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des differences premieres; la difference de dx est ddx ou dx; la difference de d'x est dddx ou d'x, & ainsi à l'infini ; de même ddu, d'u, dtu, &c. sont les differences secondes, troifiémes, quatriémes deu;& ainsi des autres. On nomme aussi les differences premieres, les differences du premier genre; les secondes, les differences du second genre, &c. Les puisfances d'une difference premiere lont aussi des differences du second genre, du troisiéme, &c. ainsi dxdx ou dx*; dxdxdx ou dx); dx*, &c. sont des differences du second genre, du troisiéme, du quatrième, &c. & il faut remarquer que d' x est dddx; mais dx est dxdxdx, &c. Les produits des differences de differentes changeantes sont aussi des differences du second genre, du troisiéme, &c. comme dxdy, dxdy , dxdy”,&c.

II. 145. Comme les grandeurs finies changeantes sont les inte

grales des differences premieres, de même les integrales des differences secondes sont des differences premieres; les inte. grales des differences troisiémes sont des differences secondes; & ainsi des autres. Et comme un nombre fini de differences premieres ne fait qu'une difference premiere, & qu'il faut une infinité de differences premieres pour faire une grandeur finie ; il en est de même des differences secondes à l'égard des premieres; des troisiéines à l'égard des secondes, &c.

I II. Comme une grandeur finie constante n'a point de difference, de même quand une difference premiere est supposée constante, elle n'a point de seconde difference, c'est à dire sa seconde difference, & par consequent les suivantes sont zero. D'où l'on voit que comme une integrale changeante + ou - une constante a la même difference que s'il n'y avoit point de constante , ce qui est cause que pour retourner à I'integrale, il faut quelquefois

, aprés avoir trouvé l'integrale de la difference, ajouter à cette integrale une constante finie, ou l'en retrancher; il faut quelquefois de même en retournant des differences secondes aux premieres qui en font les integrales, ajouter ou recrancher une difference premiere constante pour avoir l'integrale complete.

IV: 547 Lorsque plusieurs changeantes comme x, y, 2, &c. aug.

mencent ou diminuent ensemble, on en considere ordinaire.

$46.

&

ment une, laquelle on veut, comme recevant à chaque instant
des accroissemens égaux, ou des diminutions égales, par
consequent la difference de cette changeante est considerée
comme constante qui n'a pas

de seconde difference pendant
que les autres en ont, parcequ'elles reçoivent des accroisse.
mens inégaux, ou des diminutions inégalés. Pour le repre.
senser à l'imagination, supposé que cc,cf soient deux par- Fig. XLII,
ties infiniment petites de la courbe, & que Cć qui est ausli
une partie de la rangente en C, soit prolongée en g; que du
centre c avec le rayon cf on tire l'arc fi; qu'on prolonge ef
en g; qu’on mene par f, fl parallele à ce, & parl&i, lm, in
paralleles à Hf; en supposant, 1°, l'accroissement Cd (dx)
constant, c'est à dire cd= ce(dx), il est évident que les
triangles rectangles Cdc,ceg font semblables & égaux; par
consequent eg=dc=dy; d'où l'on voit que deldy) va en
diminuant, puisque le second dy qui est ef est moindre

que
le premier qui est dc ; leur difference est eg -ef=fg; ainsi
fgest la difference seconde ddy; & quand les dy vont ainfi en
diminuant, la difference seconde fgl-ddy) est négative;
ce qu'il faut bien remarquer. Par la même raison ig est ddú,
étant la difference de cg=Cc=du, & de of=ci; & les cc,
ef(du) allant en diminuant, -ddu est négative. 2°. Si l'on
suppose dc(dy).=ef=lm, c'eft à dire dy constant, les trian-
gles rectangles Cdc, cml seront semblables & égaux ; & l'on
verra que me sera ddx, & li fera ddu. 3°. Si l'on suppose
Cc(du) constant, c'est à dire Cc(du) = cf=ri, les triangles
rectangles Cdc, cni seront semblables & égaux, & ne sera ddx,
& iK lera ddy. Il faut remarquer que quand on suppose une
difference constante comme dx , son integrale x n'est pas
pour cela constante, puisque la difference est dx ; mais elle
n'a point de differences secondes, troisiémes, &c.

PROBLEME H.
S 48. TROUVER les differences des expressions qui contiennent des

differences.
On les trouvera de la même maniere qu'on trouve les dif-
ferences premieres par le premier Problème; & il suffira ici,
pour le faire concevoir, d'en mettre quelques exemples.

Pour trouver la difference de xdx, on regardera ce pro-
duit comme composé des deux grandes changeantes * & di,

Oo oo ij

ddx ; la

da2

ydd y

dx

dyl

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dxddx :

Vdx2 to dy2

& on prendra la difference de chacune multipliée par l'aua

&on trouvera dx' + xddx pour la difference que l'on cherchoit; d'où il fuit que la difference de dx est idxddx. La démonstration est semblable à celle qu'on a donnée pout trouver la difference des produits xy, xx, &c. D'où il fuit que la difference de dx-s est dx-1-1--- ddx

; difference de relationerydy dx , en supposant dx constante, est dydx-'+yddydx se to ; mais en fupposant dy constante, la difference de ydydx-'fera dy*dx-'- ydydx-'ddx

vdyddx ; la difference de dui' = dx+ dy?, en supposant dx constante, sera duddu = dyddy; en supposant dy constante, elle sera duddu dvddx; en fupposant du constante, elle fera dxddx = -dyddy; & en ne fupposant aucune de ces differences constante,elle sera daddu dxddx+ dy ddy; La difference de du=Vdx' + dy? =dx: + dy?

