gle AKH étant demi droit, AH = KH, qu'on fuppofera
= a,1, en prenant KH (a) pour l'unité. Soit la coupée
HM=x; chaque ordonnée MC=y; l'équation est a y
xy=aa; ou bien xy + 1y=1; d'où l'on tire y=
Substituant cette valeur de y dans la formule generale de
=ydx, on aura MCCN(de). C'eft l'element de
l'efpace hyperbolique HMCA (e) = S. dx.

L'element de l'aire du cercle.

I

602. NOM MANT le rayon CA(r), CB (x), BF(y), l'équation Fïc.XXXV. eft TT yy xx; ainfi y VTT- -xx. Subftituant cette valeur de y dans la formule de=ydx, on trouvera GBFg(de) dxVrr-xx ; ainfi l'efpace CBFM (e) — S. dx√rr — xx. Si l'on prend l'origine des coupées x au fommet A, c'est à dire, fuppofant AB=x, l'on aura BF ̊ ( yy) — 2rx — xx. Par consequent y = √2xx-xx, & GBFg(de)=yd x dxv2rx -xx; & l'efpace AFB (e) S. dx √2rx-xx.

SECOND CAS.

=

Formule generale pour trouver l'element de l'aire des courbes
dont les ordonnées partent d'un point.

603. SUPPOSANT que toutes les ordonnées BC, Bc, qu'on nom- FIG. XLV.
mera y, partent d'un même point B, & que les deux BC,
Be font infiniment proches, & forment le petit triangle CBC
qui eft l'élement de l'aire de la courbe; fi du centre B avec
le rayon BC on tire le petit arc Cd, qu'on nommera dx, &
qu'on pourra prendre pour une petite droite perpendiculaire
du fommet C fur la base Be(y) du triangle CBC; il eft évi-
dent que Cdx Bc ydx=de, fera l'expreffion du petit
triangle CBC; & par confequent la formule pour trouver
l'élement de l'aire des courbes du fecond cas.

L

USAGE DE LA FORMULE.

604. Il faut par le moyen de l'équation d'une courbe du second cas, prendre la valeur de y & celle de x, de maniere que ces deux valeurs n'ayent qu'une feule & même inconnue avec fa difference, & fubftituer ces valeurs dans la formule de Lydx, & l'on aura l'element de l'aire de la courbe particuliere, dont l'integrale fera l'aire de la courbe.

Ssff iij

I

L'element de l'aire du cercle.

605. Si l'on imagine deux rayons infiniment proches, qu'on nommera (r), terminés à un arc infiniment petit de la circonference, lequel on nommera du, & la circonference u, l'on aura un petit triangle formé par ces deux rayons & par le petit arc, qui fera l'élement de l'aire du cercle; & l'on peut concevoir qu'un des rayons r en eft la base, & le petit arc du la hauteur; par confequent ce petit triangle dedu, dont l'integrale eft eru; c'eft à dire, l'aire du cercle eft égale au produit du rayon r par la demi-circonference u. Si u n'exprime qu'une partie de circonference, rdu fera l'élement de l'aire d'un fecteur dont l'aireru.

L'element de l'aire d'un fegment de cercle.

606. SOIENT menées les deux cordes AH, AF, qu'on nomFIG. XLI. mera (y), de l'extremité A du diametre AE, qu'on nom

mera (27), aux deux extremités de l'arc infiniment petit HF (du), & tiré du centre A avec le rayon AH l'arc infiniment petit HL, qu'on nommera dx, & qui peut être regardé comme la hauteur du petit triangle AHF, dont la 589. base est AF(y), & LF=dy. Or l'on a trouvé *FH

2rdy

J4rryy

* 589. (on nomme ici AF(y) qu'on avoit nommé *x ) ; ainsi FF

4-dy2; par confequent HL

4rr-yy

2

d'où l'on déduit HL= Jay

J4rr-yy

triangle AHFAF × HL=
du fegment AHF=S. 24rr-33

Differentes expressions de l'element FCH d'un felteur
de cercle.

607. NOMMANT le rayon CA (r), AB (x), BF ( y=√2rx — xx), FIG. XLI. l'arc AF (u); on a FH=du, & l'élement HCF du fecteur eft égal à FH × CH=rdu (en mettant la valeur de *588. du * rdx ; ainfi le secteur ACF=S. Trax

rrdx 2rx-xx 2√2rx-xx

=

2√2rx-xx

FIG.XXXV. Mais fi l'on prend l'origine des x au centre *C en supposant *589. CB=x; comme du :* rdx l'élement rdu FCg rrdx ; ainfi le lecteur MCF = S. rrdx

2√rr-xx

L'element de l'aire d'un felteur d'ellipfe.

24

I X

24

608. Sort le grand axe Aaza, fon parametre―p, le fecond F16. XLVI. axe 2KD=26, fon parametre, chaque coupée Kb Kb=x, l'ordonnée bx=y, & l'équation de l'ellipfe yy=aa—xx; d'où l'on tire yy= aap - pxx, & bx ( y ) = √ aap — P xx Vzap-zapxx. Pour avoir l'élement du fecteur aKx dont le fommet eft au centre K; c'est à dire, pour avoir l'aire du fecteur infiniment petit xKx, il faut tirer du centre K avec l'élement rayon Kx le petit arc xq; & il est évident que Κχ. Κχ ou le petit secteur xKx=xQ.xKx. Or Kỵ=√Rb + bx' =√x2+y2· Lax-Pxx+aap =

-le

La difference de Kx=X?

bx2

1x√4aaxx-2apxx+2a3p.
pxdx ; fon quarré

zaxdx

V4aaxzapx2 + 2a3p

4aaxx — 4apxx → ppxx × dx2. On a auffi trouvé ** *586.

