de la developée & de chacune de fes parties, d'où l'on voit
par l'exemple précedent, que la feconde parabole cubique
peut être rectifiée.

II.

pour

On a déduit les fix formules du rayon de la developée des courbes dont les ordonnées font perpendiculaires aux coupées, des formules des courbes dont les ordonnées partent d'un même point, pour être court; mais on en a mis fix chacun de ces cas, felon les trois fuppofitions qu'on peut faire de l'une des trois differences du, dx,dy, conftante; parcequ'il y a des cas où le calcul eft plus facile dans l'une de ces fuppofitions que dans les autres; ce que l'on diftinguera facilement dans la pratique.

I I I.

On auroit pu faire des formules pour les courbes qui tour-
nent leur convexité vers l'axe ou vers le pole des ordonnées;
mais comme l'on trouve le même rayon avec les formules
que l'on a données pour le côté de la concavité, avec cette
feule difference qu'il est négatif, il auroit efté inutile de les
mettre ici : On remarquera feulement que dans les courbes
qui ont un point d'inflexion ou de rebrouffement, c'est à
dire, dont une partie eft concave vers l'axe ou vers le pole
des ordonnées, & l'autre convexe, les rayons de la deve-
lopée font pofitifs dans la partie concave, & négatifs dans
l'autre, (ce qui eft vifible même par les figures 42, 44, 45,
où deux rayons infiniment proches vont fe rencontrer au
point de la developée D, qui eft d'un côté dans la partie
concave, & du côté oppofé dans la convexe), & le point
d'inflexion ou de rebrouffement. eft celui où le fait le
changement de pofitifs en négatifs, c'eft pourquoi* il faut * 554-
que le rayon
de la developée foit infini ou zero au point
d'inflexion ou de rebrouffement.

IV.

Tous les Problêmes qui fe refolvent par les formules qu'on a données depuis le commencement de cette fection, n'ont befoin que du feul calcul differentiel. La réfolution des fuivants fe commence par le calcul differentiel, qui donne l'équation du Problême, & elle s'acheve ordinairement par le calcul integral.

SECTION

III.

Où l'on fait découvrir les formules des principaux Problêmes
dont la réfolution commence par le calcul differentiel,
& s'acheve par
le calcul integral.

582. EN

XLV.

I. La formule pour la rectification des courbes.

น

N nommant a la courbe ou l'arc de la courbe dont on cherche la longueur, du marquera chaque partie infiniment petite de la courbe; & fuppofant dans les courbes dont les ordonnées, qu'on nommera y, font paralleles, qu'elles font FIG. XLII. auffi perpendiculaires aux coupées x; & dans les courbes XLIV. dont les ordonnées y partent d'un même point qu'en prenant les ordonnées infiniment proches de chaque petite partie du de la courbe, on tire du centre commun avec le rayon y un petit arc de cercle, qu'on nommera dx, jufqu'à l'ordonnée infiniment proche; il eft évident que chaque petit triangle dont du eft l'hypotenuse, dx & dy les côtés, eft toujours rectangle. Par confequent la formule generale de la rectification des courbes eft dụ = Vdx2 + dy2.

$83. POUR

584.

USAGE DE LA FORMULE.

OUR trouver la longueur d'une courbe ou d'une partie de cette courbe, il faut trouver par l'équation de la courbe la valeur de dy2 en x, dx, dx2; ou la valeur de dx2 en y, dy, dy'; & fubftituer l'une ou l'autre de ces valeurs dans la formule, & alors Vdx2+ dy fera changée en une quantité qui n'aura qu'une feule inconnue avec les differences, qui fera égale à du. Ce fera l'équation que l'on cherchoit par la formule pour la rectification de la courbe; il ne reftera plus qu'à en trouver l'integrale; ce que l'on enseignera dans la Partie fuivante.

Pour trouver, par exemple, la longueur de la 2° parabole cubique, dont l'équation eft x'=pyys on prendra d'abord les differences de l'équation, & l'on aura 3xxdx=2pydy, ce qui donne dy =33dx, dx, & dy2 = 9x+ dx2; où fubftituant au lieu de pyy sa valeur x3, on aura dy2 = 25 dx2. On substi

xx

tuera cette valeur de dy1 dans la formule generale, & l'on
aura dux 4P+9. C'est l'équation que l'on cherchoit;
il ne faut plus que trouver les integrales de chaque mem-
bre, qu'on verra dans la troifiéme Partie être u

2

8 P

27 JP X 4p+9x x—. C'est la longueur de telle partie de la 2′ parabole cubique qu'on voudra, en déterminant la valeur de la coupée x de cette partie, & la fubftituant au lieu de x dans cette équation.

DEFINITION.

585. L'EXPRESSION 4×49 de chaque partie infiniment
petite d'une courbe particuliere dans cet exemple, de la 2o
parabole cubique, tirée de l'équation de cette courbe, &
qui ne contient qu'une feule des changeantes de cette courbe
avec les differences de cette même changeante, s'appelle
l'élement de cette courbe; la fomme des élémens de la cour-
be, qui eft l'integrale de l'élement, fait la courbe entiere:
Pour marquer cette fomme ou cette integrale par l'expref-
fion de l'élement, on met au devant la lettre S. ainfi S.
4p+9x, marqué l'integrale de cet élement.

