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zero, & l'on aura la 3° équation zadx2 zydx. 2xdxdy x
2xdx × zaxdx — 2xydx x xx + aa

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x

2

= 0.

3°. On fubftituera dans cette troifiéme équation la valeur
de dy prife de la feconde, & la valeur de y prife de l'équation
de la courbe, & l'on trouvera 2a3 6a'xxo; d'où l'on
tire x = a√; mettant cette valeur dans l'équation de la
courbe à la place de x, on trouve ya; ainfi fuppofant
la droite des x, & prenant fur cette droite une longueur
av, & élevant une perpendiculaire ya,
extremité se trouvera au point d'inflexion de la courbe.
On auroit abregé le calcul en difpofant ainfi l'équation
de la courbe, y=xxxx, ou y = axxx xx+ aa
l'a pas
faire connoître aux Lecteurs qui commen-
cent, la maniere d'operer fans feparer ainfi d'abord les y.

x =

I

fait, pour

xx+aar

REMARQUE.

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fon

. On ne

Si l'on n'avoit pas trouvé de valeur de x en fuppofant la
valeur de ddyo, on auroit fuppofé ddy∞; c'est à
dire, on auroit fuppofé égal à zero le dénominateur de la
fraction ddy, au lieu qu'on en a supposé le numerateur
égal à zero, en se servant de la formule ddyo.

=

La maniere de trouver les points d'inflexion & de rebroussement
dans les courbes dont les ordonnées partent d'un même point.

562. Si l'on prend dans la partie concave Ccf, les petites parties F1G. XLV.
égales Cc, cf, qui font les du, & dans la convexe xx, xq,
égales aux premieres, & aprés avoir prolongé la petite par-
tie Cc en i, & xx en, on tire des centres c, a, avec les
rayons cf, x, les petits arcs fi, q; & du centre B, les
petits arcs Cd, ce; x, xe; les petits arcs fi dans la partie
concave qui mefurent les petits angles icf, font au delà
de la courbe par raport au point B ; & les petits arcs Q
dans la partie convexe, font en deçà dans la partie convexe;
ainfi les prenant pofitifs dans l'une des parties concave ou
convexe, ils font négatifs dans l'autre, par confequent ces
petits arcs doivent devenir zero ou infinis * au point d'in-
flexion ou de rebrouffement; où ils deviennent de positifs,
négatifs; ou de négatifs, pofitifs. C'est pourquoi en fuppofant
la valeur changeante de ce petit arc fi égale à zero ou à
QQq

554

FIG. XLV.

l'infini, on aura dans l'équation que fera trouver cette fuppofition, la valeur déterminée de la changeante BC, Bc, qui eft l'ordonnée changeante de la courbe propofée; & après l'avoir trouvée, en traçant du centre B avec la longueur trouvée de la changeante BC, un arc, il coupera la premiere courbe au point d'inflexion ou de rebrouffement. Pour trouver la formule qui convient à ce cas, on menera la ligne cl, xà, qui faffe avec la tangente ci, x qui eft la petite partie Cc, xx prolongée, l'angle icl, xx, le premier égal à l'angle cBf, le fecond à l'angle xBq; & par le point n, v, ou cl, xx rencontre le petit arc fi, 1, on tirera nр, vπ ; la premiere parallele à fe, la feconde à q; & nm, vμ; la premiere parallele à ce, la feconde à ne. Aprés cela on aura l'angle Ice égal à l'angle Ccd; & l'angle axe xx♪. Car les angles cle, Ced, étant les exterieurs, le premier des angles cgl, legs le fecond des angles Bgc qui eft le même que cgl, & cBfégal par la conftruction à leg, font égaux; par confequent les triangles Cdc, cel, rectangles en d & en e, font femblables. Et comme le triangle cnp eft femblable au triangle cle, il eft auffi semblable au triangle Cdc, & il lui est égal, puifque les hypotenuses cn, Cc font égales par la fuppofition des du conftantes. De plus le petit triangle mnf, rectangle en m, est aussi semblable au triangle cnp; car ôtant des angles droits pnm, cnf, l'angle commun pnf, les deux angles aigus fnm, cnp qui resteront feront égaux. On prouvera de même dans la partie convexe, que les triangles xxd, xv, uro, font femblables, & que les deux premiers font de plus égaux. Ces chofes fuppofées, on trouvera ainfi l'arc fi, 01.