4aaxx

= d x2 x ppxx - 2apxx + 2a3p
dx2

2 ppxx- 2apxx + za3p x dx2

4aaxx + 4apxx — ppxx × dx2. Cette quantité se réduit à xq2

produit que l'on trouve de la valeur de xo par la valeur
deKx. C'est auffi le petit fecteur Kx, qui eft l'élement
X.
du fecteur aKx au centre de l'ellipfe.

L'élement de l'aire d'un fecteur ou triangle hyperbolique KAC
par raport au premier axe KA.

609. POUR trouver le petit fecteur CKc Cg × KC, qui est F16.XLVII. l'élement du secteur ou triangle hyperbolique AKC, foit la moitié du premier axe KA = a, fon parametre = p, la coupée KB=x, l'ordonnée BC=y; & l'équation de l'hyperbole par raport à fon premier axe 24-yy=x aa, qui donne yy=pxxaap; ainsi KC = KB (xx)+BC ̊ (yy)=

24xx +pxx−aap ; & KC =

24

la difference de KCcg=

4aaxx✈ 4apxx ✈ppxx dx2. Mais Co

44axx + 2apxx

=

Dond Cg VCC

cg

*

24pxx

·2a3p × 4aúxx ✈ zapxx — 2a3p

Par confequent Cg × KC= aapdx

C'est l'élement

CKc du triangle hyperbolique KAC. Dans l'hyperbole équilatere, où p=2a, CKc=Cg × 1 KC = aadx

UPPOSANT la moitié KD du second axe =b, fon metre, la coupée Kb = x, l'ordonnée C, & l'équation yy = xx bb, on trouvera KC — √4bbxx + 2bπxx + 2b3π ; 2b3πicg = 4bbxx + 4bxxx + **** dx2;

7=2b=2a, CKc➡ Cg × 1 KC = 2Vxx + aÀ

On peut trouver de la même maniere l'élement d'un fecteur elliptique & hyperbolique dont le fommet eft à l'un des foyers.

On doit faire ici une remarque femblable à celle de l'ar ticle 593.

AVERTISSEMENT.

611. QUE l'on imagine qu'une figure plane ABC terminée par Fic. XXVII. une courbe quelconque AC, & par des lignes droites

per

pendiculaires l'une à l'autre AB, BC, tourne autour d'une droite comme AB, qu'on nommera l'axe de revolution, ou pour abreger, Paxe; il eft évident que le plan ABC décrira dans une revolution entiere un folide, & que la courbe AC

décrira

612.

613.

décrira en même temps la furface courbe qui entoure ce
folide. L'axe de revolution peut être la tangente au fommet.
Ab, ou l'ordonnée BC, où la ligne des coupées AB, ou
telle autre droite qu'on voudra parallele à la ligne des cou-
pées AB, ou aux ordonnées BC. Le plan qui tourne peut
auffi être le plan ABC, ou le plan AbC qui eft toujours
terminé par la courbe AC, foit du côté concave comme
ABC, ou du côté convexe de la courbe comme Abc.
Pour une plus grande clarté on confiderera le folide formé
par la revolution du plan ABC, tournant autour de l'axe AB;
les Lecteurs appliqueront ce que l'on en dira aux folides
formés par la revolution du même plan, ou du plan AbC
autour du même axe, ou de tel autre qu'on voudra.

à

Si l'on conçoit de toutes les parties infiniment petites C FIG. XLII, qu'on nommera du, de la courbe AC qu'on nommera u ̧ des perpendiculaires comme CB, cb qu'on nommera y, l'axe AB dont l'origine eft en A, (quand c'est un autre axe qui ne paffe pas par l'origine A, l'origine en eft au point où tombe la perpendiculaire menée du fommet A à cet axe, ) & dont les parties AB depuis l'origine feront nommées x; il eft évident que chaque petit quadrilatere Bbc C formé par deux ordonnées infiniment proches BC, bc, dont l'épaiffeur eft Bb (dx) ou une partie infiniment petite de l'axe, d'écrira dans la revolution un cercle ou plutôt un petit cylindre, la bafe en fera le cercle dont l'ordonnée y fera le rayon & l'épaiffeur en fera dx. Chacun de ces petits cylindres eft la difference ou l'élement du folide qui en eft l'integrale, c'est à dire la fomme de tous ces petits cylindres, & l'expreffion generale de ce petit cylindre eft la formule pour trouver l'element du folide.

Il est de même évident que chaque partie infiniment petite Ce(du) de la courbe AC, décrit dans la revolution une petite zone, dont la base est une circonference, dont BC) eft le rayon, & dont la largeur eft la petite partie de la courbe Cc (du). Chacune de ces petites zones eft l'élement de la furface courbe qui entoure le folide formé par la revoLution, laquelle furface eft l'integrale de cet élement; & l'expreffion generale de cette petite zone eft la formule pour trouver l'élement des furfaces courbes ainfi formées.

TTtt