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11+I

х

lence C. fxTMKP + gx"+"K?+hx*+2" KP + &c. & ensuite,
1°, on prendra la difference de C. qui est D. mfxm- KP dx
+ pfx" KP-'dK +m+nxgx**11-'K'dx + pg***"KP-DK
+ m + 2n x hx**2* K'dx + phx"+2" KP-PdK + &c. qu'on
changera en son équivalente E. mfx"-K* KP-Edx +pfxx
**--KP-'dK + m + ñ xgx" x **-*K*KP-dx + 9*"
Gm-KP-8dK+m+21 x hx2"xx"-K® KP- dx + phx2"+'
xTM-KP-d K + &c. à laquelle on donnera certe forme F.
mfkdx + pfxdK + m + n gx"kdx + pgx"+"dK + m + 2n *
6x2"Kdx + phx2"+1dK + &c. * **-? KP-. 2°. Il faut

prendre dans B la valeur de K & la difference de K, c'est à dire la valeur de dK;& après avoir multiplié la valeur de K par dx, mettre le produit dans le premier terme de F à la place de Kdx; multiplier de même x par la valeur de dk , & mettre le produit dans le second terme de F à la place de xdR ; substituer de même à la place de xKdx dans le troisiéme terme de F le produit de la valeur de K par x"dx, & celui de la valeur de dk par x"+1 dans le quatrième terme de F à la place de x"+ld K ; celui de la valeur de K par x?"dx dans le cinquiéme terme à la place de x2" Kdx ; & celui de la valeur de dK par %21+1 dans le sixieme terme à la place de %21+1dK &c. & l'on aura

maf + mabxi" + macx?" + &c. G.

+pbfn.x" + 2pcfnx2" + &c. +m+n x agxo+m+nxcgx2"+ &c.

dx x xm-KP-L. + pbgnx2" + &c. + m + 2n x ab x2" + &c.

+ pbhnx} + &c. C'est la difference de A

que

l'on cherchoir. R E MARQUE S.

I. $39. Il faut dans ces suites qu'il n'y ait qu'une même inconnue x,

les exposants des termes de chacune soient la même progression arithmetique 0,n, 2n, 3n, &c. & que si les expofants font positifs dans l'une , quand il y en a plusieurs mul

NNnn iij

ز

& que

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P-I

tipliées les unes par les autres, comme dans le fecond & le troisiéme cas, ils soient aussi positifs dans les autres; & s'ils sont négatifs dans l'une, ils le soient aussi dans les autres.

II. 540. Il faut fe rendre les trois cas précedents tres familiers, &

surtout le 3', où suppofant KP-r=a+bx" + 6*2" + &c
il y a deux suites multipliées l'une par l'autre ; & bien remar-
quer que dans la difference G. chaque terme est multiplié

M-KP-?; que le premier terme mafdx * **-?KP-, ne contient qu'une constante maf multipliée par dx x somKP-a; que

le second terme outre cela est multiplié par x", te troiheme par x?", & ainsi de suite ; que l'integrale A du 3 cas dont la difference G est telle qu'on vient de le marquer, a tous ses termes multipliés par x“K”, sçavoir, le preinier n'est qu'une constante f multipliée par x“K”, mais dans le second terme son coéficient constant est multiplié de plus par x", & est gx

dans le troisiéme terme le coeficient conftant est de plus multiplié par x", & est hx" +20 KP, & ainsi de suite.

par x'

m+11

K' ;

III.

m+n

m+ 211

S41. D'où l'on voit que quelque nombre de fuites qu'il

у

ait de multipliées les unes par les autres dans une difference comme H. *"-'KP-'29-dx xa + Bx" + xx** * &c. où l'on suppose K = a + bx" + cx*" + &c. l=f+gx" +hx;" + &c. on connoît toujours les expofants de x, K, I dans chacun des termes de la suite qui est l'integrale de cette difference H. car le premier terme doit être une constante mul. tipliée par x”KPN; au second terme il doit y avoir x' -"KP29; au troisiéme terme, * "KPI; & ainsi de suite. Ce qu'il faut bien remarquer pour la troisiéme Partie. .

I V. Sur l'exa&titude des démonstrations du calcul differentiel & integral, c'eft à dire sur la certitude des résolutions que l'on trouve

par ces calculs. 542. : Quand les anciens Geometres démontroient des

raports de plusieurs figures , comme que les cercles font entr'eux comme les quarrés de leurs diametres ; que les pyramides

de même hauteur sont entr'elles comme leurs bases, &c. ils se servoient pour

faire la démonstration de figures inscrites ou circonscrites, dont les côtes diminuant toujours à l'infini, faisoient qu'on en pouvoit concevoir d'inscrites dont les côtés étoient infiniment petits, & lesquelles à cause de cela differoient moins des grandeurs où elles étoient inscrites qu'aucune grandeur donnée ; mais la distinction de ces differences infiniment petites ne duroit que pendant la démonstration, & parcequ'elle leur étoit necessaire pour faire la démonstration ; &ils supposoient que ces differences s'anéantissoient à la fin de la demonstration, & que la figure inscrite devenoit exactement la figure même dans laquelle elle étoit inscrite; car il est évident que sans l'évanouissement de cette difference infiniment pecite, le raport qu'ils vouloient démontrer n'auroit pas été démontré dans l'exactitude

geometrique.

De même dans la methode generale des tangentes des courbes geometriques de l'article 371, on fait la distinction de la partie Cc de la secante de la parabole (fig. 19) pendant tout le calcul, & on ne pourroit pas faire le calcul pour trouver la tangente par cette methode sans cette distinction de la partie ce, ou, ce qui en est une suite necessaire, des par. cies Ce, ec; mais pour avoir la tangente, on suppose que cette partie Cc de la secante s'évanouit, & devient nulle.