, en suppofant dx constante, est ddu= dyddy x dx = dyz

dyddy ; en supposant dy constante, elle est ddu=

Vax: +dyo

dxddx + dyddy & en supposant du constante, elle est o =

qui

Vax2 + dy2 se réduir à dxddx=-dyddy. La difference de myndy=dx, en supposant dx constante, est mm - 1m x y." dy' + my“.-'ddy o. De même la difference de my" dy =

en supposant dx constante, est m.my"-' dy' + myddy = 0.. La difference de dx' + dy' ?.*

* dxddy, en supposant dx constante (on ne peut pas supposer dy constante , parcequ'il y a ddy qui seroit zero si dy eroit constante, ) est 3 dyddy x

#x kday's dxd'y x dx? + dy? I x --- dxddy qu'on peut réduire, fi l'on veut, à cette expression équiva.

2 / 를 3dxdyddyx dx? + dy' + dxdy x dx^ + 4y lente

dx?ddy? Ces exemples suffisent pour faire concevoir la maniere de trouver les differences de toute quantité qui contient des differences quelconques,

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m-2

m 4

+ 1dx

b

3

dx2 + dy'

1 2

2

plus que

SE C T I O N I 1.
L'usage de l'Analyse dans la résolution des Problemes de
Geometrie composée, en se fervant du calcul differentiel.

A v ERTISSE M E N T. 549. Lorsqu'on veut resoudre un Probleme de Geometrie

ou des sciences Physico-mathematiques par le calcul differentiel & integral, on commence toujours la résolution par le calcul differentiel, & l'on trouve d'abord l'équation du Problême, laquelle contient des differences, dont il ne faut

chercher les integrales, pour avoir la résolution du Problême.

Quand il arrive qu'on peut ôter les differences de l'équation du Problême qui en contient, sans avoir recours aux integrales, (par exemple fi dx, ou dx”, ou ddx, &c. se trouve dans l'équation du Problême, & qu'on puisse faire en sorte qu'elle se divise exactement par les mêmes differences, cela ne laissera dans l'équation que des grandeurs finies fans difference,) alors le Problême se resout par le seul calcul differentiel. C'est de cette forte

que
sont resolus

par

le seul calcul des differences les Problèmes de l'excellent Livre de l'Analyse des Infiniment Petits de M' le Marquis de l'Hôpital, où l'on voit un usage perpetuel de l'Analyse dans les résolutions des Problêmes par le moyen du calcul differentiel : Mais dans la plûpart des Problêmes la résolution s'acheve par le calcul integral. On fera remarquer

ici

que plication de l'Analyse à la Geometrie composée, en se fervant du calcul differentiel & integral, l'on trouve ordinairement des formules generales qui donnent la résolution de tous les Problêmes semblables, en substituant simplement dans ces formules les valeurs qui conviennent aux Problê. mes particuliers. On mettra ici celles de ces formules qui font le plus d'usage, & qui ont le plus d'étendue , afin que dans la breveté qu'on est obligé de donner à ce huitiéme Livre, les Lecteurs qui commencent, ne laissent pas d'y trou. ver la methode de resoudre les Problêmes les plus utiles de la Geometrie composée, & ce qui leur est necessaire pour entendre les nouvelles découvertes, & pour en faire eux-mêmes

OOoo iij

dans l'apLes formules des tangentes et des autres lignes qui ont rapport

aux tangentes. sso. Si l'on imagine que Acc est un courbe quelconque dont Ce $16.XIX. est une partie infiniment petite , & qui est par consequent

une petite partie de la tangente au point C; qu'on mene des points C, c les ordonnées CB, cb sur le diametre A B; qu'on prolonge la tangente cc en Soù elle rencontre le diamettre prolongé BA, & qu'elle rencontre aussi au point T la tangente AT du sommet A; qu'on tire ausli Ce parallele au diametre AB qui rencontre cb en e & AT en t; enfin qu'on mene CD perpendiculaire à la tangente au point C qui rencontre le diamettre au point D.

Quelque angle CB A que fassent les ordonnées BC avec le diametre AB, le petit triangle Cec sera toujours semblable à chacun des triangles CBS, ATS, CTt. Supposant AB= *, BC=y, l'on aura Ce = Bb=dx,er=dy, & à cause des triangles semblables Cec, CBS, on aura ec(dy). Ce(dx):: BC (Ý). BS=idit, qu'on supposera , pour abreger, =S. Formule de la foutangente. BS(s) = yen; d'où l'on déduit AS

= BS - AB a =s. Les triangles semblables Cec, SAT , donnent auffi Ce(dx) .6$(dy):: AS ( od xong xd)). AT = idxnxxdo, qu’on supposera =&; d'où l'on aura Tt= At ou CB - AT = en supposera

Ces quatre formules pour trouver les lignes BS(S), AS (s), AT(6), T1(7), sont toujours les mêmes, quelque soit l'angle des ordonnées avec le diametre. On suppose pour les luivantes que cet angle est droit, ce qu'il faut bien remarquer.

Nommant l'arc AC de la courbe ACC, u; la partie CC infiniment petite de cette courbe fera = du; & comme elle est l'hypothenuse du petit triangle rectangle Cet , l'on aura (du“) =Tē+ēc"(dx + dy');

ei (dx” + dy'); ainsi Cc () =Vdx* + dya. Les triangles rectangles semblables Cec, CBS donnent ec(dy)

ColVdx + dy') :: BCly).cs=*Vx' + dy-, qu'on supposera=T; ainsi CS(T)= Volxe + dy', elt la formule

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dx , qu'on

T.

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