Nommant la changeante BC (y), Cd, ce, xd, xe(dx), qui vont en augmentant dans la partie concave, & en diminuant dans la convexe; Cc, cf, xx, zq (du), on les fuppofe constantes, c'est à dire égales; dc, ef, dx, to feront les dy, qui vont en diminuant dans la partie concave, & en augmentant dans la convexe dans la fuppofition des du conftantes; pe= =nm, πe=vμ feront les ddx pofitifs dans la partie concave, & négatifs dans la convexe, fm, ou feront les ddy négatifs dans la partie concave, & pofitifs dans la convexe. Les triangles femblables Cdc, cpn, fmn, donnent Cd ou cp (dx). Če ou cn (du ) :: fm ( — ddy) . fn=duddy; ou bien Cc

μ

encore de ou fn(dy). cn(du) :: nm (+ ddx) . fn — duidx;
daddy, & encore
on trouvera de même le petit arc o

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dx

dy

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-duddx. Les petits fecteurs femblables Bce, net, donne

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ront auffi Bc(y).ce(dx) :: en (du). ni —
confequent le petit arc fini+nf=

encore fi=

dudxdy + Iduddx ; & Q1 = = Qr

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ou bien encore &1 =

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dxdu
y

par

dudx2-yduddy ou bien

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Jax

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Fduddy-dud x2
Ydx

Formules pour trouver le point d'inflexion ou de rebrouffement dans les courbes dont les ordonnées partent d'un mème centre ou pole. 563. Il faut fuppofer l'expreffion du petit arc changeant fi égale à zero ou à l'infini, & l'on aura pour la formule, aprés avoir dx2-yddy = 0, & dx2 multiplié par ydx & divifé par du, dx2 — yddy : -yddy ∞o; ou bien encore dxdy+yddx On pourroit auffi prendre la valeur de o pour en faire la formule.

L

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Il faut trouver pour chaque courbe dont on voudra
chercher le point d'inflexion, par le moyen de fon équa-
tion, la valeur de dx & celle de dx2; & aprés avoir trouvé
la valeur de da Vdx2+dy', il faut en prendre la difference
qui fera égale à ddu, & la fuppofer égale à zero, à cause qu'on
a fuppofé du conftante, & par confequent dduo; on trou-
vera par l'équation que donnera cette fuppofition, la valeur
de day; il faudra la multiplier par-y; & aprés avoir fubfti-
tué les valeurs de dx' & de-yddy dans la formule dx2
-yddy = 0 ou∞, il faudra fuppofer la quantité qu'on
trouvera par cette fubftitution, égale à zero, & enfuite à
l'infini, & l'on aura l'équation qui contiendra la valeur dé-
terminée de la changeante BC(y) qui convient au point
d'inflexion ou de rebrouffement de la courbe propofée. On
peut de même fe fervir de la feconde formule.

Par exemple qhH est un arc de circonference dont le FIG. XLV,
rayon BQ, BH = a; on nommera l'arc ohH(); qux fcC
eft une courbe telle que nommant Bx, Bx (y), & par confe-
quent xH(ay), & une droite donnée, b, l'équation de
cette courbe foit bzyy - zayaa. Pour trouver le
point d'inflexion, qu'on fuppose être en y, on menera le
Q Q qq ij

rayon Buh infiniment proche du rayon BxH, & on tirera du centre B le petit arc x, qu'on nommera dx; dx fera dy, & Hh fera dz. Pour trouver la valeur de x♪ (dx), on aura par le moyen des deux fecteurs ou triangles femblables HBh, XB♪ ; BH(a).BX(y) :: Hh (dz). X♪ (dx)=4. En prenant la difference de l'équation de la courbe, on aura dz ; par consequent dx — 2a3dy ; & dx2 =