De la même maniere quand on employe le calcul differentiel & integral dans la résolution d'un Problême, on regarde les differences infiniment petites comme prêtes à s'évanouir, & on ne les regarde.subliltantes que pour le calcul & pour découvrir ce qu'on cherche pendant qu'on le cherche; & au moment que le calcul fait trouver la résolution qu'on cherche, on regarde ces differences comme s'évanouissant & comme devenant nulles; & par là la résolution

que

l'on cherchoit est dans la même exactitude geometrique que le sont les conclusions des anciens Geometres, & la découverte exacte quel'on fait des soutangentes par la methode de l'article. 371.

Des differences secondes, troisièmes, &c. 543. On ne voit rien dans l'ancienne Geometrie qui ait raport

aux differences secondes, troisiémes, &c. mais aussi les anciens que c soit

Geometres se font bornés à des Problêmes qui n'en avoient pas

besoin : On s'est ouvert de notre temps une voye pour la résolution des Problêmes qui penetre à l'infini, & qui s'étend à toutes les courbes qu'on peut imaginer , geometriques, méchaniques & parcourantes; l'on a eu beloin, pour n'être arrêté nulle-part, de distinguer dans plusieurs Problêmes, outre les premieres differences, des secondes diffe. rences, des troisiémes, & ainsi à l'infini.

On en a vû la possibilité en ce que la grandeur étant divisible à l'infini, 2°, l'on peut concevoir une progression geometrique a,b,c, e, f, g, &c. dont le premier terme a soit une grandeur finie, le second b soit une difference premiere infiniment petite par raport à a, c une difference seconde par raport à la difference premiere b, de maniere infiniment petite par raport à b, & de même e par raport à c; & ainsi de suite; de façon que

le raport infini des deux

premiers termes a &b, regne dans toute la progression. C'est de cette sorte qu'on aura une progression de differences premieres, secondes, &c. en élevant x+dx" à la puissance dont n est l'exposant; car on trouvera la suite x" + nx" -"dx + "**7'- *"

naz dx? + nxn-Xn-2 X"=dx+ &c. dont le premier terme contient une grandeur finie, le second une premiere difference dx, le troisiéme une seconde difference dx x dx ou dx?; & ainsi de suite : Et l'on peut voir une fem

blable progression geometrique dans la Geometrie ordinaiFig. II. re; car si l'on suppose dans la seconde figure l'ordonnée du

cercle ED si pecite, qu'elle soit une difference premiere prête
à s'évanouir, & tout proche de l'extrémité B du diametre
AB; il est évident que la grandeur finie AD fera à une diffe-
rence premiere ED, comme cette difference premiere ED
eft au refte D B du diametre, lequel reste D B est
quent infiniment petit par raport à la difference premiere ED;
& par consequent ce reste est une difference seconde; & l'on
pourroit concevoir aisément une difference troifiéme , en
supposant que la difference ED est le diametre d'un cercle,
& continuer cela à l'infini.

2°. On a aussi vû la possibilité de ces differences secondes,

troisiémes, &c. en faisant attention à la formation des lignes F1G.XLII. & des figures par le mouvement; par exemple si le point C

apres

I X2 X3

par conse

aprés avoir décrit la partie finie AC de la courbe, étant mú ensuite le long de BC, qui elle-mêine se meut parallelement sur AB, décrit en un premier inftant la partie infiniment petite Cu(du) de la courbe, pendant que BC parcourt dans le même instant Bb ou son égale Cdldx), & que le point 6 s'avance sur bc depuis d jusqu'à c, & parcourt doldy) sur la droite bc: En concevant des mouvemens femblables dans le fecond instant suivant, & que bc a parcouru bH=le, &

que le point C a décrit une seconde partie ef infiniment petite de la courbe, & qu'il a avancé fur la droite bc venue en Hf de la longueur infinimentapetite ef; on trouvera des differences secondes. Car si l'on fuppose le mouvement de la droite BC sur ABbH uniforme, & qu’ainli bH=

Bb =

Cdldx), mais que la vitesse du point c sur cette droite Hf en s'éloignant de l'axe AB, est continuellement avancée ou retardée, en prenant cette derniere fuppofition, le second accroissement ef (dy) sera moindre que le premier accroiflemene dc(dy.), & dc ef qui sera leur difference, sera une difference feconde ; & de même cc of sera une difference seconde; puisque chacune de ces differences secondes doit être infiniment petite par raport à fa difference premiere, comme cette difference premiere eft infiniment petite par. raport à la grandeur finie dont elle est la difference premiere. Si l'on fait attention au mouvement du 3* instant, on y trouvera de même des differences troisièmes,&ainsi à l'infini.

On trouve de même des differences secondes & troisiémes, &c. dans les espaces; car le petit espace Crc eft infiniment petit par raport à la difference premiere C Ac du fegment AC, & par confequent Cyc est une difference seconde de ce segment. De même l'espace Cdc est infiniment petir par raport à la difference premiere CBbc de la figure CAB. Il est facile de trouver ainsi des differences secondes & troi. fiémes dans les figures solides.

Enfin on a vû l'utilité de cette distinction des differences fecondes&troisiémes,&c. dans la résolution de plusieurs beaux Problêmes, c'est pourquoi on les a aussi réduites au calcul

que voici. Suppositions ou demandes , & définitions.

I. $44. L'on marque ainG les differences secondes, troisiémes

, &c. оооо

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