Imágenes de páginas
PDF
EPUB

courbe tourne fa convexité, les y vont en diminuant depuis l'origine jufqu'au point où fe termine le diametre conjugué où eft la moindre y, & enfuite les y vont en augmentant; ainfi au point de la plus grande ordonnée y du côté concave, & de la moindre du côté convexe, dans le petit triangle fait des du, dx, dy; dy eft zero. En prenant auffi toutes les paralleles aux coupées x, terminées au diametre conjugué, pour les ; on verra que depuis un des fommèts D ou d du diametre conjugué, les x vont en augmentant du côté concave jufqu'au fommet A du premier diametre, où fe trouve la plus grande x, aprés quoi les x vont en diminuant jusqu'à la feconde extrémité d du diametre conjugué; & au contraire du côté convexe en concevant une ligne hors de l'ellipfe parallele au diametre conjugué, les x prifes fur cette parallele vont en diminuant depuis celle qui fe termine au fommet D du diametre conjugué jufqu'à la moindre de toutes les x qui fe termine au fommet A du premier diametre, aprés quoi elles vont en augmentant; par confequent au point de la plus grande x du côté concave, & de la moindre x du côté convexe dans le petit triangle, le côté dx devient zero. D'où l'on voit que dx & dy ne peuvent pas être dans ces cas la chacune égales à zero, ni avoir un raport fini.

5°. Les remarques qu'on a faites par raport à l'ellipfe, pour fixer l'imagination, doivent s'apliquer à toutes les courbes où les appliquées vont en augmentant, & enfuite en diminuant du côté concave, & le contraire du côté convexe, & de même les coupées; & elles fuffifent pour en faire faire de femblables fur toutes fortes de courbes.

I I.

Des quantités qu'on appelle les plus grandes & les moindres, &les formules pour les trouver..

DEFINITION.

SSS. LORSQU'ON a l'équation d'une courbe où les x font les coupées, &les y les ordonnées, & qu'on veut fçavoir le point où fe trouve la plus grande ou la moindre ordonnée y; comme auffi celui de la plus grande ou de la moindre coupée x, c'eft à dire la valeur déterminée de x qui convient a ce point de la plus grande ou de la moindre ordonnée, &, fi l'on veut, 'celle de cette plus grande ou moindre y; & de même la valeur de y ou de x au point de la plus grande ou moindre x;

556.

cela s'appelle une question ou un problême des plus grandes & des moindres.

Comme auffi fi l'on a une quantité changeante compofée de feules x ou de feules " & que cette quantité aille en augmentant, & enfuite en diminuant; ou en diminuant, & ensuite en augmentant, & qu'on veuille fçavoir de toutes ces quantités changeantes qui ont une même expreffion, celle qui eft la plus grande ou la moindre; il faut concevoir cette quantité comme étant l'ordonnée d'une courbe, & la fuppofer, fi elle ne contient que des égale à y; ou, fi elle ne contient que des y, égale à x; & concevoir que les x font les coupées, & y l'ordonnée égale à la quantité propofée; & il s'agira de trouver la plus grande ou la moindre y comme dans les courbes; & ce fera auffi un Problème des plus grandes & des moindres.

Formules pour trouver les plus grandes & les moindres.

=

dy

dx

= = à

eft la formule pour trouver la plus grande ou la moindre y; & dr dfera la formule pour trouver la plus grande ou la moindre x; où fimplement dyo, & dy T'infini, qu'on marque ainfi dy font les formules pour trouver les plus grandes & les moindres.

QUAND

= 8,

USAGE DES FORMULES.

UAND on a l'équation d'une courbe où il faut trouver les plus grandes & les moindres, ou une expreffion d'une quantité changeante reduite à l'équation d'une courbe, en la fuppofant égale à une changeante y; il faut prendre les differences de cette équation, & reduire au premier membre, & le refte de l'équation differentielle où il n'y a plus de dy ni de dx au second membre; & quand on cherche la plus grande ou la moindre y, prendre pour formule; c'est à dire, fuppofer que le numerateur eft zero, & tirer de l'équation qui en refulte, en y employant auffi l'équation même de la courbe propofée, la valeur ou les valeurs de x; & l'on aura la valeur déterminée de x au point de la plus grande ou de la moindre y; & l'on peut auffi déterminer la valeur de cette plus grande ou moindre y, puifque x eft déterminée. Si l'on cherche la plus grande ou la moindre x, il faut fe fervir de la formule, c'eft à dire, fuppofer le dénominaPP pp iij

teur égal à zero, & par cette équation déterminer les valeurs de x & de y. Si l'on ne peut pas trouver de valeurs, ni zero, pour la plus grande ou moindre x &y, & qu'on n'en trouve que d'imaginaires, c'est une marque que la courbe n'en a pas. Ôn diftinguera quand la quantité que l'on trouve par la methode eft une plus grande ou une moindre, par la feconde Remarque, nom. 2.

Pour trouver, par exemple, les plus grandes & les moin *379. dres de la courbe dont l'équation eft* #yy—aa — xx ; 1o. on prendra les differences de l'équation, & l'on aura y dy = -xdx; ce qui donne dy ; & en mettant au lieu de y

dx

=

Px

ay

[merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small]

av ap- Exx

- px

557.

a

2o. On fupofera, fuivant la formule, le numerateur = 0; ce qui donnera px=o; & divifant par —p, on aura x=o: c'est la valeur de x au point de la plus grande y. En fubftituant cette valeur de xo dans la propofée, au lieu de x, on trouvera la plus grande y Vap. Pour trouver la plus grande x, on fuppofera, fuivant la formule, le dénominateur avap-xx=0; ce qui donnera x= qui eft la valeur de la plus grande x; & la fubftituant dans la propofée, au lieu de x, on trouvera que la valeur de y au point de la plus grande x, eft y est y = √1⁄2ap — — ap=0; c'eft à dire, y eft zero à ce point là.

