Vpx + 4xx, & divifant par x)= Pdx+4xdx. L'une & l'autre 2√Px+4xx expression est l'élement d'un arc de parabole dont la coupée eft x. 3. L'element des paraboles de tous les degrés, & des hyperboles de tous les degrés par raport aux afymptotes. $92. L'EQUATION m 2m m =V 2011-2 x"=1y represente les paraboles de tous les degrés quand l'exposant m est un nombre pofitif entier ou rompu, & les hyperboles de tous les degrés par raport aux afymptotes quand l'expofant m eft négatif. On prend l'unité 550. pour le parametre, afin d'abreger le calcul. On trouvera*que la foutangente est=x, & que la tangente 11xx+yy ⇒(en mettant x2 au lieu de yy) VI VI+ mmx 2. L'on aura donc (à caufe des triangles femblables TBC, Cdc, BT(x) •CT (1 × √1+m2x2TM—2 ) :: Cd (dx). Cc (du) — dx√1+m2x C'est l'élement de toutes les paraboles & hyperboles; il n'y aura qu'à substituer au lieu de m l'expofant particulier de chacune de ces courbes; par exemple pour la feconde parabole cubique, m= ; l'équation x 1y fera x=1ÿy, & du = {dx√4+9x. On peut changer par la multiplication l'expreffion generale du dx Vi+m3x en ces deux autres équivalentes du 593. QUAND = 2m = 2m2 dx Vixx + m2x ; du REMARQUE. ixxdx + m2x2 dx AND on peut trouver l'integrale de l'élement d'une courbe, cette courbe peut être rectifiée; mais on ne connoît pas encore la rectification de celles qui ont des élemens dont on n'a pas pu trouver les integrales; la circonference & les arcs de circonference, la parabole du premier genre, l'ellipse & l'hyperbole font de la derniere forte, auffi-bien qu'un tres grand nombre de courbes plus compofées geometriques & méchaniques. Quand on ne peut pas trouver la rectification des courbes plus compofées que les fections coniques, on tâche de réduire leur rectification à celle des fections coniques, de maniere que la rectification de ces dernieres étant fuppofée, on a la rectification de ces autres plus compofées qu'on peut y réduire. C'eft pour cela qu'on a mis ici les élemens de la rectification des fections coniques ; on en verra l'usage dans la troifiéme Partie. II. Zes 1 II. Les formules generales pour trouver l'élement de l'aire 594. L'AIRE des courbes. par les des 'AIRE d'une courbe comprise par la feule courbe entiere FIG. XLII. quand elle rentre en elle-même comme le cercle, l'ellipfe & les autres femblables; comme auffi l'aire comprise par les courbes qui ne rentrent pas en elles-mêmes comme paraboles, les hyperboles & les autres femblables, & lignes droites comme font leurs coupées & leurs ordonnées; enfin une partie finie de l'aire d'une courbe comme un fegment, un secteur, &c. chacune de ces aires ou de ces plans curvilignes ou mixtes, c'est à dire, en partie curviligne, en partie rectiligne, peut être conçue partagée en une infinité de figures rectilignes, dont l'aire ou l'espace eft infiniment petit par raport à l'efpace entier. Ces petites figures rectilignes qui rempliffent l'espace entier, peuvent être, felon les differentes courbes, de petits rectangles, ou de petits triangles, ou de petits parallelogrammes, ou de petits trapezes,&c. chacune eft la difference ou l'element de l'aire entiere; & leur fomme, qui eft l'integrale de l'élement, eft l'aire entiere de la figure. On appelle la mesure de l'aire d'une figure curviligne ou mixte, la quadrature de la courbe qui fait le circuit, ou une partie du circuit de la figure. On rapportera à deux cas la connoiffance de l'aire des courbes, ou la quadrature des courbes. Le premier comprendra les courbes qui ont des ordonnées paralleles, & on les fuppofera perpendiculaires aux coupées, afin que les élemens de l'aire foient de petits rectangles. Le fecond comprendra les courbes dont les ordonnées partent d'un même point, & leurs élemens feront de petits triangles dont chacun fera compris entre deux ordonnées infiniment proches, & aura pour base une partie infiniment petite de la courbe. Il y a des courbes qui peuvent appartenir aux deux cas, comme le cercle, l'ellipfe & autres femblables. Car en concevant dans un demi-cercle & dans une demi-ellipfe les ordonnées infiniment proches perpendiculaires à l'axe, les élemens feront des rectangles; & en concevant du centre dans le cercle & dans l'ellipfe des rayons infiniment proches terminés à la courbe, & encore dans l'ellipfe concevant des lignes tirées d'un des foyers à l'ellipfe, les élemens feront de petits triangles. Les fegmens d'une courbe comme ACA (fig. 42), peuvent se rapporter au fecond cas. PREMIER CAS. Formule generale pour trouver l'element de l'aire des courbes dont les ordonnées font perpendiculaires aux coupées. 