dx

2JP

Il faudra entendre la même chofe dans les formules fui-
vantes de l'aire des courbes, des furfaces courbes, & de la
folidité des corps formés par
la revolution des courbes au

tour d'une ligne droite,

Element de l'ellipfe,

les

586. SUPPOSANT que le grand axe Aa foit le grand axe Aa foit = 2a; fon parame- FIG.XLVI.. tre que les coupées KB, Kb, Kb, &c. font = x, ordonnées BC, bc, bx, &c. =y, & que l'équation de l'ellipfe eft zyy: =aa―xx ; ce qui donne 2ayyaap-pxx3 en prenant les differences on trouvera 24 ydy=

pxdx & dy2:

Pxx

- 24xx

=

=-xdx; d'où
PPxx dx2 (en

4aayy

l'on aura Ce, xe (dy) :
mettant la valeur de zayy) axx x dx2. Subftituant cette
valeur de dy2 dans la formule generale du Vdx dy1, on
trouvera Cc, xx(du) = d x √Pxx = 2axx+23. C'est l'élement

2a3 -2axx

adx Jaa-xx

RR rrij

$87. EN

eft 24-yy = xx

Element de l'hyperbole.

24xx

213

2a3

xx-aa

N fuppofant les mêmes dénominations pour l'hyperbole FIG. XLVII. par raport à fon premier axe, 2 KA= 2a, & que l'équation aa ; on trouvera de la même manière Cc (du) = dx √Pxx+2xx-243; quand p=2a, du= dx√2xx — dæ que Mais par raport à fon fecond axe DKd, qu'on nommera 26; fon paramettre π, la coupée Kb prife fur le second axe (x); l'ordonnée 6C (y) parallele au premier axe KA, l'équation fera 26 yy: -yy= = xx + bb; & l'on trouvera de la même maniere 26xx+263 ;· quand π = 2b = 24 dans ce

7

Cc (du) dxv πxx + 26xx + 263.

cas,

du

dx v

2xx + an

xx + aa

Manieres particulieres de trouver l'élement des courbes.

1. L'élement d'un arc de cercle.

588. EN nommant le rayon CA(r) du cercle AFE, la coupée F1 G. XXXV. AB(x), l'ordonnée BF (y=

* 289.

·589.

*289.

FIG. XLI.

=√27x6 xx*), menant l'ordonnée Gg infiniment proche de la premiere, & Fi parallele à AC, le triangle CBF rectangle en F fera femblable au triangle iFg rectangle en i; car otant les deux angles droits BFi, CFg, l'angle commun CFi, les angles aigus restants BFC, i Fg font égaux. On aura donc BF (y: .CF (r) :: Fi (dx). Fg (du): demi-circonference AFE, ou de tel arc AF qu'on voudra de la demi-circonference dont AB(x) est le finus verse: ainfiu=S. rdx à l'arc AF.

Si l'on nomme la coupée CB (x) en prenant l'origine au centre C, alors BF Vrr-xx*, & les mêmes triangles. femblables donneront BF (Vrr-xx). CF (r) :: Fi(dx). C'est l'élement du quart de circonference, ou de tel arc MF qu'on voudra moindre que le quart de la circonference dont la ligne CB (x) eft le finus droit: ainfi u = =S. à l'arc MF.

Si l'on imagine que FH eft une partie infiniment petite de la demi-circonference AHFE, & qu'on tire les cordes AH, AF, EF, EH, on aura le petit triangle FLH, qu'on

590.

peut regarder pendant le calcul comme rectangle en Z, puif
que l'angle exterieur FLH ne differe du droit interieur LHA
que de l'angle interieur FAH qui eft fuppofé infiniment
petit, & n'avoir aucun raport fini avec aucun angle d'une
grandeur finie & donnée quelque petit qu'il puiffe être. Or

petit triangle FLH eft femblable au triangle AHE rec-
tangle en H, car les angles aigus LHF, EAH ont pour
mefure, le premier l'arc EF, le fecond l'arc EF H, qui ne
differe du premier que de l'arc infiniment petit FH; ainfi
nommant le diamettre AE (27), la corde AH (x), LF fera
dx, EH fera Varr-xx; & l'on aura EH (√4rr—xx).
AE ( 2r) :: LF (dx). HF =
C'eft encore l'élement

2rdx

de la demi-circonference AHE, & de tel arc AH qu'on
voudra, dont AH(x) fera la corde; ainfi l'arc AH (u)

√ 4rr - xx

Enfin fi l'on prend l'arc Rr infiniment petit, & que du FIG. XLI. centre O on mene les deux fecantes ORÑ, Orn à la tangente en N, & qu'on tire du centre O avec le rayon On l'arc nq, en nommant le rayon Oe (r), la tangente e N(x), √ rr + xx, fa difference Nn fera dx; la fecante ON fera & les triangles femblables QeN, Nqn, qN fera

=

xdx Jrr + xx

rectangles en e & en q, donneront ON (√rr+ xx). Oe (r) ::
& les fecteurs femblables ORr, ong

Nn(dx).qn:

rdx ✔rr+ xx

JI+xx) · Rr (du)

dx. C'eft encore l'élement du quart de circonference,

rr4xx

le
ou de tel arc e R qu'on voudra moindre que
circonference dont eN(x) sera la tangente; ainsi u =

- à l'arc e R.

2o. L'élement de la parabole.

quart

de la

u= S.

vrdx rr4xx

591. SUPPOSANT que ACc eft une parabole dont l'axe eft AB(x), F16, XLII. l'ordonnée BC (y) le parametre (p), l'équation yy = px,

2x, & par confequent la tangente *551. (en mettant pour yy fa valeur px) √px+4xx. Les triangles femblables Cdc, CBT donneront BT (2x). CT(√px + 4xx) :: Cd (dx). Cc (du) dx √px + 4xx (en multipliant le numerateur & le dénominateur par

2x