$45. 546. 347. des differences premieres, la difference de dx eft ddx ou dx; la difference de d'x eft dddx ou d3x, & ainfi à l'infini; de même ddu, d'u, d'a, &c. font les differences fecondes, troifiémes, quatrièmes de u; & ainfi des autres. On nomme auffi les differences premieres, les differences du premier genre; les fecondes, les differences du fecond genre, &c. Les puiffances d'une difference premiere font auffi des differences du second genre, du troifiéme, &c. ainfi dxdx ou dx2; dxdxdx ou dx'; dx*, &c. font des differences du fecond genre, troifiéme, du quatrième, &c. & il faut remarquer que d'x eft dddx; mais dx3 eft dxdxdx, &c. Les produits des differences de differentes changeantes font auffi des differences du fecond genre, du troifiéme, &c. comme dxdy, dxdy2, dx2dy3,&c. I I.. du Comme les grandeurs finies changeantes font les integrales des differences premieres, de même les integrales des differences fecondes font des differences premieres; les integrales des differences troifiémes font des differences fecondes; & ainfi des autres. Et comme un nombre fini de differences premieres ne fait qu'une difference premiere, & qu'il faut une infinité de differences premieres pour faire une grandeur finie; il en eft de même des differences fecondes à l'égard des premieres; des troifiémes à l'égard des fecondes, &c. I I I. Comme une grandeur finie conftante n'a point de difference, de même quand une difference premiere eft fuppofée conftante, elle n'a point de feconde difference, c'est à dire fa feconde difference, & par confequent les fuivantes font zero. D'où l'on voit que comme une integrale changeante →ou— une constante a la même difference que s'il n'y avoit point de conftante, ce qui eft caufe que pour retourner à l'integrale, il faut quelquefois, aprés avoir trouvé l'integrale de la difference, ajouter à cette integrale une conftante finie, ou l'en retrancher; il faut quelquefois de même en retournant des differences fecondes aux premieres qui en font les integrales, ajouter ou retrancher une difference premiere conftante pour avoir l'integrale complete. IV. Lorfque plufieurs changeantes comme x, y, z, &c. augmentent ou diminuent enfemble, on en confidere ordinaire ment une, laquelle on veut, comme recevant à chaque instant des accroiffemens égaux, ou des diminutions égales, & par confequent la difference de cette changeante eft confiderée comme conftante qui n'a pas de feconde difference pendant que les autres en ont, parcequ'elles reçoivent des accroiffe mens inégaux, ou des diminutions inégalės. Pour le reprefenter à l'imagination, fuppofé que Cc, cf foient deux par- FIG. XLII. ties infiniment petites de la courbe, & que Ce qui eft auffi une partie de la tangente en C, foit prolongée en g; que du centre c avec le rayon cf on tire l'arc fis qu'on prolonge ef en g; qu'on mene par f, fl parallele à ce, & par l&i, lm, in paralleles à Hf; en fuppofant, 1°, l'accroiffement Cd (dx) conftant, c'est à dire Cdce (dx), il eft évident que les triangles rectangles Cdc, ceg font femblables & égaux; par confequent eg =dc= dy; d'où l'on voit que de(dy) va en diminuant, puifque le fecond dy qui eft ef eft moindre que le premier qui eft de; leur difference est eg—ef= fg ; ainfi fg eft la difference feconde ddy; & quand les dy vont ainfi en diminuant, la difference feconde fg(-ddy) eft négative; ce qu'il faut bien remarquer. Par la même raison ig eft ddu, étant la difference de cg=Cc= du, & de cfci; & les Cc, cf(du) allant en diminuant, ddu eft négative. 2o. Si l'on fuppofe de(dy)=ef=lm, c'eft à dire dy conftant, les triangles rectangles Cdc, cml feront femblables & égaux ; & l'on verra que me fera ddx, & li fera ddu. 3°. Si l'on fuppofe Cc (du) conftant, c'eft à dire Cc(du) = cfci, les triangles rectangles Cdc, cni feront semblables & égaux, & ne fera ddx, & ik lera ddy. Il faut remarquer que quand on fuppofe une difference conftante comme dx, fon integrale x n'eft pas pour cela conftante, puifque fa difference eft dx; mais elle n'a point de differences fecondes, troifiémes, &c. PROBLÉME II. $48. TROUVER les differences des expressions qui contiennent des differences. N On les trouvera de la même maniere qu'on trouve les dif- Pour trouver la difference de xdx, on regardera ce pro- & on prendra la difference de chacune multipliée par l'autre, & on trouvera dx2+ xddx pour la difference cherchoit; d'où il fuit que la difference de dx' eft zdxddx. que l'on dx2 La démonstration eft femblable à celle qu'on a donnée pour trouver la difference des produits xy, xx, &c. D'où il fuit que la difference de=dx1 est dx-1-1 —- ddx dx difference de dy dy dx, en fuppofant dx conftante, est ddx; la dy' dx2 dx-1 dy'dx+yddydx dy ddy; mais en fuppofant dy constante, la difference de ydydx-' fera dy'dx ̄1 —ydydx ̄`ddx ydyddx ; la difference de du2 — dx2 + dy2, en fuppofant dx conftante, fera duddu dyddy; en fuppofant dy conftante, elle fera duddu dxddx; en