REMARQUES.

I.

دو

[ocr errors]

ON remarquera que quand on trouve plufieurs valeurs de x pour la plus grande ou la moindre ordinairement la courbe a pluseurs y plus grandes ou moindres, ou les unes moindres, & les autres plus grandes; ce qu'il faut auffi remarquer quand on cherche les plus grandes ou les moindres x. On pourra les connoître par la 3° remarque fuivante.

On

558.

chofe

II.

remarquera auffi que est la même chofe que dy infiniment petite par raport à dx, ou dy o; & eft la même O; que dy infinie par raport à dx, ou dy égale à l'infini. ·

III.

=

559. Enfin fi l'on fait attention aux points de la plus grande &

de la moindre y, aufquels la tangente eft parallele aux ; on
verra que y n'y reçoit aucun accroiffement ni diminution, &
qu'ainfi dy eft zero à ces points: & qu'il en eft de même de
dx, qui devient zero aux points de la plus grande & de la
moindre x,
aufquels la tangente eft parallele aux y, x ne
recevant à ces points là ni accroiffement ni diminution, &
par confequent dy eft infinie par raport à dx, n'étant plus
bornée par la petite base du, & en étant détachée en ce
point là: Mais que fi dx & dy devenoient chacune zero, ou
avoient un raport fini, il n'y auroit ni plus grande ni moindre.

III.

Des points d'inflexion & de rebrouffement des courbes, & des
formules pour les trouver.

& XLV.

560. Il y a des courbes qui tournent d'abord leur concavité d'un FIG. XLIV. côté, & qui tournent enfuite leur convexité du même côté comme ACcf, Ccfxo. Le point où la partie infiniment petite Cc (fig. 44), & fx (fig. 45), qui fepare la partie concave de la convexe, & qui eft commune à l'une & à l'autre, s'appelle le point d'inflexion quand la courbe va toujours du même côté ; & le point de rebrouffement quand la courbe retourne ou rebrouffe fon chemin comme Ccm (fig. 44).

Pour trouver ces points des courbes qui en ont, il faut remarquer qu'en prenant les dx conftantes, c'est à dire égales, les dy vont en diminuant dans la partie concave, & en FIG. XLII. augmentant dans la partie convexe, ou bien au contraire: car de(dy) furpaffe ef qui eft le dy fuivant, puifqu'en fuppofant cdce, c'eft à dire les dx conftantes, de est égale eg; ainfi de furpaffe ef. Dans la partie convexe fuppofant auffi les dx conftantes, cdce; les dy vont en augmentant, Fic. XLIV. car de(dy) eg moindre que ef; ou bien fi l'on prenoit la partie concave en revenant vers l'origine, on verroit

que

dy vont en augmentant, & que dans la partie convexe en revenant auffi vers l'origine, les dy vont en diminuant. Ainfi quand une courbe a une partie concave & l'autre convexe, dans l'une les dy vont en augmentant, & dans l'autre en diminuant.

D'où il fuit que fi l'on imagine que les dy, ou plutôt des lignes finies qui ayent entr'elles les mêmes raports que les dy, font des ordonnées mifes de fuite fur la ligne des coupées ABH, leurs extrémités formeront une nouvelle courbe, FIG. XLIV.

1

dans laquelle il y aura une plus grande ou une moindre au point de la nouvelle courbe, par lequel paffe l'ordonnée qui va au point d'inflexion ou de rebrouffement de la premiere courbe; ces ordonnées de la nouvelle & de la premiere courbe étant l'une fur l'autre : Il y a plufieurs plus grandes ou moindres, s'il fe trouve dans la premiere courbe plufieurs points d'inflexion ou de rebrouffement.

Il fuit de là que pour trouver le point d'inflexion ou de rebrouffement, il faut fuppofer la difference des dy, qui eft 556. ddy, égale à zero, & enfuite à l'infini,* pour avoir la formule qui fert à trouver les points d'inflexion & de rebrouffement. Formules pour trouver les points d'inflexion & de rebrouffement. ddy: = 0, & ddy égal à l'infini, qu'on marque

ainfi ddy

=8.

USAGE DE LA FORMULE.

561. Pour trouver le point d'inflexion ou celui de rebrouffement d'une courbe dont on a l'équation, il faut d'abord prendre les differences des termes de l'équation propofee, & mettre dans un membre dy feule, & les autres quantités dans le fecond membre, & ce fera la feconde équation. Il faut enfuite prendre la difference du fecond membre de la feconde équation, en prenant dx conftante, & la fuppofer égale à zero, puifque la feconde difference du premier membre qui devroit être ddy, eft zero; ce qui donnera une troifiéme équation, laquelle on reduira à n'avoir que la feule changeante finiex, par le moyen de la feconde équation, & fe fervant auffi de l'équation de la courbe, & l'on trou vera la valeur de x dans cette derniere équation, qui fera la valeur de la coupée x au point d'inflexion ou de rebrouffement; & l'on trouvera la valeur de y au même point, en subftituant la valeur trouvée de x dans l'équation de la courbe..

Par exemple pour trouver le point d'inflexion ou de rebrouffement de la courbe dont l'équation eft axx = xxy → aay; 1o. on prendra les differences de l'équation propofée, & mettant dy au premier membre, on aura la feconde équation dy 24xdx-2x7dx =2axdx — 2xydx x xx+aa 2o. On prendra la difference du fecond membre de cette feconde equation, en fuppofant dx constante, on la fuppofera égale à

xx + aa

-I

..

zero

« AnteriorContinuar »