595. EN nommant les coupées AB(x), les ordonnées BC(y); FIG.XLII. la difference Bb (dx) de la coupée fera la largeur de l'élement CBbc de l'aire; l'ordonnée BC (y) fera la base de ce petit rectangle; & ce petit rectangle CBbc fera ydx; ainsi nommant l'aire entiere ACB, ou cet efpace entier (e), l'on aura de=ydx. C'est la formule pour trouver la quadrature des courbes. L USAGE DE LA FORMULE. le 596. Il faut, pour trouver l'aire des courbes, prendre par moyen de l'équation de chacune, la valeur de y en x, & quand il y a dans l'équation dy, la valeur de dy en dx ; & fubftituer ces valeurs dans la formule, qui n'aura, aprés la fubftitution, qu'une feule inconnue x & fa difference dx, ce fera l'élement de l'aire; il ne reftera plus qu'à prendre l'integrale de cet élement pour avoir la quadrature de la courbe, ou de telle partie qu'on voudra déterminer dont la coupée fera x. On pourroit auffi trouver l'élement de chaque courbe en y & dy au lieu de x & de dx. L'élement de l'aire de la parabole & fa quadrature. 597. POUR trouver, par exemple, l'aire de la parabole dont l'équation eft yy =px, on prendra la valeur de y en x, & l'on aura y = Vpx; on fubftituera cette valeur dans la for I I mule, & l'on aura de dxvpx ī d x == p2x pour l'élement de l'aire de la parabole. Si l'on veut trouver ici l'integrale de 532. cette difference, on la fuppofera representée* par nax"—'dx, & fon integrale qu'on cherche par ax"; ainfi l'exposant n= · 1/2, x = x,dx=dx, p1⁄2=a. 1°. Il faut mettre dans 2) + 3 l'élement, x = x2 à la place de x2, ce qui donnera p2x2dx. 2°. Il faut multiplier dx par 1⁄2, & l'on aura le divi seur dx. 3°. Il faut divifer pixdx par ce diviseur, & l'on 2 aura le quotient p2x2=xVpx e pour l'integrale que L'element de l'aire de toutes les paraboles & de toutes 598. L'EQUATIO I = m m I à toutes les paraboles eft x" = y, quand l'expofant m eft un nombre pofitif entier ou rompu; c'eft auffi l'equation à toutes les hyperboles quand l'expofant m eft négatif. En substituant la valeur de y dans la formule de =ydx, on trouve de xdx. C'eft l'élement de l'aire de toutes les paraboles & hyperboles. On trouvera par la methode de l'article * que l'integrale est e= X ; & en *532. mettant dans cette integrale y=x" à la place de x", l'integrale eft xy. Ce qui fait voir que l'efpace parabolique de telle parabole qu'on voudra déterminer, en fuppofant m égale au nombre qu'on voudra, & fes coordonnées x & égales à telles grandeurs qu'on voudra, eft au rectangle des coordonnées de cet efpace qu'on aura déterminé, comme l'unité eft au nombre reprefenté par m+1. Il en eft de même de l'efpace hyperbolique entre les afymptotes dont on voudra déterminer les coordonnées & l'expofant. Mais on trouvera des genres d'hyperboles où l'integrale eft infinie, & d'autres où elle eft finie; par exemple dans l'hyperbole du i genre 1=xy, où m=1, l'integrale eft e -, c'eft à dire infinie. Mais en fuppofant que m= l'équation fera xyy=1, & l'integrale sera e = = I cr e= I y I+I I +I 29 ху =2xy. D'où l'on voit qu'on ne peut pas quarrer l'efpace ssff ij L'élement de l'aire de l'ellipfe. 599. L'EQUATION de l'ellipfe étant yy = aa— xx, qui FIG.XLVI. donne y =✔**, il faut substituer dans la formule de FIG-XLVII. 24 24 24 ―ydx, cette valeur de y, & l'on aura l'élement de l'aire de = 24 L'element de l'aire de l'hyperbole. 2α = 24 P 21 600. L'EQUATION par raport au premier axe étant yy = xx -aa, d'où l'on déduit y✔Pa, il faut mettre cette valeur de y dans la formule, & l'on aura de dx√ 1xx - Paa BCcb pour l'élement de l'aire de l'hyperbole, & l'efpace ABCA (e) S. dx✔ Pxx-paa. Quand l'hyperbole est équilatere, c'est à dire, quand p= 2a, l'élement eft de = dxVxx – aa; &lefpace ABCA()=S.dxvxx aa 601. FIG. XLVII. L'équation de l'hyperbole en nommant fon fecond axe KD(26); la coupée K6 prife fur le fecond axe (x); l'ordonnée 6C parallele au premier axe (y); & le parametre du second axe ; l'équation fera 26 yy — xx → bb, & y b. Subftituant cette valeur de y dans la formule, l'élement de l'aire de l'hyperbole fera de = dx√***+7bb bCcB; & l'efpace KbCA(e)=S. dx Vxxb. Dans l'hyperbole équilatere l'on aura de dx√xx+aa = b Cc ß, & l'efpace KbCA (e) — S. dx √xx + aa. 1 L'element de l'efpace hyperpolique HMCA d'une hyperbole équilatere par raport aux afymptotes. KM, KG faisant l'angle droit MKG, font les afymptotes de l'hyperbole équilatere ACc. KA est le demi axe; A eft le fommet; AH,CM font perpendiculaires fur KM; l'an |