fuppofant du conftante, elle fera dxddx — — dyddy; dyddy; & en ne fuppofant aucune de ces differences conftante,elle fera duddu dxddx + dy ddy; La difference de du Vdx2 + dy2 = dx2 + dy2 fant dx constante, eft ddu dyddy × dx2 + dyddy Vdx2 + dy = ; en fuppofant dy conftante,elle eft ddu , en fuppo dy2 dxd dx Vaxdy' dxddx dyddy Vdx2 + dy' qui & en fuppofant du conftante, elle est o = fe réduit à dxddx=- dyddy. La difference de my"- dydx, en fuppofant dx constante, est mm - im × y' Im × yTM-2 dy2 + myTM –1ddy M-2 ➡o. De même la difference de myTMdy = a m + 1 dx en fup pofant dx constante, eft mmy-1dy+my"ddy —0. La difference de dx2 + dy2 2 x X- dxddy, en fuppofant dx conftante (on ne peut pas fuppofer dy conftante, parcequ'il y a ddy qui feroit zero si dy etoit conftante,) eft 3 dy ddy × dx2 + dy2 2 × — qu'on peut réduire, fi l'on veur, à cette expreffion équiva Ces exemples fuffifent pour faire concevoir la maniere de trouver les differences de toute quantité qui contient des differences quelconques, 549. SECTION II. L'ufage de l'Analyse dans la résolution des Problêmes de AVERTISSEMENT. LORSQU'ON veut refoudre un Problême de Geometrie ou des sciences Phyfico-mathematiques par le calcul differentiel & integral, on commence toujours la réfolution par le calcul differentiel, & l'on trouve d'abord l'équation du Problême, laquelle contient des differences, dont il ne faut plus que chercher les integrales, pour avoir la résolution du Problême. Quand il arrive qu'on peut ôter les differences de l'équation du Problême qui en contient, fans avoir recours aux integrales, (par exemple fi dx, ou dx2, ou ddx, &c. se trouve dans l'équation du Problême, & qu'on puiffe faire en forte qu'elle fe divife exactement par les mêmes differences, cela ne laiffera dans l'équation que des grandeurs finies fans difference,) alors le Problême fe refout par le feul calcul differentiel. C'est de cette forte que font refolus par le feul calcul des differences les Problêmes de l'excellent Livre de l'Analyfe des Infiniment Petits de M' le Marquis de l'Hôpital, où l'on voit un ufage perpetuel de l'Analyfe dans les réfolutions des Problêmes par le moyen du calcul differentiel : Mais dans la plupart des Problêmes la résolution s'acheve par le calcul integral. On fera remarquer ici que dans l'application de l'Analyse à la Geometrie compofée, en fe fervant du calcul differentiel & integral, l'on trouve ordinai rement des formules generales qui donnent la résolution de tous les Problêmes femblables, en fubftituant fimplement dans ces formules les valeurs qui conviennent aux Problê. mes particuliers. On mettra ici celles de ces formules qui font le plus d'ufage, & qui ont le plus d'étendue, afin que dans la breveté qu'on eft obligé de donner à ce huitiéme Livre, les Lecteurs qui commencent, ne laiffent pas d'y trou ver la methode de refoudre les Problêmes les plus utiles de la Geometrie compofée, & ce qui leur eft neceffaire pour entendre les nouvelles découvertes, & pour en faire eux-mêmes. OOo o iij Les formules des tangentes & des autres lignes qui ont rapport aux tangentes. 550. Si l'on imagine que ACc eft un courbe quelconque dont Ce F10.XIX. eft une partie infiniment petite, & qui est par confequent une petite partie de la tangente au point C; qu'on mene des points C, les ordonnées CB, cb fur le diametre AB; qu'on prolonge la tangente cC en S où elle rencontre le diamettre prolongé BA, & qu'elle rencontre auffi au point 7 la tangente AT du fommet A; qu'on tire auffi Ce parallele au diametre AB qui rencontre cb en e & AT en t; enfin qu'on mene CD perpendiculaire à la tangente au point C qui rencontre le diamettre au point D. Quelque angle CBA que faffent les ordonnées BC avec le diametre AB, le petit triangle Cec fera toujours femblable à chacun des triangles CBS, ATS, CTt. Suppofant AB=x, BC=y, l'on aura Ce=Bb = dx, ecdy, & à caufe des triangles femblables Cec, CBS, on aura ec(dy). Ce(dx) :: BC (y). BS = dx, qu'on fuppofera, pour abreger, ydx dy S. Formule de la foutangente. BS(s) = ; d'où l'on déduit AS =BS AB= ydx - xdy, qu'on supposera=s. LES dy Es triangles semblables Cec, SAT, donnent auffi Ce (dx) • ec(dy) :: AS (vdx = xdy). AT = dy =ydxxdy, qu'on supposera = 6; d'où l'on aura Tt At ou CB AT 2, qu'on — = xdy, supposera = T. = Ces quatre formules pour trouver les lignes BS(S), AS (s), AT(), T(T), font toujours les mêmes, quelque foit l'angle des ordonnées avec le diametre. On fuppofe pour les fuivantes que cet angle eft droit, ce qu'il faut bien remarquer. Nommant l'arc AC de la courbe ACc, u; la partie Cc infiniment petite de cette courbe sera = du; & comme elle eft l'hypothenuse du petit triangle rectangle Cec, l'on aura Tc2 (du2) = Ce+ēc (dx2 + dy'); ainfi Cc (du)=√dx2 + dy3• Les triangles rectangles semblables Cec, CBS donnent ec(dy) · Cc (√dx2 + dy3) :: BC (y). CS=2/√x + dy2, qu'on supposera =7; ainfi CS (T) — — √dx2 + dy', eft la formule = == 2 |