m

m+n

m

cm

- 1 x" m-1

-I

X

lente C. FxTM K+gxTM+1K? + hxTM+2a K3 + &c. & ensuite,
1o, on prendra la difference de C. qui est D. mfxTM-1K3 dx
✦pfxTM Ko−1dK+m+n×gxTM+"~1 K3dx+pgxTM+"K3¬1dK
+m+ 2n × bx+2"-1
++ 20-1 K3dx → phx+2" KP-1dK → &c. qu'on
changera en fon équivalente E. mfx"¬1K × K2¬1 dx +pf xx
xTM−1 Ko−1dK +m+n×gx" × x−1K × K3¬1 dx +pgx
−1 K3¬1d K+m+2n x hx2" × xTM-1K × K2¬1 dx + phx2+1×
xTM¬1K3¬1dK + &c. à laquelle on donnera cette forme F..
mfkdx + pfxdk +m+ngx"Kdx + pgx"+ 1 dK +m+ 2n ×
hx2"Kdx ➡ phx2"+1dK + &c. × xTM-1KP-1. 2°. Il faut pren-
dre dans B la valeur de K & la difference de K, c'est à dire
la valeur de dK; & après avoir multiplié la valeur de K par dx,
mettre le produit dans le premier terme de F à la place de
Kdx; multiplier de même x par la valeur de dK, & mettre
le produit dans le fecond terme de F à la place de xdK; sub-
ftituer de même à la place de x"Kdx dans le troifiéme terme
de F le produit de la valeur de K par xdx, & celui de la
valeur de dK par "dans le quatrième terme de F à la place
de x
"+1dK; celui de la valeur de K par x2"dx dans le cin-
quiéme terme à la place de x2" Kdx ; & celui de la valeur de
dk par x2+1 dans le fixiéme terme à la place de x2"+1dK &c.
& l'on aura

maf+mabx"

+212

+ macx2 + &c.

539. Il faut dans ces fuites qu'il n'y ait qu'une même inconnue x, & que les expofants des termes de chacune foient la mênie progreffion arithmetique o, n, zn, 3n, &c. & que fi les expofants font pofitifs dans l'une, quand il y en a plusieurs mulNN nn iij

540.

$41.

tipliées les unes par les autres, comme dans le fecond & le troifiéme cas, ils foient auffi pofitifs dans les autres; & s'ils font négatifs dans l'une, ils le foient aussi dans les autres.

-I

II.

x'

P-I

Il faut fe rendre les trois cas précedents tres familiers, & furtout le 3°, où fuppofant Ka+ bx" + cx2 20 +&c.* > il y a deux fuites multipliées l'une par l'autre ; & bien remarquer que dans la difference G. chaque terme eft multiplié par - KP-1; que le premier terme mafdx x x-1 KP-1, ne contient qu'une conftante maf multipliée par dx x-KP¬1; que le fecond terme outre cela eft multiplié par x", le troifiéme par x2", & ainfi de fuite; que l'integrale A du 3o cas dont la difference G eft telle qu'on vient de le marquer, a tous fes termes multipliés par "KP, fçavoir, le premier n'est qu'une conftante f multipliée par "K", mais dans le fecond terme fon coeficient conftant eft multiplié de plus par x”, & eft gx KP; dans le troifiéme terme le coeficient conftant eft de plus multiplié par x, & eft hxTM+"K", & ainsi de fuite.

III.

211

201

D'où l'on voit que quelque nombre de fuites qu'il y ait de multipliées les unes par les autres dans une difference comme H. xTM-1 K311d x x a + B x " + x x xx2+ &c. où l'on fuppofe K = a + bx" + cx2" + &c. l=f+ gx" + bxTM” + &c. on connoît toujours les expofants de x, K, I dans chacun des termes de la fuite qui eft l'integrale de cette difference H. car le premier terme doit être une constante multipliée par "K11; au fecond terme il doit y avoir "+"KP/9; au troifiéme terme, x Kl; & ainfi de fuite. Ce qu'il faut bien remarquer pour la troifiéme Partie.

m4211

IV.

x

Sur l'exactitude des démonstrations du calcul differentiel & integral,
c'eft à dire fur la certitude des réfolutions que l'on trouve
par ces calculs.

542. Quand les anciens Geometres démontroient des raports de plufieurs figures, comme que les cercles font entr'eux comme les quarrés de leurs diametres; que les pyramides

de même hauteur font entr'elles comme leurs bafes, &c. ils
fe fervoient pour faire la démonstration de figures infcrites
ou circonfcrites, dont les côtés diminuant toujours à l'infini,
faifoient qu'on en pouvoit concevoir d'infcrites dont les
côtés étoient infiniment petits, & lesquelles à caufe de cela
differoient moins des grandeurs où elles étoient infcrites
qu'aucune grandeur donnée, mais la diftinction de ces dif-
ferences infiniment petites ne duroit que pendant la démon-
stration, & parcequ'elle leur étoit neceffaire pour faire la
démonftration, & ils fuppofoient que ces differences s'anéan-
tiffoient à la fin de la démonstration, & que la figure infcrite
devenoit exactement la figure même dans laquelle elle étoit
infcrite; car il est évident que fans l'évanouiffement de cette
difference infiniment petite, le raport qu'ils vouloient dé-
montrer n'auroit pas été démontré dans l'exactitude geo-
metrique.