2ydy 2ady

b

4y+ — 8a93 + 4 aayy dy2, & du

aabb

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·dy2, & du = √dx2 + dy2 = √4y+ — Say3

ab

+ 4aayy + aabb;' on en prendra la difference ddu —
ddy √4y+ — Say3 + qaayy
Say3 + 4aayy + aabb +

dy2

8p3 12ayy + 4aay

43+ — 8ays + 4aayyaabb

X

d. Après avoir réduit les deux termes au même dénomi-
nateur on la fuppofera égale à zero, & l'on prendra la
valeur de ddy, qu'on multipliera pary pour avoir la va-
leur de -yddy. On fubftituera enfuite les valeurs de dx2 &
de-yddy qu'on a trouvées, dans la formule dx-yddy =0;
& aprés les avoir réduites au même dénominateur, on les
fuppofera égales à zero; ce qui donnera une équation qui
n'aura plus de differences, & qui étant divifée par ya,
donnera 4y
12ay +12aay3 44'yy+3aabby 2a3bb
= o, qui eft l'équation qui contient la valeur de BC ou
Bx(y) au point d'inflexion de la courbe proposée.

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REMARQUES.

I.

564. POUR trouver les formules du point d'inflexion ou de rebrouffement dans les courbes dont les ordonnées partent d'un même point, par le moyen des angles infiniment petits qu'on conçoit formés à chaque point de la courbe par les tangentes des points pris deux à deux infiniment proches, ou par deux parties voifines infiniment petites, lefquels angles étant pris pour pofitifs dans l'une des deux parties concave ou convexe de la courbe, ils font négatifs dans l'autre, on a pris les petites parties de la courbe, c'eft à dire les du, égales ou conftantes, afin que les petits arcs qui font les mefures de ces angles infiniment petits, euffent les mêmes rayons, & que l'on vît plus clairement leurs raports.

565.

II.

Les Problêmes que l'on refout par les formules qu'on a

1

566.

567.

$68.

données depuis le commencement de cette fection, fervent
quand on a l'équation d'une courbe, à fe former une idée
de la courbe, & à la tracer à peu près telle qu'elle doit être,
car on trouve par les formules des tangentes de quel côté
elle eft concave ou convexe; par celles des plus grandes &
des moindres, on trouve fi elle s'éloigne de fon axe ou de
fon diametre, ou fi elle s'en approche, & en quels endroits
cela arrive; & par les formules des points d'inflexion & de
rebrouffement, on trouve fi de concave elle ne devient point
convexe, ou au contraire; comme auffi fi elle ne rebrouffe
point fon chemin vers le côté de fon origine.

I I I.

Il faut bien remarquer ici que quand on a fait l'une des trois quantités du, dx, dy conftante, pour trouver la formule de quelque Problême, il faut en appliquant la formule aux équations particulieres, prendre pour conftante la valeur de la difference qu'on a fait conftante tirée de l'équation particuliere, & non pas une autre; autrement on ne trouveroit pas la réfolution que l'on cherche, qui eft fondée fur cette fuppofition.

IV.

On peut déduire des formules de ce fecond cas, les for-
mules du premier cas dans lequel les ordonnées font paral-
leles, car en fuppofant le rayon changeant BC(y) infini,
alors les ordonnées BC, Bc deviennent paralleles; or en fup-
pofant y infini, le terme dx de la formule dx-yddy
devient zero par raport à l'autre terme - yddy; & en divi-
fant
par -y, on aura ddyo, ou co, pour
co, pour la formule
du premier cas, qui eft auffi celle qu'on a trouvée.

V.

=0,

Comme les formules des developpées se déduisent aifément de ce que l'on a démontré pour trouver les points d'inflexion & de rebrouffement, & qu'elles font tres utiles à la résolution de plufieurs Problêmes, on va auffi les démontrer.

V I.

Des formules pour trouver les developées des courbes.

On a déja vû que les rayons de la developée d'une courbe

font tous perpendiculaires à la courbe
lopée, & qu'ils font les tangentes de la

dont elle eft la deve- * 507. developée; de maniere QQ qq iij

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