsi marquée : Car il
faut une infinité de differences ou de grandeurs infiniment
petites pour faire une grandeur finie.

COROLL AIRE IV.
l'on explique la maniere de trouver les differences des fuites,
ce qui servira dans la zo Partie à en trouver les integrales,

e à en faire des formules generales.
PREMIER

. 536. Pour trouver la difference d'une fuite qui n'a qu'une même

grandeur changeante,ordonnée comme on la voit ici(A)x"* a+bx+cx

&c. 1o, il faut supposer(B) K=a + bx" + c**" + ex 3* + &c. & l'expression précedente sera changée en celle-ci (C)** KP. 2°. Il faut en prendre la difference, & l'on aura (D) mx" "Kodx + px" KP-'dK, qu'il faut changer en cette équivalente (E) ***-'K XKP-idx + px ***-'KP-'dK, & lui donner cette forme (F)m Kdx + pxdK x x m-'KP-5.3°. Il faut dans cette derniere F met. tre les valeurs de K & de dK prises de l'équation B, qui sont K=a + bx" + cx?" + ex3" + &c. &dK snbx"

+ &c. x dx, à la place de Kdx & de dK ; & l'on aura ma + mbx" + mcx2+ me x + pubx" + zpncx #sprieg * &c} dxxx"-'RA-:

NNnn ij

CAS.

21

tex

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+ 2ncx 21

* 3nexin-1

3

30P

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Il est évident que c'est la difference de la suite ou de l'integrale A que l'on cherchoit.

SECOND Ć AS. 537. Pour trouver la difference d'un produit de plufieurs fuites, comme de A. x

xa + bx" + ex?" + ex + &c. x f+

+ &c. 1°. il faut supposer B. K=a+bx* *c*2" + ex}" + &c. & C. l=f+gx"+hx*" + &c. & l'expression A sera changée en celle-ci D. *"* RP 19. 2°. II faut en prendre la difference, & l'on aura E. mx"- KP Modx + px" KP-/?d K + q*" +19-5dl, qu'il faut changer en cerre équivalente E. mxTM-K * KP-7x19–?dx + px * ***-*KP-Lx 19-dK +qx xx"-?K * RP-479-421, & lui don. ner cette forme F. mKidx + pxldK +7xKdl x **-?KP-11-1 3°. Il faut prendre les valeurs de Kldx, de xldK, & de xKdL dans B & C; (c'est à dire, multiplier la valeur de K prise dans B, par la valeur de l prise dans C, & multiplier leur produit par dx ; prendre la valeur de dk dans B, & la multiplier par xl, & prendre la valeur de dl dans C, & la multiplier par XK), & substituer ces valeurs dans les termes m Kldx + pxld K + q*Kdl de F, & l'on aura maf + magx" + mahx 2" + mbf*" + mof x

+mbg *2 + pbfnx" + 2pcfnx2" Sdx xxoKP-119-4,

+pbgnx2" +qagnx" + 2qahnx2

+ abgnx21 C'est la difference de la suite A

que

l'on cherchoir.

TROIS I E'ME CAS, 538. Pour trouver la difference de A. x"KPxf+gxo + 1*2"&c.

où l'on suppose B. KƏa+bx" + cx? + 6*?"+ &c. & que l'expofant de la suice f + 5*" + b *2" + &c. est l'unité, il

pas supposer cette derniere fuite égale à une seule lettre, mais il faut changer l'expression A en cette équiva

20

20

2n

2n

ne faut

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