De même dans la methode generale des tangentes des
courbes geometriques de l'article 371, on fait la diftinction
de la partie Cc de la fecante de la parabole (fig. 19) pendant
tout le calcul, & on ne pourroit pas faire le calcul pour trou-
tangente par cette methode fans cette distinction de
partie Cc, ou, ce qui en eft une fuite neceffaire, des par
ties Ce, ec; mais pour avoir la tangente, on fuppofe que cette
partie Cc de la fecante s'évanouit, & devient nulle.

ver la

la

De la même maniere quand on employe le calcul differentiel & integral dans la résolution d'un Problême, on regarde les differences infiniment petites comme prêtes à s'évanouir, & on ne les regarde fubfiftantes que pour le calcul & pour découvrir ce qu'on cherche pendant qu'on le cherche; & au moment que le calcul fait trouver la réfolution qu'on cherche, on regarde ces differences comme s'évanouiffant & comme devenant nulles; & par là la réfolution que l'on cherchoit eft dans la même exactitude geometrique que le font les conclufions des anciens Geometres, & la découverte exacte que l'on fait des foutangentes par la methode de l'article 371.

Des differences fecondes, troisièmes, &c. 543. On ne voit rien dans l'ancienne Geometrie qui ait raport aux differences fecondes, troifiémes, &c. mais auffi les anciens

N

17.

pas

Geometres fe font bornés à des Problêmes qui n'en avoient befoin: On s'eft ouvert de notre temps une voye pour la réfolution des Problêmes qui penetre à l'infini, & qui s'étend à toutes les courbes qu'on peut imaginer, geometriques, méchaniques & parcourantes; l'on a eu befoin, pour n'être arrêté nulle - part, de diftinguer dans plufieurs Problêmes, outre les premieres differences, des fecondes differences, des troisièmes, & ainfi à l'infini.

1 X 2

1112

1 X2 X3

N-3

On en a vû la poffibilité en ce que la grandeur étant divifible à l'infini, 1o, l'on peut concevoir une progreffion geometrique a, b, c, e, f, g, &c. dont le premier terme a foit une grandeur finie, le fecond 6 foit une difference premiere infiniment petite par raport à a, c une difference feconde par raport à la difference premiere b, de maniere que c foit infiniment petite par raport à 6, & de même e par raport à c3 & ainfi de fuite; de façon que le raport infini des deux premiers termes a & b, regne dans toute la progreffion. C'est de cette forte qu'on aura une progreffion de differences premieres, fecondes, &c. en élevant x+dx à la puiffance dont n eft l'expofant; car on trouvera la fuite x" + nx"~1dx + "X" ---x"¬2 dx2 + "x" -1xn−2 x dx3 + &c. dont le premier terme contient une grandeur finie, le fecond une: premiere difference dx, le troifiéme une feconde difference dx x dx ou dx2; & ainfi de fuite : Et l'on peut voir une femblable progreffion geometrique dans la Geometrie ordinaiFIG. II. re; car fi l'on fuppofe dans la feconde figure l'ordonnée du cercleED fi petite,qu'elle foit une difference premiere prête à s'évanouir, & tout proche de l'extrémité B du diametre AB; il est évident que la grandeur finie AD fera à une difference premiere ED, comme cette difference premiere ED eft au refte DB du diametre, lequel refte DB eft par confe. quent infiniment petit par raport à la difference premiere ED; & par confequent ce refte eft une difference feconde; & l'on pourroit concevoir aifément une difference troifiéme, en fuppofant que la difference ED est le diametre d'un cercle, & continuer cela à l'infini.

2o. On a auffi vû la poffibilité de ces differences fecondes, troifiémes, &c. en faifant attention à la formation des lignes FIG.XLII. & des figures par le mouvement; par exemple fi le point C

aprés

aprés avoir décrit la partie finie AC de la courbe, étant mu enfuite le long de BC, qui elle-même fe meut parallelement fur AB, décrit en un premier inftant la partie infiniment petite Ce(du) de la courbe, pendant que BC parcourt dans le même inftant Bb ou fon égale Cd(dx), & que le point C s'avance fur bc depuis d jufqu'à c, & parcourt de (dy) fur la droite bc: En concevant des mouvemens femblables dans le fecond inftant fuivant, & que be a parcouru bHce, & que le point C a décrit une feconde partie ef infiniment petite de la courbe, & qu'il a avancé fur la droite be venue en Hf de la longueur infiniment-petite ef; on trouvera des differences fecondes. Car fi l'on fuppofe le mouvement de la droite BC fur ABbH uniforme, & qu'ainfi bH — ce — Bb — Cd(dx}, mais que la viteffe du point C fur cette droite Hf en s'éloignant de l'axe AB, eft continuellement avancée ou retardée, en prenant cette derniere fuppofition, le second accroiffement ef (dy) fera moindre que le premier accroiflement dc (dy), & dc ef qui fera leur difference, fera une difference feconde, & de même Cc ef fera une difference feconde; puifque chacune de ces differences fecondes doit être infiniment petite par raport à fa difference premiere, comme cette difference premiere eft infiniment petite par raport à la grandeur finie dont elle eft la difference premiere. Si l'on fait attention au mouvement du 3° instant, on y trouvera de même des differences troisièmes, & ainfi à l'infini.

On trouve de même des differences fecondes & troifiémes, &c. dans les efpaces; car le petit efpace Crc eft infiniment petit par raport à la difference premiere CAc du fegment AC, & par confequent Crc eft une difference feconde de ce fegment. De même l'efpace Cdc eft infiniment petit par raport à la difference premiere CBbc de la figure CAB. Il eft facile de trouver ainfi des differences fecondes & troifiémes dans les figures folides.

Enfin on a vû l'utilité de cette diftinction des differences fecondes & troifiémes,&c. dans la réfolution de plufieurs beaux Problêmes, c'eft pourquoi on les a auffi réduites au calcul que

voici.

Suppofitions ou demandes, & definitions.

I.

544. L'oN marque ainfi les differences fecondes, troifiémes, &c.